高等代数三石生明学习教案

1、会计学1高等代数三石生明高等代数三石生明第一页，编辑于星期三：七点 三十七分。在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾出现过 - 矩阵 E - A，我们称它为 A 的特征矩阵.这一节的主要结果是证明两个 n n 数字矩阵 A 和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 E - A和 E - B 等价.为了证明这一结论，先来证明下面两个引理.第1页/共15页第二页，编辑于星期三：七点 三十七分。 因 P0( E - B ) Q0 = P0Q0 - P0BQ0 ，它又与 E - A 相等，进行比较后应有P0Q0 = E， P0BQ0 = A .由此 Q0 = P0-1，而 A = P0BP0-1

2、 .故 A 与 B 相似.第2页/共15页第三页，编辑于星期三：七点 三十七分。 把 U() 改写成U() = D0m + D1m -1 + + Dm -1 + Dm .这里 D0 , D1 , , Dm 都是 n n 数字矩阵，而且第3页/共15页第四页，编辑于星期三：七点 三十七分。D0 0 .如 m = 0，则令 Q() = 0 及 U0 = D0 ，它们显然满足引理 2 要求.设 m 0，令Q() = Q0m -1 + Q1m -2 + + Qm -2 + Qm -1 .这里 Qj 都是待定的数字矩阵.于是( E - A ) Q() = Q0m + (Q1 - AQ0)m -1 + .

3、+ (Qk - AQk-1)m -k + .+ (Qm -1 - AQm -2) - AQm - 1 . 第4页/共15页第五页，编辑于星期三：七点 三十七分。要想使等式U() = ( E - A ) Q() + U0成立，只需取Q0 = D0 ，Q1 = D1 + AQ0 ，Q2 = D2 + AQ1 ， Qk = Dk + AQk-1 ， Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ，U0 = Dm + AQm-1 .就行了.用完全相同的办法可以求得 R() 和 V0 .第5页/共15页第六页，编辑于星期三：七点 三十七分。由可知 E - A 与 E - B 等价就是有可逆的 - 矩阵 U()

4、 和 V() 使E - A = U() ( E - B ) V() . (4)第6页/共15页第七页，编辑于星期三：七点 三十七分。先证设 A 与 B 相似，即有可逆矩阵 T使 A = T-1BT .于是E - A = E - T-1BT = T-1 (E - B ) T ，从而 E - A 与 E - B 等价.再证设 E - A 与 E - B 等价，即有可逆的 - 矩阵 U() 和 V() 使E - A = U() ( E - B ) V() (4)成立.由存在 - 矩阵 Q() 和 R()第7页/共15页第八页，编辑于星期三：七点 三十七分。以及数字矩阵 U0 和 V0 使U() =

5、( E - A ) Q() + U0 ， (5)V() = R() ( E - A ) + V0 ， (6)成立.把E - A = U() ( E - B ) V()改写成U-1()(E - A)= ( E - B ) V() ，式中的 V() 用 (6) 代入，再移项，得第8页/共15页第九页，编辑于星期三：七点 三十七分。U-1() - (E - B) R() (E - A) = (E - B) V0 .右端次数等于 1 或 V0 = O，因此U-1() - (E - B) R()是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作T，即T = U-1() - (E - B) R()，T (E

6、- A) = (E - B) V0 . (7)现在我们来证明 T 是可逆的.第9页/共15页第十页，编辑于星期三：七点 三十七分。(由 )由T = U-1() - (E - B) R()，得E = U()T + U() (E - B) R()= U()T + (E - A) V-1() R()(由 )=(E - A) Q() + U0T+ (E - A) V-1() R()= U0T + (E - A) Q() T + V-1() R() .等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少第10页/共15页第十一页，编辑于星期三：七点 三十七分。是 1，由于 E 和 U0T 都是数字矩阵，等式不可能成立.因此E = U0T .这就是说，T 是可逆的.由的第二式得E - A = T-1(E - B )V0 .再由知，A 与 B 相似.第11页/共15页第十二页，编辑于星期三：七点 三十七分。矩阵 A 的特征矩阵 E - A 的不变因子以后就简称为 A 的不变因子.因为两个 - 矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7 即得 应该指出 n n 矩阵的特征矩阵的秩一定是 n.因此，n n 矩阵的不变因子总是有 n 个，并且它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.第12页/共15页第十三页，编辑于星期三：七点 三十七分。以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量