现代控制理论试卷及答案总结

1、20XX年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题 1分）试判断以下结论的正确性， 若结论是正确的，（ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（）4.对线性定常系统 x Ax ，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵 A的特征值都具有负实部是一致的。（）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（）7.系统的状态能控性和能观性

2、是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（×）8.若传递函数 G( s) C( sI A) 1 B 存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（ × ）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（ × ）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。二、已知下图电路，以电源电压 u(t) 为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2上的电压为输出量的输出方程。（10 分）解：（1）由电路原理得：di L1R11udt1 iL1ucLLL111di L2R1ucdt2

3、 iL2L2L2duc11iL2dtiL1ccuR2R2iL2R1011i LLLiL1111L1R21i L0iL0 uL2L2220uc11uc0cciL1uR20R20iL2uc二（10 分）图为 R-L-C 电路，设 u 为控制量，电感 L 上的支路电流和电容 C上的电压 x2 为状态变量，电容 C上的电压 x2 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。解：此电路没有纯电容回路， 也没有纯电感电路， 因有两个储能元件，故有独立变量。以电感 L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：i Lx1 ,uc x2 ，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：R2 C x2x2

4、L x1 0R1 (x1C x2 ) L x1 u 0从上述两式可解出x1 ， x2 ，即可得到状态空间表达式如下：R1R2R1R2x1( R1R2 )L( R1R2 )Lx1( R1R2)LR11x2ux21( R1R2 )C( R1R2 )C( R1R2 )Cy101x10R1 R2R1R2uy2=R1R2R1 R2x2 + R1R2三、（每小题 10 分共 40 分）基础题（1）试求 y3y2 yuu 的一个对角规范型的最小实现。 （10 分）Y (s)3(s2s1)2s11)(sss11114U ( s) s3( s1)( s2s2)3s2s2s2s 2s 1不妨令X1( s)1 ，

5、X 2 (s)1U (s)s 2U (s)s 1于是有2x12x1ux2x2u又 Y(s)1X1 (s)X 2 ( s)，所以 Y( s) U (s)X1( s) X 2 ( s) ，即有U (s)U (s)U (s)y u x1 x22最终的对角规范型实现为x12x1ux2x2uyx1x2u201x1xu, y 1 1 x + u2010112x3xu, y 1 2 x2210x021ux1322y12 x2rankU C rank bAb562,系统状态完全能控3分rank32则对偶系统能观3分31011x t2x tu t , x(0)011 10e t0te 2t0.3x(t )tx(

6、0)tt Bu( )d0.3e t01t e t01d0e2t100e2 t1.2e tt e tde2t0e2 t.1e t1e t1=11e= 1e2 te 2t2t1.122111（ 4）已知系统 x0xu 试将其化为能控标准型。 （10 分）01解： uc12101.210， uc1122p1101110 1 10 1 uc122.122p2p1A111111.12200221111P22,P1.2111122能控标准型为 x010u .401x1四、设系统为x11 100x11x1x201 00x20x2x3003 0x3u,y 0 1 4 05x3x40004 x40x4试对系统进

7、行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10 分）解：能控性分解：x13000x15x20-1 10x21（ 分）x300-10x3u,40x40004x40x1y401x20x3x4能观测性分解：x13000x15x20-1 00x20（ 分）x301-10x3u,41x4000-4x40x1y410x20x3x44520(2分)传递函数为 g(s)3s 3s五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统01xx 的稳定性。（1011分）方法一：解：x1x2x2x1 x2原点 xe =0 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即v( x)x12x220v( x) 2x1 x1

8、2x2 x22x1 x22x2 ( x1x2 )2x22当 x10 ，x20 时， v( x)0 ；当 x10 ，x20 时，v( x)0 ，因此 v( x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：v( x)1 (x1 x2 )22x12x22= x1 x23 21 2x11 21x22为正定，而v( x) (x1x2 )( x1x 2 ) 2x1 x1x2 x 2( x12x22 )为负定的，且当 x，有 V ( x)。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。方法二：解：或设 Pp11p12p21p22则由 ATP PAI 得0 1 p11p12p1

9、1p120 11 01 1 p12p22p12p221 10132 p111p112p1 1pp11 p12p220p22 1Pp2 p122 p2211p1 2p122p11p123130detdet 225P11p12p220211421 22 23122112可知 P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的六、 （20 分）线性定常系统的传函为Y (s)s4U (s)(s 2)( s 1)（1）实现状态反馈， 将系统闭环的希望极点配置为4, 3 ，求反馈阵K。（5分）（2）试设计极点为（-10,-10）分）。全维状态观测器（ 5（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4

10、分）（4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4 分）注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为：解：（1） Y(s)s 4s42U (s)(s 2)( s 1)s23s系统的能控标准型实现为：X010分2Xu, y 4 1 X131系统完全可控，则可以任意配置极点 1 分令状态反馈增益阵为Kk1k21 分则有A BK01，则状态反馈闭环特征多项式为k22k1 3I ABK2(k13)( k22)又期望的闭环极点给出的特征多项式为：( s4)( s 3) s27s 12由2(k1 3) (k2 2) s27s 12 可得到 K4103分（ 2）观测器的设计：由传递函数可知，原系统

