《大学数学A》课程第四章练习题

1、大学数学A第四章练习题2013-2014学年第二学期一、选择题1.若，则级数（ ）（A） 一定收敛 （B）一定发散（C）一定条件收敛 （D）可能收敛，也可能发散2.正项级数收敛的充分必要条件是（ ）（A） （B）是递减数列（C）存在(其中) （D）3.级数的收敛半径R=（ ）（A）1 （B）3 （C） （D）4.若级数发散，则（ ）（A） （B） （C） （D）5.下列级数中，条件收敛的是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1. 级数的和为 .2设级数收敛，其和为，又为不等于零的常数，则= .3设级数收敛，则= .4. 幂级数的收敛域是 .三、解答题1.判别下列级数的敛散性：（1）；

2、 （2）； （3）； （4）.2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？（1）； （2）；3证明级数是发散的4.求幂级数的收敛域。5.求幂级数的收敛域. 6.求幂级数 的和函数。7.求级数的和函数。8. 求级数的和函数.9. 将函数展开成的幂级数. 10. 将函数展开成的幂级数. 系别 级 学号 姓名装 订 线大学数学A第5章练习题2013-2014学年第2学期一、选择题1.设 =，=，+与轴平行，则与的关系为（ ）A B C D以上都不正确 2.设有直线L: 及平面: ,则直线L与的关系是（ ）AL与垂直 BL在上 CL与 平行 DL与 斜交3.在曲线，的所有切线中，与平面平行的切线（

3、 ）A只有1条 B只有2条 C至少3条 D不存在 4.直线：与：夹角的余弦为（ ）A. B. C. D. 5.两平面：与：的关系是（ ）A.平行 B. 重合 C.斜交 D.垂直二、填空题6.已知，满足+=，|+|=2，则= .7.设平面与垂直，则 .8.三平面，的交点坐标为 .9. 将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，则所生成的旋转曲面的方程为： .10.直线与平面的夹角为 .11.过点且平行于直线的直线方程为 .12.直线与直线的夹角的余弦值为 .三、解答题13.已知=+3，=+3，求的面积.14. 求原点关于平面：的对称点的坐标.15. 求过点(1，2，1)，(-2，3，-1)，(1，0，4)

4、的平面的方程.16. 设一平面过原点及点(6，-3，2)且与平面垂直，求此平面的方程.17.设平面通过点(1，-2，1)，且同时垂直于两个平面：与：，求它的方程.18.求过点(1，2，0)且平行于轴的直线方程.19.求过点(2，-8，3)且与平面垂直的直线方程.20求过点(-3，2，5)且与两平面：与：的交线平行的直线方程.系别 班级 学号 姓名装 订 线大学数学A第六章练习题2013-2014学年第二学期一、选择题与填空题1、二元函数的定义域为. .（ ）A、 B、C、 D、2、极限.（ ）A、0 B、1 C、2 D、不存在3、函数 在点(0,0)处 .（ ）A、连续但不可偏导 B、可偏导但

5、不连续 C、连续且可偏导但不可微分 D、可微分4、函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点连续的 .（ ）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件又非必要条件5、函数在点(0,0)沿方向的方向导数为.（ ）A、 B、 C、 D、6、设，则 。7、极限 。8、设，而，则 。9、函数的全微分 。10、球面在点(1,2,2)处的切平面方程为 。二、解答与证明题11、求函数的二阶偏导数。12、设，求。13、设，求与。14、设函数由方程确定，求。15、求二元函数的极值。16、求曲线在处的切线与法平面。17、求曲面在点处的切平面及法线方程。18、在两直角边分别为的直角三角形中内接

6、一个矩形，求矩形的最大面积。系别 班级 学号 姓名装 订 线大学数学A第七章练习题2013-2014学年第二学期一、选择题与填空题1. 设，则. . .（ ）A. B. C. D. 2. 设积分区域为，则的值为. .（ ）A. B. C. D. .3. 设长方体物体在点处的密度为则其质量为.（ ）A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知平面曲线积分与积分路径无关，则的值为.（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或15. 交换二次积分次序后 .6. 设曲线的方程是, 则 .7. 设曲线是抛物线上从到的一段弧，则 .8. 设是上半球面的下侧，则曲面积分 .二、解答与证明题1. 计算，其中是

