晶体结构(结构 晶面指数)

1、周剑平周剑平物理学与信息技术学院物理学与信息技术学院2011.9. 2012.1 文津楼文津楼12612星期五星期五 8:00-12:00第第1讲讲 晶体结构晶体结构1 Crystals Structure晶体结构晶体结构 Crystal Structure晶列、晶面晶列、晶面 Crystals Array and Plane对称性对称性 Symmetry倒易空间倒易空间 Reciprocal Space晶晶 体体固固 体体：包括晶体、非晶体和准晶：包括晶体、非晶体和准晶晶晶 体体：有固定熔点，金属、岩盐、石英、金刚石：有固定熔点，金属、岩盐、石英、金刚石非晶态非晶态：没有固定熔点，橡胶、塑料

2、、玻璃、腊：没有固定熔点，橡胶、塑料、玻璃、腊晶晶 体体：是指其内部的原子、分子、离子或其集团：是指其内部的原子、分子、离子或其集团在三维空间呈周期排列的固体，表现为在三维空间呈周期排列的固体，表现为（在微米量级范围是有序的）（在微米量级范围是有序的）非晶体非晶体：无规则的，：无规则的，在在X X射线中出现明显衍射峰的称为晶体射线中出现明显衍射峰的称为晶体（微米量级甚至纳米量级）（微米量级甚至纳米量级）晶体分为：晶体分为：单晶体单晶体 多晶体；有机晶体多晶体；有机晶体 无机晶体无机晶体完整晶体完整晶体 非完整晶体非完整晶体20304050607080Intensity (a.u.)2 Pb(Z

3、r,Ti)O3晶体特征晶体特征固体物理研究的对象：长程有序晶体完整晶体。固体物理研究的对象：长程有序晶体完整晶体。晶体中原子的周期性排列使晶体具有一些共同的性质：晶体中原子的周期性排列使晶体具有一些共同的性质：1.均匀性均匀性:晶体不同部位的宏观性质相同晶体不同部位的宏观性质相同（平移特性）（平移特性）2.不均匀性不均匀性:晶体的不同方向上具有不供的物理性质晶体的不同方向上具有不供的物理性质（旋转特性）（旋转特性）3.自限性：自限性：晶体具有自发形成规则的几何外形的特性晶体具有自发形成规则的几何外形的特性4.对称性：对称性：晶体在某几个特定的方向上表现出来的物理化学性质完晶体在某几个特定的方向

4、上表现出来的物理化学性质完全相同的特性全相同的特性5.解理性：解理性：晶体常具有某些确定范围的沿晶面劈裂的性质，劈面称晶体常具有某些确定范围的沿晶面劈裂的性质，劈面称为解理为解理6.最小内能：最小内能：同一种物质的几种不同形态（气、液、非晶态、晶态）同一种物质的几种不同形态（气、液、非晶态、晶态）以晶体内能最小以晶体内能最小晶体的周期性晶体的周期性晶体结构结构基元空间点阵为了便于分析研究晶体中质点的为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际晶体结排列规律性，可先将实际晶体结构看成完整无缺的理想晶体构看成完整无缺的理想晶体其中的等价的原子或原子团代表其中的等价的原子或原子团代表一个一个结

5、构基元结构基元(basis)，抽象为，抽象为格点格点或或阵点阵点。空间点阵空间点阵：阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周：阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围环境（包括化学环境和几何环境），在三维空间规则排列的阵围环境（包括化学环境和几何环境），在三维空间规则排列的阵列称为列称为空间点阵空间点阵，简称，简称点阵点阵。BravaisBravais格子描述空间点阵：格子描述空间点阵： Rl=l1al+l2a2+l3a3，体现了平移对称性，体现了平移对称性l1,l2,l3 为整数，为整数，al,a2,a3代表不在同一平面内的代表不在同一平面内的3个矢量，称为个矢量，称为基矢基矢体现

