(完整版)导数习题+答案

1、一 解答题(共 9 小题) 1 已知 a0，函数 f (x) =lnx - ax2, x0. (I )求 f (x)的单调区间； 2. 已知函数 f (x) =xInx - 2x+a，其中 a R. (1 )求 f (x)的单调区间； (2) 若方程 f (x) =0 没有实根，求 a 的取值范围； (3) 证明：In 1+2In2+3ln3+ +nlnn (n- 1) 2,其中 n丝. 3. 已知函数 f (x) =axInx ( aMD). (I )求函数 f (x)的单调区间和最值； (n )若 m 0, n 0, a 0，证明：f (m) +f (n) +a (m+n) In2 并(m

2、+n) x 4. 已知函数 f (x ) =2e - x (1) 求 f (x)在区间-1, m (m- 1)上的最小值； (2) 求证：对”ln-i, Xln2 时，恒有 2ex -扛2-2 Oln2)工 x 5. 设 a 为实数，函数 f (x) =e - 2x+2a, x R. (1 )求 f (x)的单调区间及极值； (2)求证：当 a In2 - 1 且 x 0 时，ex x2 - 2ax+1 . 6. 已知函数 f (x) =In (x+2) - a (x+1) (a 0 ). (1)求函数 f (x)的单调区间； (2 )若 x- 2，证明：1 - L 耳 n (x+2) $+1

3、 . s+2 7. 已知函数 f (x ) =In (x+1) - x. (I )求函数 f (x)的单调递减区间； (n )若 x- 1，证明：1 - (玄+1) 0) (1)当 a=1 时，利用函数单调性的定义证明函数 f (x)在(0, 1内是单调减函数; (2 )当 x (0, + a)时 f (x)昌恒成立，求实数 a 的取值范围. 2 -,、 瓦匚+2耳+己 9.已知函数 f (x)=一 x (1) 当 av 0, x 1 , +a)时，判断并证明函数 f (x)的单调性 (2) 若对于任意 x 1 , + a),不等式 f( x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围. (n )若

4、存在均属于区间 1 ,3的 3- 丰，使f( a)=f( 3),证明 ln3 - ln2 5 参考答案与试题解析一 解答题(共 9 小题) 2 1 已知 a0，函数 f (x) =lnx - ax , x 0. 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。 专题：综合题。 小值为 f (a).由3- a 1 a, 3 1 , 3,知 lWa23阮 由此能够证明 ln3 - ln2 / U2 5 解答： _ , (I)解：二 x 2 令 f( (x) =0,解得 x=M 1, 2a 当 x变化时，f (x) ,f (x)的变化情况如下表： x ) V2a 译 3 2a | 2a

5、 | 2a f ( x ) + 0 f ( x ) 极大值 所以，f (x)的单调递增区间是 (0,冬)，f 3) 的单调递减区间是 | 煖 +8) (II )证明：由 f ( a) =f ( 3)及(I)的结论知 0唾! B , 2a 从而 f (x)在a, 3上的最小值为 f (a). 又由 3一 a 1 a, 3 1 , 3, 知 1 (a) 1 f (2) Pf 即严豎 r ln2 - 4社InS - 9a 从而 ln3-ln2 5 点评: 本题考查函数单调区间的求法和利用导数求闭区间上函数最值的应用, 考查化归与转 力和创新意识. 2.已知函数 f (x) =xInx - 2x+a，

6、其中 a R. (1 )求 f (x)的单调区间； (2)若方程 f (x)=0 没有实根，求 a 的取值范围; (3)证明： In 1+2In2+3In3+ +nlnn (n- 1) 2,其中 n丝. 考点：不等式的综合；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法。 专题：证明题；综合题；转化思想。 分析：(1)利用导数求出函数的极值，然后求 f (x)的单调区间； (2) 若方程 f ( x) =0 没有实根，由(1)可得 f (x )在 x=e 处取得极小值，且 f ( x) =0 没有实根，即可求 a 的取值范围； (3) 方法一：利用 ？x 0, xlnx 2x - 3 恒成立，即可证明

