高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：6.7 数学归纳法 Word版含答案_20210103224753

1、淘宝店铺：漫兮教育第七节数学归纳法数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题知识点数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立易误提醒运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)由nk时命题成立，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法自测练习1已知f(n)，则()

2、Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：从n到n2共有n2n1个数，所以f(n)中共有n2n1项，且f(2)，故选D.答案：D2(2016·黄山质检)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n()时等式成立()Ak1Bk2C2k2 D2(k2)解析：根据数学归纳法的步骤可知，则nk(k2为偶数)下一个偶数为k2，故选B.答案：B考点一用数学归纳法证明等式|求证：(n1)(n2)·

3、·(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，等式左边2，右边21·12，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1)当nk1时，左边(k2)(k3)··2k·(2k1)(2k2)2·(k1)(k2)(k3)··(kk)·(2k1)2·2k·1·3·5·

4、;·(2k1)·(2k1)2k1·1·3·5··(2k1)(2k1)这就是说当nk1时，等式成立根据(1)，(2)知，对nN*，原等式成立用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用nk时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明 1用数学归纳法证明下面的等式：12223242(1)n1·n2(1)n1.证明：(1)当n1时，左边

5、121，右边(1)0·1，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1·k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1·k2(1)k·(k1)2(1)k1(1)k·(k1)2(1)k·k2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意nN*，有12223242(1)n1·n2(1)n1.考点二用数学归纳法证明不等式|设数列an各项均为正数，且满足an1ana.求证：对一切n2，都有an.证明数列an各项均为正数，且满足an1ana，a2a1a>0

6、，解得0<a1<1.当n2时，a3a2a2，不等式成立，假设当nk(k2)时，不等式成立，即ak，则当nk1时，ak1aka22<，当nk1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n2，都有an.应用数学归纳法证明不等式注意的两个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明2(2016·大连双基)数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，

7、并证明：>.解：(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，Snn2.证明：法一：>1.法二：(数学归纳法)当n1时，1，不等式成立假设当nk时，不等式成立，即>.则当nk1时，>，又11>0，>，原不等式成立考点三归纳猜想证明问题|将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明S11，S2235，S345615，S

8、47891034，S5111213141565，S6161718192021111，解由题意知，当n1时，S1114；当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，S1114，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4(2k2k1)(2k2k2)(2k2k2k1)k4(2k1)(2k22k1)k44k36k24k1(k1)4，这就是说，当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)，可知对于任意的n

9、N*，S1S3S5S2n1n4都成立归纳猜想证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题3设a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论解：(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明：易知n1时，猜想正确假设nk

10、时猜想正确，即ak，则ak1f(ak).这说明，nk1时猜想正确由知，对于任意的nN*，都有an成立.14.数学归纳法在证明不等式中的易误点【典例】设函数f(x)xsin x，数列an满足an1f(an)(1)若a12，试比较a2与a3的大小；(2)若0<a1<1，求证：对任意nN*,0<an<1恒成立解(1)当a12时，a2f(2)2sin 2(0,2)，所以sin a2>0，又a3f(a2)a2sin a2，所以a3a2sin a2<0，所以a2>a3.(2)证明：用数学归纳法证明当0<a1<1时，对任意nN*,0<an<1

11、恒成立当n1时，0<a1<1，结论成立；假设当nk(k1，kN*)时，0<ak<1，所以sin ak>0，则当nk1时，ak1aksin ak<0，所以ak1<ak<1.因为f(x)xsin x，当x(0,1)时，f(x)1cos x>0，所以f(x)是(0,1)上的单调递增函数，所以ak1f(ak)>f(0)0，即0<ak1<1，故当nk1时，结论成立综上可得，当0<a1<1时，对任意nN*,0<an<1恒成立易误点评(1)不会作差比较a2与a3大小，同时忽视了sin 2的值大小(2)证明nk1成

12、立时用不归纳做证nk成立条件导致失误防范措施(1)用数学归纳证明不等式的关键是由nk时命题成立，证明nk1时命题成立(2)在归纳假设使用后，注意最后结论证明方法的选择跟踪练习若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xn<xn1<3.证明：(1)当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直线PQ1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此，2x1<x2<3，即n1时结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即2xk<xk1<3.直线PQk1的方程

13、为y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2<xk1<3，xk24<43；xk2xk1>0，即xk1<xk2.所以2xk1<xk2<3，即当nk1时，结论成立由(1)，(2)知对任；意的正整数n,2xn<xn1<3.A组考点能力演练1用数学归纳法证明：1<2(nN，n2)证明：(1)当n2时，1<2，命题成立(2)假设nk时命题成立，即1<2.当nk1时，1<2<222命题成立由(1)，(2)知原不等式在nN，n2时均成立2已知数列an的前n项和为Sn，通项公式为anf

14、(n)(1)计算f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)比较f(n)与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论证明：(1)由已知f(1)S21，f(2)S4S1，f(3)S6S2；(2)由(1)知f(1)>1，f(2)>1；下面用数学归纳法证明：当n3时，f(n)<1.由(1)知当n3时，f(n)<1；假设nk(k3)时，f(k)<1，即f(k)<1，那么f(k1)<111<1，所以当nk1时，f(n)<1也成立由和知，当n3时，f(n)<1.所以当n1和n2时，f(n)>1；当n3时，f(n)<1.3(2015·安

15、庆模拟)已知数列an满足a1a>2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an>2；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由；(3)设Sn为数列an的前n项和，求证：当a3时，Sn<2n.解：(1)证明：用数学归纳法证明an>2(nN*)；当n1时，a1a>2，结论成立；假设nk(k1)时结论成立，即ak>2，则nk1时，ak1>2，所以nk1时，结论成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an>2成立(2)an是单调递减的数列因为aaan2a(an2)(an1)，又an>2，所以aa<0，所以an1<an.这

16、说明an是单调递减的数列(3)证明：由an1，得aan2，所以a4an2.根据(1)知an>2(nN*)，所以<，所以an12<(an2)<2·(an12)<<n(a12)所以，当a3时，an12<n，即an1<n2.当n1时，S13<2.当n2时，Sn3a2a3an<332(n1)2n1<2n.综上，当a3时，Sn<2n(nN*)B组高考题型专练1(2014·高考江苏卷)已知函数f0(x)(x>0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等

17、式都成立解：(1)由已知，得f1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2，故2f1f21.(2)证明：由已知，得xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin，类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立当n1时，由上可知等式成立假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(

18、x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，cos·sin，所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin.因此当nk1时，等式也成立综合可知等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x，可得nfn1fnsin(nN*)所以(nN*)2(2014·高考安徽卷)设实数c>0，整数p>1，nN*.(1)证明：当x>1且x0时，(1x)p>1px.(2)数列an满足a1>c，an1ana.证明：an>an1>c.证明：(1)用数学归纳法证明：当p2时，(1x)212xx2>12x，原不等式成立假设pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k>1kx成立当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k>(1x)(1kx)1(k1)xkx2>1(k1)x.所以pk1时，原不等式也成立综合可得，当x>1且x0时，对一切整数