6、了对称性与周期性体现了对称性与周期性点阵与晶体结构点阵与晶体结构阵点（几何点代替结构单元）和点阵（阵点的分布总体）阵点（几何点代替结构单元）和点阵（阵点的分布总体）与晶体结构（与晶体结构（=点阵点阵+结构单元）的区别。结构单元）的区别。1.晶体点阵晶胞晶体点阵晶胞元胞元胞 选取有一定随意性选取有一定随意性?基本原则基本原则：最小重复单元，最小重复单元，体积最小，体积最小，内部不包含其他格内部不包含其他格点点原胞原胞(Primitive cell) 一个晶格中最小重复单元，平移完全覆盖一个晶格中最小重复单元，平移完全覆盖晶格的最小单元，原胞中必包含、也只包含一个结构基元（阵点）晶格的最小单元，原

7、胞中必包含、也只包含一个结构基元（阵点）体现晶格共同特点体现晶格共同特点 周期性，可以用原胞和基矢来周期性，可以用原胞和基矢来描述描述基矢基矢 满足满足R=l1al+l2a2+l3a3 (Bravais 格子格子)，其中矢量，其中矢量al, a2 , a3 为原胞的边矢量，即基矢为原胞的边矢量，即基矢;由基矢构成的六面体即原胞由基矢构成的六面体即原胞2原胞选取原胞选取基矢的选择原则：基矢的选择原则：al, a2 , a3 线性无关线性无关al, a2 , a3尽可能小，夹角尽尽可能小，夹角尽可能为直角或接近于直角，可能为直角或接近于直角，并组成右手系并组成右手系尽可能反映点阵的对称性尽可能反映

8、点阵的对称性原胞体积原胞体积123 aaa晶胞晶胞(Unit cell) 为了反映晶格的为了反映晶格的对称性对称性，又能反应晶体，又能反应晶体周期性周期性的的尽可能小重复单元，取一个或多个最小重复单元，包含一个或几个尽可能小重复单元，取一个或多个最小重复单元，包含一个或几个原胞的平行六面体原胞的平行六面体简单立方晶格简单立方晶格 晶胞是原胞晶胞是原胞面心立方、体心立方晶格面心立方、体心立方晶格 晶晶胞不是原胞胞不是原胞轴矢轴矢 描述晶胞的三个格矢描述晶胞的三个格矢a b c ， 夹角夹角a b g a b g ( (晶格常数晶格常数)3晶胞的晶胞的6个参数个参数v ab c晶胞体积晶胞体积选取

9、的平行六面体应反映出点阵的选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；最高对称性；平行六面体内的棱和角相等的数目平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；应最多；当平行六面体的棱边夹角存在直角当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最多；时，直角数目应最多；晶轴交角不为直角时，选最短的晶晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角。轴，且交角接近直角。当满足上述条件的情况下，晶胞应当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。具有最小的体积。画出图画出图(c)的一组格点，选的一组格点，选择一组基矢、原胞、基元择一组基矢、原胞、基元 点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构点阵：晶体的周期性

10、，忽略填充空间的实际结构(分子分子) , Bravais格子格子 阵点：将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点阵点：将其中每个质点抽象为规则排列于空间的几何点 结构基元、格点、原胞的关系结构基元、格点、原胞的关系 基矢，原胞基矢，原胞 轴矢，晶胞轴矢，晶胞 晶体结构：晶体结构： 原子在晶体中的周期性排列。原子在晶体中的周期性排列。 它可以通过在每阵点安它可以通过在每阵点安放一个称为基元的一组原子来描述放一个称为基元的一组原子来描述晶体结构晶体结构=结构基元（原胞）结构基元（原胞）+ +空间点阵空间点阵不要混淆阵点和原子不要混淆阵点和原子 阵点是在空间中无穷小的点。阵点是在空间中无穷小的点。

11、 原子是实在物体。原子是实在物体。 阵点不必处于原子中心，可以包含多个原子离子阵点不必处于原子中心，可以包含多个原子离子复式晶格复式晶格 简单晶格简单晶格 基元是一个原子基元是一个原子配位数配位数 Bravais格子中，格子中，任一个原子最近邻、等距离的原子任一个原子最近邻、等距离的原子数目，描写晶体中粒子的紧密程度，用符号数目，描写晶体中粒子的紧密程度，用符号 z 表示。表示。配位数越高，晶体的排列程度就越紧密，晶体的结合能就越低。配位数越高，晶体的排列程度就越紧密，晶体的结合能就越低。致密度致密度把原子看成刚性球，原子之间必有空隙存在，用原子把原子看成刚性球，原子之间必有空隙存在，用原子刚

