高阶线性微分方程解的结构学习教案

1、会计学1高阶线性微分方程解的结构高阶线性微分方程解的结构第一页，编辑于星期三：八点 五十四分。第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程解的结构解的结构 二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法（略）四、常数变易法（略） 一、高阶线性微分方程的概念一、高阶线性微分方程的概念 第七章 第1页/共15页第二页，编辑于星期三：八点 五十四分。称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程. 时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; 时时, 称为齐次方程称为齐次方程.一、高阶线性微分方程的概念一、高阶线性微分方程的概念复习复

2、习: 一阶线性方程一阶线性方程通解通解:非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y第2页/共15页第三页，编辑于星期三：八点 五十四分。证毕证毕是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:代入方程左边代入方程左边, 得得(叠加原理叠加原理) 定理定理1.第3页/共15页第四页，编辑于星期三：八点 五十四分。不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性

3、相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念. 第4页/共15页第五页，编辑于星期三：八点 五十四分。是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， 在在( , )上都有上都有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为必需全为 0 ,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为

4、 0 的常数的常数第5页/共15页第六页，编辑于星期三：八点 五十四分。线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使( 无妨设无妨设线性无关线性无关常数常数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则必线性必线性相关相关第6页/共15页第七页，编辑于星期三：八点 五十四分。是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, 则则数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程有特解有特解且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为推论推论. 是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为第7页/共15页

5、第八页，编辑于星期三：八点 五十四分。是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将代入方程代入方程左端左端, 得得第8页/共15页第九页，编辑于星期三：八点 五十四分。是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如, 方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为证毕证毕因而因而 是通解是通解 .第9页/共15页第十页，编辑于星期三：八点 五十四分。分别是方程分别是

6、方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. 第10页/共15页第十一页，编辑于星期三：八点 五十四分。是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解第11页/共15页第十二页，编辑于星期三：八点 五十四分。常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解, 是任意是任意提示提示:都是对应齐次方程的解都是对应齐次方程的解,二者线性无关二者线性无关 . (反证法可证反证法可证)(89 考研考研 )第12页/共15页第十三页，编辑于星期三：八点 五十四分。 已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解 .解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且常数常数因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故