7、由抛物线及直线所围成的闭区域.2. 计算，其中积分区域.3. 计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.4. 计算三重积分，其中是由球面及三个坐标面在第卦限所围的闭区域.5. 计算三重积分，其中是由圆锥面及平面所围的闭区域.6. 验证：在坐标面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.7. 验证曲线积分与积分路径无关，并求其值.8. 计算下列曲线积分（1），其中为圆周，方向为逆时针方向.（2），其中为椭圆，方向为逆时针方向.9. 设曲面为平面，且，求曲面积分.10. 计算下列曲面积分（1），其中为立方体的表面外侧.（2），其中为球面的外侧.系别 班级 学号 姓名装 订 线大学数学

8、A第八章练习题2013-2014学年第二学期一、选择题与填空题1、设非齐次线性微分方程有两个不同的解，为任何常数，则该方程的通解是（ ）A、B、C、D、2、函数满足的微分方程是（ ）A、 B、C、 D、3、设线性无关的函数，都是二阶非齐次线性微分方程的解，是任意常数，则该方程的通解是( )A、 B、C、 D、4、微分方程的通解是（ ）A、 B、 C、 D、5、微分方程的通解为 .6、微分方程满足初始条件的特解是 .7、微分方程的通解为 .二、解答题1、求微分方程：的通解.2、求微分方程的通解.3、求微分方程满足初始条件的特解.4、求微分方程满足初始条件的特解.5、求微分方程的解.6、设为连续函

9、数，且，求的表达式.7、求曲线方程，这曲线过原点，且在点处的切线的斜率为。8、求微分方程满足初始条件的特解。9、解方程： 。10、解方程： 。11、解方程： 。装 订 线大学数学A第四章练习题参考答案 2013-2014 学年 第二学期一、选择题1. D ；2. C ； 3. C ；4. A ； 5. B二、填空题1. ； 2. ； 3. 1 ； 4. (-2，2) 三、解答题1解：（1），而收敛，由比较审敛法知 收敛。（2），而发散，由比较审敛法的极限形式知 发散。（3） ，由比值审敛法知 收敛。（4） ，由根值审敛法知 收敛。2解：（1）对于级数，由，故级数绝对收敛。（2），由，知级数收敛

10、，故绝对收敛。3. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 4解：收敛半径为 ，当时，得级数，发散；当时，得交错级数，收敛。所求收敛域为。5. 解 令t=x-1, 上述级数变为. 因为 , 所以收敛半径R=2. 当t=2时, 级数成为, 此级数发散; 当t=-2时, 级数成为, 此级数收敛. 因此级数的收敛域为-2£t<2. 因为-2£x-1<2, 即-1£x<3, 所以原级数的收敛域为-1, 3).6解：收敛域设 （）， ， ， （）.7解：容易求出此级数的收敛半径是1，又原级数在处发散，故收敛域为当时，.8. 解

11、 该级数的收敛域为， 当时，9. 解 ，.10. 解 因为 . 系别 级 学号 姓名装 订 线大学数学A第5章练习题参考答案2031-2014学年第2学期一、选择题1. C 2. A 3. B 4. C. 5. D.二、填空题6. =-4.7. 6.8.(1,-1,3)9.10.11. .12.0.三、解答题13.已知=+3，=+3，求的面积.解： |×|×=所以|×|=14. 求原点关于平面：的对称点的坐标.解：过原点作平面的垂线，即过原点以(6，2，-9)为方向向量作直线 ， 代入平面方程得，解得, 所以直线与平面的交点坐标为 (6，2，-9) 设所求对称点坐