12、球所占体积与晶体体积之比来表示晶体结构排列的紧密程度，刚球所占体积与晶体体积之比来表示晶体结构排列的紧密程度，称为致密度或密集系数。称为致密度或密集系数。晶胞和原胞的关系晶胞和原胞的关系原胞只考虑点阵周期性的最小重复单元，晶胞考虑周期性与对称原胞只考虑点阵周期性的最小重复单元，晶胞考虑周期性与对称性的尽可能小的重复单元性的尽可能小的重复单元对简单格子，晶胞就是原胞，晶胞体积是原胞体积对简单格子，晶胞就是原胞，晶胞体积是原胞体积对对复杂格子复杂格子（体心、面心、六方等），晶胞大于原胞，晶胞体积（体心、面心、六方等），晶胞大于原胞，晶胞体积是原胞的整数倍是原胞的整数倍简单立方简单立方（simple

13、 cubic, sc），晶胞就是原胞，），晶胞就是原胞，由由完全等价完全等价的一的一种原子构成的晶格种原子构成的晶格原胞体积原胞体积 原胞中只包含一个原子原胞中只包含一个原子123,aaaai aj ak3123()Vaaaa基矢基矢致密度致密度/62) 体心立方晶格体心立方晶格(body-center cubic, bcc)包含来包含来2个原子，坐标是（个原子，坐标是（0,0,0）（）（0.5,0.5,0.5），体心的原子和），体心的原子和格点的原子是等价的格点的原子是等价的晶胞体积晶胞体积 Li、Na、K、Rb、Cs、Fe 等金属等金属注：晶胞中原子的坐标用其在轴矢上的投影表示。注：晶胞中

14、原子的坐标用其在轴矢上的投影表示。3Va a b c由立方体的中心到三个顶点引三个基矢由立方体的中心到三个顶点引三个基矢: al, a2 , a3 基矢基矢原胞体积原胞体积 原胞中只包含一个原子为晶胞体积的一半原胞中只包含一个原子为晶胞体积的一半配位数配位数 8，致密度，致密度123()2()2()2aaa aijkaijkaijk31231()2VaaaaHomework写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积4面心立方基晶胞面心立方基晶胞3 /8以上的晶格中，原胞中只含有一个原子以上的晶格中，原胞中只含有一个原子简单晶格简单晶格简

15、单晶格简单晶格：晶格中的所有原子在化学、物理、几何环境都是一样晶格中的所有原子在化学、物理、几何环境都是一样的，每个原子或离子都是等价的，结构基元中只有一个原子。的，每个原子或离子都是等价的，结构基元中只有一个原子。复式晶格复式晶格：每个原胞中含有两个或两个以上的等价原子或离子，：每个原胞中含有两个或两个以上的等价原子或离子，在晶格中这些原子或离子是不等价的。同种等价的原子构成和在晶格中这些原子或离子是不等价的。同种等价的原子构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶

16、格却简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。不一定是简单晶格。不同原子或离子构成的晶体不同原子或离子构成的晶体NaCl 、 CsCl 、ZnS等等 相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，金刚石，六角立相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，金刚石，六角立方方 复式格子包含两种或两种以上的等价原子复式格子包含两种或两种以上的等价原子1. NaCl结构，两种面心结构离子嵌套而成结构，两种面心结构离子嵌套而成 一种典型的离子晶体，其他晶体还有一种典型的离子晶体，其他晶体还有KCl，AgCl，PbS等等.Na+（0,0,0）fcc，Cl-（0.5,0.5,0.5

17、） fcc，Na+ 平移（平移（0,0,0.5）即可）即可变为变为Cl-， Na+和和Cl-离子各自构成面心立方结构离子各自构成面心立方结构Cs+（0,0,0），），Cl-（0.5,0.5,0.5），）， Cs+ 平移（平移（0.5,0.5,0.5）即可）即可变为变为Cl-， Cs+和和Cl- 离子各自构成简单立方结构离子各自构成简单立方结构2. CsCl 结构结构由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移角线位移12 的长度套构而成的长度套构而成金刚石晶格结构金刚石晶格结构3. 金刚石：碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子，金刚石：碳原子构成的