11、不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。 1 分令 Ee1e2T1 分由观测器x( AEC )x Bu Ey 可得其期望的特征多项式为 :?f ( s)detI( AEC)2(4e1 e2 3) (10e1 4e2 2)f * (s)(10)(10)220100Tf * (s)f (s)E11954 分3 3（ 3）绘制闭环系统的模拟结构图第一种绘制方法：?BuEyx( A EC )x114411A0134 133EC39538610423334411011?33?3uyx( A EC )x Bu Ey386104x951333x2vu1s324102231x?2s223

12、583x1x1y1s422341x?1?y3s4434（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！）01011?3?x Ax Bu E( y y)23xu95( y y)13vu1s32410x21x1x1ys41x21x1?yss4状态观测器部分3213233（ 4）闭环前系统状态完全能控且能观， 闭环后系统能控但不能观 （因为状态反馈不改变系统的能控性， 但闭环后存在零极点对消， 所以系统状体不完全可观测） 4 分A 卷一、判断题，判断下例各题的正误，正确的打，错误的打 ×（每小题1 分，共 10 分）1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起

13、输出变化的变换过程（ ）2、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×）4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作用的位置有关（ ）7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（）9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解

14、的收敛性，与输入无关（ ）10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×）二、已知系统的传递函数为Y(s)s310s231s32G (s)(s25s6)(s5)U (s)试分别用以下方法写出系统的实现：（ 1） 串联分解（ 2） 并联分解（ 3） 直接分解（ 4） 能观测性规范型（ 20 分）解：G (s)s310 s231s3212s310 s231s3031s 30s3 10 s2对于2有10s231s 30s3（1）串联分解s3 10s22231s30 (s 5)( s 2)( s 3)串联分解有多种， 如果不将2 分解为两个有理数的乘积，如2 1 8，绘制

15、该系统串联分解4的结构图， 然后每一个惯性环节ki的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实pi )( s现为：32221112131s30( s2)( s3)(s5)( s2)( s 2)( s 5)s10s1121112( s2)( s 3)( s5)(s2)( s3)( s5)则对应的状态空间表达式为：20022001X13 0X 0 u X23 0X 0 u0150,0150y 0 0 1 X uy 0 0 1 X u20012001X13 0X 0 u X13 0X 0 u0250,0150y 0 0 1 X uy 0 0 2 X u需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换

16、对应行之间对角线的元素！2002211X130X0 u如的实现为：0150(s 2)(s 3)(s 5)y0 01 Xu5002211X130X0u则的实现为：0120(s 5) (s 3) (s 2)y0 01 Xu依次类推！（2）并联分解s310s22k1k2k331s 30 (s1)( s2 ) ( s 3 )100b1实现有无数种，若实现为X020Xb2u00b3只要满足3yc1c2c3Xuc1b1 =k1，c2b2 =k2，c3b3 =k3即可2211例如：31s30(s3( s(s3，则其实现可以为：s310 s22)3)5)200150025001 33X030X1 uX02 0

17、 X1 u X02 0 X 1 3 u如：0051,0031,0310y211 X uy111 Xu3y 1 3 2 3 X u33（3）直接分解1000X010X0 u3031101y 1 0 0 X u（ 4）能观测规范型10301X0131X 0u00100y001 Xu三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统xAx, t0 。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为13 e t1 e3t25 e t3 e3 t, x(t )44； x(0), x(t)44x(0)3 e t1 e3t5 e t3 e3t112222试据此定出系统矩阵A。（10 分）解： x(t)eAt x(0)可得3

18、e t1 e3t5 e t3 e3t113 e t1 e3t5 e t3 e3 tAt444424444e3 e t1 e3t5 e t3 e3 t1 13 e t1 e3t5 e t3 e3t222222221 e te3t1 e t1 e3t244e te3t1 e te3t21t33t1t3 3 tdeAt2 e2 e4 e4 e11At 01 e tt0dte t3e3t3 e3t41221 21 1四、已知系统的传递函数为G ( s)4 sa2s312s222 s12（ 1）试确定 a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；（ 2）在上述 a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表

19、达式，判断系统的能观测性；（3）若 a3，写出系统的一个最小实现。（15 分）解：（ 1）因为G(s)4 sa2s2a2 sa2s3 12s222s 12s36s211s 6s 1 s2 s 3因此当 a1或 a2 或 a3 时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统（2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一0100x001x 0uy 2 a 2 0 x61161存在零极相消，系统不能观2（3） a3，则有 G (s)s2 3s 2可写出能控标准形最小实现为010xxuy20 x231此问答案不唯一，可有多种解五、已知系统的状态空间表达式为20x0x2u31y 2 5 x（