12、标为（，） 则有， 故所求对称点坐标为（12，4，-18）15. 求过点(1，2，1)，(-2，3，-1)，(1，0，4)的平面的方程.解：由题意得所求平面的法向量为=×=所以平面方程为 即 16. 设一平面过原点及点(6，-3，2)且与平面垂直，求此平面的方程.解：设所求平面方程为 把(6，-3，2)代入得 又所求平面与平面垂直则 联立、解得 ，故所求的平面方程为 17.设平面通过点(1，-2，1)，且同时垂直于两个平面：与：，求它的方程.解：所求平面法向量同时垂直于两已知平面的法向量=1，-2，1，=1，1，-1而 =×= 故 所求平面方程为 即 18.求过点(1，2，

13、0)且平行于轴的直线方程.解：设所求直线的方程为 又直线平行于轴所以可取轴的单位向量作为其方向向量故所求的直线方程为 19.求过点(2，-8，3)且与平面垂直的直线方程.解：设所求直线的方程为 又直线垂直于平面，所以其方向向量 ,=1,2,-3故所求的直线方程为 20求过点(-3，2，5)且与两平面：与：的交线平行的直线方程.解：设所求直线的方程为 依题意有=,同时垂直于两平面的法向量所以有 解得 ，从而有，所以可取=4,3,1故所求的直线方程为 大学数学A第六章练习题参考答案 2013-2014 学年 第二学期一、选择题与填空题1、D 2、C 3、B 4、D 5、A 6、1 7、0 8、 9

14、、 10、二、解答与证明题11、解： ， 。12、解：。13、解：该复合函数以为中间变量，而又是以为自变量的二元函数，由链式法则得：。14、解：令，则 ，。15、解：，解方程组得驻点，故在点处可求得：，则,又,因此为极大值。16、解：当参数时，即点，因为，所以，则切线的方向向量为，从而切线方程为：，法平面方程为：，即 。17、解：令则，从而 ，故所求切平面方程为 ，法线方程为 。18、解：设内接矩形的长、宽分别为，则矩形的面积为，限制条件为，即，作函数：令 又 联解得 ，所以，矩形的最大面积。大学数学A第七章练习题参考答案 2013-2014 学年 第二学期一、选择题与填空题1、D 2、A 3

15、、C 4、D 5、 6、 7、 8、二、解答与证明题1. 计算，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解 由，得交点.故 从而 .2. 计算，其中积分区域.解 在极坐标系下，.故 .3. 计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.解 .4. 计算三重积分，其中是由球面及三个坐标面在第卦限所围的闭区域.解 在球面坐标系下，.5. 计算三重积分，其中是由圆锥面及平面所围的闭区域.解 在柱面坐标系下，.6. 验证：在坐标面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数.解 令， ， 则，因此在坐标面内，是某个函数的全微分.便是满足条件的一个函数. 因积分与路径无关，OB(x, y)yxA(x,

16、 0)如图，取沿到再从到的直线段积分，得.即函数就是满足条件的一个函数.7. 验证曲线积分与积分路径无关，并求其值.证 令， ， 则，因此曲线积分与积分路径无关.ABO如图，取沿到再从到的直线段积分，得.8. 计算下列曲线积分（1），其中为圆周，方向为逆时针方向.（2），其中为椭圆，方向为逆时针方向.解 （1）记所围的闭区域为.令则.由格林公式，有.（2）记为所围的闭区域为.令则.由格林公式，有.9. 设曲面为平面，且，求曲面积分.解 设.在上，=.10. 计算下列曲面积分（1），其中为立方体的表面外侧.（2），其中为球面的外侧.解 （1）记，.由高斯公式得.（2）记，.由高斯公式得.大学数学A第八、九章练习题参考答案 2013-2014 学年 第二学期一、选择题与填空题1、B 2、D 3、D 4、C 5、6、 7、 二、解答题1 解:特征方程: 令,代入原方程得从而所求的通解为:2 解:特征方程: 令,代入原方程得从而所求的通解为:3 解 由知则4. 由 知 则 5. 令,则从而 即6 令,则特征方程 令