7、In 1+2In2+3ln3+ +nlnn (n- 1) 2. 方法二：利用数学归纳法验证 n=2 成立，然后通过假设，证明 n=k+1 不等式也成立即 可. 解答：解：(1)由题意可知：f (x) =lnx - 1,令 f (x) =0,得 x=e, (1 分) 则当 x (0, e)时，f (x)v 0, f (x)单调递减；(2 分) 当 x (e, + 时，f (x) 0, f (x)单调递增(4 分) (2) 由(1)可得 f (x)在 x=e 处取得极小值，且 f ( x) =0 没有实根，(6 分) 则 minf (x) =f (e) 0, 即卩 a- e0，解得：ae (8 分

8、) (3) 方法 1 ：由(2)得，令 a=3e, f (x) =xInx - 2x+3 0 成立， 则?x 0, xlnx 2x - 3 恒成立(10 分) 故 ln 1+2In2+3In3+nlnn=2ln2+3In3+nlnn (2?2- 3) + ( 2?3 - 3) + (2?4 - 3) + (2?n -3)= 中(敲)(n-1) _3Cn_n =(n- 1) 2,即得证.(14 分) 方法2 数学归纳法 (1) 当 o j n=2 (2)时，In 1+2In2 12 (3)成立； (4) 当 j n=k (5)时，In 1+2In2+3In3+kInk (k - 1) 2 (6)

9、成立， 当 n=k+1 时，In 1+2I n2+3 In 3+kI nk+ (k+1 ) In (k+1 )( k- 1) 2+ (k+1) In (k+1 ) 同理令 a=3e, xlnx 2x - 3，即(k+1 ) In (k+1 ) 2 (k+1)- 3, (10 分) 则(k- 1) 2+ (k+1) In (k+1 )( k- 1) 2+2 (k+1)- 3=k2, (12 分) 故 In 1+2In2+3In3+klnk+ (k+1 ) In (k+1 ) k2, 即 In 1+2In2+3ln3+kInk ( k - 1) 2 对 n=k+1 也成立， 综合(1) (2)得：

10、？n, In 1+2In2+3In3+nlnn ( n- 1) 2恒成立.(14 分) 点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，不等式的综合应用，数学归纳法的应用，考 查计算能力，转化思想的应用. 3. 已知函数 f (x) =axInx ( aMD). (I )求函数 f (x)的单调区间和最值； (n )若 m 0, n 0, a 0，证明：f (m) +f (n) +a (m+n) In2 并(m+n) 考 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；不等式的证明。 占 八、 2 S t + - ( : 1 g ( k)司(1) =0 ,又 I a0, n0, 左边-右 边

11、为，得证. 点考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求比区间上函数最值的能力，掌握 评 证明不等专综合题。 题 (1)求出f (x)，然后让其大于 0 得到递增区间，小于 0 得到递减区间，根据函数的增 减性得到函数的极值即可； (2)要证明此结论成立，只需证 f (m) +f (n) +a (m+n) In2 -f( m+n)为，设把不等式左边化简得到 anklnk+ (k+1 ) I ln#p 得到其导函数大于 0, g (k)词(1) =0,又:a0, n0,二左边-右边 为, 得证. 解：(I ) / f (x) =alnx+a (x 0)，令 f (x)为, 答 当 a0 时

12、，即 lnx-仁 Ine 1. 耳 飞弋. fscC 2 g) 同理，令 f (x)切可得 K?0,丄 e b f ( X)单调递增区间为 右+ ，单调递减区间为 (0,丄 e 由此可知工 :-i 一 .无最大值. ntm e e 当 av 0 时，令 f (x)为 即 lnx 0,贝 U m=kn ( k 羽) 左边-右边 =amlnm+nlnn+ (m+n) ln2 -( m+n) In (m+n)= = (k+12 n aknlnk4- (k+1) nln乂 I k+1 i =anklnk + (匕+l) In 2 (k+1) 令:-. I k+1 J ，则 ,设 g ( k) =kln

