记一堂数学探究性学习课

1、记一堂数学探究性学习课课程标准指出，数学探究即数学探究性课题学习，是指学生 围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程.“探究式”是一种全新的数 学课堂教学模式,与布鲁诺的“发现式”教学法在本质上是一致的叶澜 教授在“中国基础教育改革跨世纪思考”中倡导：必须超出和突破“教 学特殊认识论”的传统框架重新全面地认识课堂教学，构造新的课堂 教学观这就耍求教师在教学中，充分挖掘例题习题的探究元素匕 让学生借助原有的知识经验，感悟数学问题产生的原因，以及解决问 题的方法.卜-面这个案例是笔者的教学实录.一、追木溯源，初探凹凸函数的概念师：请同学们完成课本（人教版第45页）第5题.教师巡视查看学生做题方法，发

2、现绝大多数都是用代数方法证 明，也看到有些同学在那里画图思考.师：同学们完成得又快又好，请大家想一想，从几何视角，为 什么会产生这种不等式，你还能举出一些具体例子吗？（表扬永远是最好的鼓励方式，抛出问题，先从具体例子开始, 由具体到抽象，从特殊到一般的数学研究方法）众生曲图，思考.生 1: y=x.大家齐笑，觉得这个太简单，就是刚才的尸g（x）特例.师：其实是一很好的个例子，它最简单，又是二次函数的代表.看到一个同学要发言，立即示意他发言.生厶不等式的两边分别表示两个自变量函数值的均值和两个 口变量均值的函数值.师：有点拗口了，说得很好，是算术平均值.生2：对，从图像上看，只要函数图像时曲线，

3、就会产生不等 式.师：非常棒，一语道破天机.生2 直是班上比较能发现问题的学生，此时他很激动，拉开 了全班同学的思绪.生3：那函数可多了，我们高中学的函数都是的.生4：比如y=, y=x.生 5:例如 y=sinx, y=2.生 6： 述有 y=lgx, y=lnx生7：大家举的例子很多，但是不等式的方向是不一样的.师：大家讨论得很好.生8：那还要注意函数图像不能连续波动，也就是所讨论的区 间内，图像不能连续波动.师：完美补充.师：下面给出凹凸函数的定义.师：下面再看看凹凸函数的图像特征：生9：由图像可知，下凸函数在其定义域中任意两点x, x之间曲线位于相应弦ab的下方，而上凸函数在其定义域中

4、任意两点x, x 之间曲线位于相应弦ab的上方.师：这是从形状特征的几何解释，大家再从图像切线斜率特征 方面看看？生10：下凸函数在其定义域里作曲线切线，随x增大切线斜率 增人；而上凸函数在其定义域里作曲线切线,随x增大切线斜率减小.师：凹答得很好，我们也画出图像.师：犹如我们平时爬上坡，下凸函数是越来越难爬，坡度越来 越陡；而上凸函数是越来越容易爬了，坡度越来越平缓.通过教师的引导，大家踊跃参与，由一道习题发散出我们所要 研究的性质，通过同学们的探究，初步了解了凹凸函数的定义和图像 特征.通过学生自己所见所识，发现问题的规律性，更能深刻把握问 题的关键.师：好的，定义了凹凸函数，你述能再挖掘

5、一下它的性质吗？ 生：明露难色.师：比如前面学习过“增函数+增函数=增函数j或者从图像变 换方面生ix上凸函数+上凸函数=上凸函数.生12：下凸函数+下凸函数二下凸函数.生13：要求在同一定义域内.师：是的.生14：函数y=f (x)与函数y二f (x)的凹凸性相反.师：很好，完善下表述.生15：若函数y=f (x)在区间d上为上凸函数，则函数y二f(x)在区间d上为下凸函数，反之也成立.师：与函数单调性一样，函数的凹凸性也是函数的局部性质.师：也正是这个性质呢，有的文献资料上只讨论上凸函数的性 质，原因在此.这一环节，让学生对函数的凹凸性的认识，从刚才的具体实例 和图像中解放出来，对该性质有

6、了更深刻的理解通过教师引导，学 生类比出相应性质，也反映出学生具有举一反三、触类旁通的能力. 只要引导合理，就能激活学生思维，探究出“步步精彩”.二、函数凹凸性概念的进一步延仲师：刚才我们完成了阶段性的胜利(学生此吋露出欣慰的笑 容)，下面继续探讨.师：若函数y=f (x)在区间d上为下凸函数(例如f (x) =x), 则在d上任意取x, x, x,是否有相应的不等式呢，即自变量增加到 三个.生16：应该有不等式f() <.生17：经验算，函数f(x) =*满足该不等式.猜想，是发现数学真理很重要的方法猜想，也需要很大勇气， 是通过类比，推理再加上大胆的假设，是一个高强度的思维过程，并

7、且需要一个强大的内心.这种推广，就像是一个新的产品，如果有一个人认可了，接着 就有第二个，第三个，然后更多师：能否继续增加自变量呢？生18：当然，若函数y=f(x)在区间d上为下凸函数，在d上任意取x, x, x, x,有f () <生19：要推广到n个自变量了呢.生20：若函数y=f (x)在区间d上为下凸函数，在d上任意 取n个自变量，x, x, .x,有f o <师：大家推广得很好，上凸函数有类似结论.师：对于1叫凸函数的一般定义，大家课下可参考一下资料，下 面我们就要用性质了.三、从做题一小步到出题一大步的能力提高师：请大家尝试证明下列不等式：生：(1)可设f(x)二x,证

8、明略.(2) 可设f (x) =x,证明略.(3) 可设f (x) =|x|,证明略.(4) 可设f (x) =2,证明略.师：同学们出色地完成了习题，下面请根据凹凸函数的定义和 性质，口己编题.生21：已知x, ywr,求证：ign或者变形为lg (x+y) >lg2+.生22：已知a, bwr,求证：二生23：已知a,卩 (0,兀)，求证：sinn.生24：已知a, ber,求证：>.生 25：已知 a, bgr,求证：a+b+sa+b+(口j设 f (x) =x+ (x>0).师：太好了，我们同学们对凹凸函数性质的理解更进一步了， 并且能把已学的基本初等函数很好运用在这

9、里，实在是太好了.学生通过对刚才例题解答，凹凸函数性质的理解，能够很好地 把例题中的儿个基本初等函数置换成其他的基本初等函数，构成不等 式，并且有的还做了变形，体现学生活学活用、灵活变换的能力，也 让学生在寓学于乐的学习氛围之中在教师的提醒、点拨下，做得更出 色.师：同学们能不能再构造出新颖的、特别的不等式？可考虑用 前面探讨出的性质.生 26：已知 f (x)二x+cosx,设 x, xw (，)，求证：f () 2师：这个不等式构造得好，哪个来说说？生27：这个不等式利用了刚才我们探究出来的性质，可设p(x) =x, q (x) =cosx在(-,)均为下凸函数，其和也为下凸函数，所以 有不等式成立.师：嗯，说得好我再来看看我们大家写的.生 28：已知 x, y, zwr,求证：< (+)(可设 f (x)=).生29：已知a, b, c为锐角,求证：tan< (可设f (x) =tanx)生30：已知a, a,，awr,求证：tann (可设f (x) =lnx) 师：大家已经能够把自变量推广到三个以上了.此时已经下课了，可大家仍在构造中对于函数的凹凸性学习，可让学生课下查阅相关资料，看看更 一般的定义，以及相关证明方法