20、1）判断系统的能控性与能观测性；（ 2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？（ 3）试将系统按能控性进行分解；（ 4）求系统的传递函数。 （ 15 分）解：（ 1）系统的能控性矩阵为U C00b Ab， detU C 0,rankU C 1 212故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为U Oc251150, rankU O2cA19， detU C10故系统的状态不能观测4 分（ 2） rankU C1，因此能控的状态变量数为11 分（ 3）由状态方程式200x12x1xx1u3x12x2 u32x2可知是 x2 能控的， x1 是不能控的2 分（ 4）系统的传递函数为G(s)c sI1c2

21、 sIA2153 分A bb2只与能控子系统有关s2六、给定系统1axxa1解李雅普诺夫方程，求使得系统渐近稳定的a 值范围。（ 10 分）七、伺服电机的输入为电枢电压，输出是轴转角，其传递函数为G0 ( s)50s s2（1）设计状态反馈控制器uKxv ，使得闭环系统的极点为5j 5 ；（ 2）设计全维状态观测器，观测器具有二重极点15；（ 3）将上述设计的反馈控制器和观测器结合，构成带观测器的反馈控制器，画出闭环系统的状态变量图；（ 4）求整个闭环系统的传递函数。 （ 20 分）第二章题A 卷第一题： 判断题， 判断下例各题的正误，正确的打 ，错误的打 ×（每小题1 分，共 10

22、 分）11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动， 输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（ ）12、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）13、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（ ×）14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）15、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）16、状态的能空性是系统的一种结构特性 ,依赖于系统的结构 , 与系统的参数和控制变量作用的位置有关（ ）17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）18、一个传递函数化为状态方程后，系统的能

23、控能观性与所选择状态变量有关（）19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后， 系统状态方程解的收敛性， 与输入无关（ ）20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×）Y(s)32第二题：已知系统的传递函数为s10s31s32 ,试分别用以下方法写G (s)U (s)(s25s6)( s1)出系统的实现：（ 5） 串联分解（ 4 分）（ 6） 并联分解（ 4 分）（ 7） 直接分解（ 4 分）（ 8） 能观测性规范型（ 4 分）（ 9）绘制串联分解实现时系统的结构图（4 分）解：G (s)s310 s232s301ss310s231s30s310s231s

24、30对于10s2s有31s30s3（3）串联分解32ss31s30(s1)(s 2)( s3)s10s串联分解有三种ss111s111ss3 10s231s30(s 1)(s2)( s3)(s1)(s2)(s3)(s 1)( s2)(s 3)(11).1.11.(12).11.1(13)(s2)3)( s1)(s3)( s(s(s(s1)(s2)( s1)2)3)对应的状态方程为：100110011001X12 0X 1 u X120X 0 u X12 0X 0u013,1230,01300y 0 0 1 Xy 0 0 1 Xy 0 1 3 X（4）并联分解s1223 2s310s231s30

25、(s1)( s2)(s3)实现有无数种，其中之三为：10011001 21001 4X02 0X 1 u X02 0 X2 u X02 0X1 u0031,0033 2,0033 2y1 2 23 2 Xy 1 1 1 Xy 2 2 1 X（3）直接分解1000X010X0u3031101y 010X（ 4）能观测规范型10300X 0131X1 u00100y 001X（ 10） 结构图第二章题B 卷第一题： 判断题， 判断下例各题的正误， 正确的打 ， 错误的打 ×（每小题 1 分，共 10 分）1、状态空间模型描述了输入 -输出之间的行为 ,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内

26、部行为（ ）2、状态空间描述是对系统的一种完全的描述，而传递函数则只是对系统的一种外部描述（）3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化（×）4、对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变（）5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动（×）6、能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理（）7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统（）8、一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的（ ）9、对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数是唯一的（ ×）10

27、、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的（）2、第二题：求以下为输出。其中RLC 网络系统的状态空间模型R1、R2、 C 和 L 为常数。, 并绘制其结构图。取电压e_i 为输入，e_o第二题图答案 :解：（状态变量可以另取）定义状态变量： x1 为电阻两端电压v，x2 为通过电感的电流i。输入 u 为 e_i，输出 y 为 e_o 。使用基尔霍夫电流定理列R1 和 R2 间节点的电流方程：v- ei+ C dv + i = 0dv = -1 v- 1 i +1 eiR1dtdtR1CCR1C使用基尔霍夫电压定理列出包含C、R2、 L 回路的电压方程：v -

28、R2i -Ldi dt= 0didt=1Lv -R2 iL最后，输出电压的表达式为：e ovR2i得到状态空间模型：111xRCR Cx1111R1C ux21R2x20LLy 1R2x1x21结构图为：R2 Lyux1x21 RC1LR 211 R1C1 C第三题：如图所示，系统的输入量为 u1 和 u2、输出量为 y 和请选择适当的状态变量，并写出系统的状态空间表达式，根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：u152ys1s210s10第三题图解：状态变量如下图所示（3 分）u5x12x2 ys1s2x310s10从方框图中可以写出状态方程和输出方程（4）x1x15x35ux22x12 x2x210x210x3yx2状态方程的矩阵向量形式：1055X220 X0u010100y01 0 X系统的传递函数为（3 分）：G (s) c(sI A)1b10s