13、k+ (k+1) 式方法的能力. x 4. 已知函数 f (x) =2e - x (1 )求 f (x)在区间-1, m (m- 1)上的最小值； (2)求证：对门寺时，恒有2一+区一 21+1 口 2)蛊 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题：计算题；证明题。 分析：(1)求出 f (x)的导函数，令导函数为 0 求出根，通过讨论根与定义域的关系，判 断出函数的单调性，求出函数的最小值. (2)将不等式变形，构造新函数 g (x)，求出 g (x)的导函数，通过判断导函数的 符号判断出其单调性，进一步求出其最小值，得证. 解答：解(1)当f (x) =

14、2ex -仁 0, 解得 Xln 2 当一& 时，f (x)v 0, f (x)在-1, m上单调减， 则 f (x)的最小值为 f (m) =2em - m 当 时，(一 1* )上递减，(1*, 上递增， 则 f (x)的最小值为 f (lng) =1 _ ln- (2) ：. )： I ? - ； ? y g( x) =2ex- x - 1 - In 2=f ( x)- 1 - ln2 由( 1)知当 b 时，f (x) 的最小值为- 二丄-.：-.-=：-rr， 所以当 x In2 时 g (x) 0，g (x)在(In2，+ 上单调递增， 所以岂( (K) g(U2) =2-

15、 仃边)2 - ln20 所以卅-护-2 (Hlu2)囂 点评：求函数在区间上的最值，常利用导函数判断出函数的单调性， 进一步求出函数的最值; 证明不等式问题常通过构造新函数，转化为求函数的最值问题. 5 .设 a 为实数，函数 f (x) =ex - 2x+2a，x R. (1 )求 f (x)的单调区间及极值； (2)求证：当 a In2 - 1 且 x 0 时，ex x2 - 2ax+1 . 考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题：计算题。 分析：(1)由 f (x) =ex- 2x+2a，x R，知 f(x) =ex - 2，x R.令 f (x) =0

16、，得 x=ln2 .列 表讨论能求出 f (x)的单调区间区间及极值.1 (2)设 g ( x) =ex - x2+2ax - 1, x R,于是 g (x) =ex - 2x+2a, x 只.由(1)知 当 a ln2 - 1 时，g( x )最小值为 g(l n2) =2 (1 - l n2+a ) 0.于是对任意 x R, 都有 g (x) 0,所以 g (x)在 R 内单调递增由此能够证明 exx2- 2ax+1. 解答：(1)解：/ f (x) =ex - 2x+2a , x R, - f (x) =ex - 2, x R. 令 f ( ) =0 ,得 x=ln2 . 于是当 x 变

17、化时，f (x), f (x) 的变化情况如下表： x (-a, ln2) In2 (In2 , + a) f (x) 0 + f ( x ) 单调递减 2 (1 - In2+a) 单调递增 故 f (x) 的单调递减区间是(- a, ln2), 单调递增区间是(In2, + a), f (x )在 x=ln2 处取得极小值， 极小值为 f (In2) =e - 2ln2+2a=2 (1 - In2+a). (2)证明：设 g (x) =ex - x2+2ax - 1, x R, 于是 g (x) =ex- 2x+2a , x R. 由(1)知当 a ln2 - 1 时， g (x)最小值为

18、g (In2) =2 (1 - In2+a) 0. 于是对任意 x R,都有 g (x) 0,所以 g (x)在 R 内单调递增. 于是当 aIn2 - 1 时，对任意x (0, + ),都有 g ( x) g (0). 而 g (0) =0 ,从而对任意 x ( 0, + a), g (x ) 0. 即 ex - x2+2ax- 1 0, 故 ex x2 - 2ax+1 . 点评：本题考查函数的单调区间及极值的求法和不等式的证明，具体涉及到导数的性质、函 数增减区间的判断、极值的计算和不等式性质的应用. 解题时要认真审题，仔细解答. 6.已知函数 f (x) =ln (x+2) - a (x

19、+1) (a 0). (1) 求函数 f (x)的单调区间； (2) 若 x- 2，证明：1 - 耳 n (x+2) $+1 . x+2 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性。 专题：综合题。 分析： 1 - 2a . Ml -a ( x - ) (1)函数 f (x)的定义域为(-2, + a), f (x) = _ - a K+2 由 a 0,能求出函数 f (x)的单调递区间. (2)由(1)知，a=1 时，f (x) =ln (x+2 )-( x+1),此时 f (x)的单调递增区间 为(-2,- 1),单调递减区间为(-1 , + a).所以，x 2 时， (

20、x+2) - 2 时，1 令 f (X) 已知函数 f (x) =ln (x+1) - x. I )求函数 f (x)的单调递减区间; 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；对数函数的定义域；禾U用导数研究函数的单调性。 的单调递减区间. (n )由(I )知，当 x (- 1 , 0)时，f (x) 0,当 x ( 0, + 8)时, v 0,故 In (x+1 ) - xO, In (x+1)纟.令( 所以函数 f (x)的单调递增区间为(- 2, L-2a ),单调递减区间为( (2)由(1)知， a=1 时， f (x) =ln 此时 f ( x)的单调递增区间为(-2, 单调递减区间为

21、(-1, +R). a (x+2)-( x+1), -1), 所以，x * f A _ 1 _ 1 x 啓(x+2) 2 好1 (H2) 当 x (- 2, - 1)时，g (x)v 0, 当 x (- 1 , +8)时，g (x) 0. 当 x- 2 时，g (x) Sg (- 1), +_ x+2 - In ( x+2). x+2 1 即 In (x+2) -1 为, 所以，当 x- 2 时，1 - 耳 n (x+2) - 1，证明：1 K41 专题：综合题。 分析： (I )函数 f (x)的定义域为(-1 , + 8). f (x)=- ，由此能求出函数 令 f (X) 0,得-2vx

22、v x+1 1 -；式 In （ x-l-1） - 解答：（I）解：函数 f （x）的定义域为（-1, + 由 f (x)v 0 及 x 1,得 x 0. 当 x (0, +8)时，f (x)是减函数， 即 f (x)的单调递减区间为(0, + ). -4 (H )证明：由(I )知， 当 x ( 1 , 0)时，f (x ) 0, 当 x (0, +8)时，f (x)v 0, 因此，当 x 1 时，f (x)邮(0), 即 In (x+1) x 切, In ( x+1)纟.(6 分) 令 g (i) =ln (+1) +AT - 1， 当 x ( 1, 0)时，g (x)v 0, 当 x (

23、0, +8)时，g (x) 0.10 当 x 1 时，g (x) Sg (0), 即 为， 综上可知，当 x 1 时， 有 1 - Cln （ x+1） （12 分） 点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用， 考查运算求解能力，推理论证能力; 考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.综合性强，难度 大，是高考的重点.解题时要认真审题，仔细解答. &已知函数 f（K）二卫+丄（孔0） （1 ）当 a=1 时，利用函数单调性的定义证明函数 f （乂）在（0, 1内是单调减函数； （2）当 x （0, + 8）时 f（x）昌恒成立，求实数 a 的取值范围. 考

24、函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题。 占： x+1 CK心+1 由此能够证明当 x - 1 时, （8 分） 八、 专计算题。 题： 分(1)先任意取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，注意变形到等价且到位. 析：(2)先化简不等式，f (x) 0,再由分式不等式等价转化整式不等式 ax2-x+1 茅恒成 立，然后采用分离常数法求实数 a 的取值范围即可. 解解：(1)任意取 xi, X2 (0, 1且 X1VX2. 答： f (冷)-壬(乂J (工+)- ( -(垃_ 垃C1 -)=(工一玄？) x | x 2 X | K 2 因为 Xiv x2,所以 xi - X2V 0 0 V X1X2V 1,所以 x1x2 - 1 V 0 所以 f (X1)- f (x2) 0, 即 f ( X1) f ( X2 ), 所以 f (x)在(0, 1上是单调减函数. (2) / x (0, +), f ( x)丄 一L恒成立, X X 等价于当 x (0, +8)时 ax2- x+1 为 恒成立即可， y 1 -Il a 在 x (0, + a)恒成立又 (0, + ), X2 瓦 2+二 故 a 的取值范围-,+ ). 4