18、一个面心立方原胞内还有四个原子，分别位于四个空间对角线的分别位于四个空间对角线的 1/4处处C1（0,0,0）fcc，C2（ 1/4, 1/4, 1/4 ） fcc，两个面心立方相对移，两个面心立方相对移动（动（1/4, 1/4, 1/4）一个碳原子和其它四个相邻的碳原子构成一个正四面体一个碳原子和其它四个相邻的碳原子构成一个正四面体其基矢参考面心立方结构其基矢参考面心立方结构配位数是为配位数是为4，致密度为，致密度为34%120000014341212121434C组成的不同结构组成的不同结构DiamondGraphiteC60C组成的不同结构组成的不同结构不同类型的不同类型的C纳米管纳米管

19、Zn2+ 平移（平移（1/4, 1/4, 1/4），即可变为），即可变为S2-，GaAs也具有这种结也具有这种结构构4. ZnS 结构结构具有金刚石类似的结构具有金刚石类似的结构六角结构六角结构5. 六角密堆结构（六角密堆结构（hcp, Hexagonal close-packed）：原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式 结合能最低的位置结合能最低的位置 每个球的周围有每个球的周围有6个空隙这样构成一层个空隙这样构成一层 A层层晶体由全同一种粒子组成，将粒子晶体由全同一种粒子组成，将粒子看作小圆球看作小圆球 ，这些全同的小圆球

20、最，这些全同的小圆球最紧密的堆积紧密的堆积第二层是同样的铺排第二层是同样的铺排 B层层第三层是同样的铺排第三层是同样的铺排 A层层A层和层和B层的原子所处的环境不同，层的原子所处的环境不同，是是复式格子复式格子六角结构六角结构B层原子球排列层原子球排列A层原子球排列层原子球排列C层原子球排列层原子球排列原子球排列为：原子球排列为：AB AB AB ，晶体结构如：，晶体结构如：Be、Mg、Zn、Cd六角结构六角结构5 六方初基晶胞六方初基晶胞六角密排晶格的原胞基矢选取六角密排晶格的原胞基矢选取一个原胞中包含一个原胞中包含A层和层和B层原子各一个，层原子各一个， 共 两 个 原 子 ， 坐 标 为

21、 （共 两 个 原 子 ， 坐 标 为 （ 0 , 0 , 0 ）（1/3,2/3,1/2）原胞基矢原胞基矢晶胞基矢：晶胞基矢：密堆积所对应的配位数最大：密堆积所对应的配位数最大：12致密度高：致密度高：理想结构晶格常数比：理想结构晶格常数比：2/6/8/3c a 123322322aaaac aijaijaka1,a2夹角为夹角为120o，原胞体积，原胞体积21233()2Va caaa面心结构的原子堆积面心结构的原子堆积B层原子球排列层原子球排列A层原子球排列层原子球排列C层原子球排列层原子球排列原子球排列为：原子球排列为：ABC ABC ABC ，晶体结构如：，晶体结构如： Cu、Ag、

22、Au、注意：面心结构属于简单晶格，六角结构属于复式结构注意：面心结构属于简单晶格，六角结构属于复式结构面心结构面心结构 面心立方结构的原子堆垛方式 密排六方的原子堆垛方式 A层B层C层ABCABBBBBCCCCC钛酸钡原胞可以取作简单立方钛酸钡原胞可以取作简单立方体，包含：体，包含：3个不等价的个不等价的O原子原子1个个Ba原子原子1个个Ti原子原子 共共5个原子个原子BaTiO3的晶格：由的晶格：由 Ba、 Ti和和 OI、 OII、 OIII各自组成的简立方各自组成的简立方结构子晶格套构而成结构子晶格套构而成相应简单晶格的原胞，一个原胞中包含各种等价原子各一个相应简单晶格的原胞，一个原胞中

23、包含各种等价原子各一个Homework确定确定NaCl、ZnS和六角密排结构的原胞、基矢和六角密排结构的原胞、基矢钙钛矿结构钙钛矿结构 重要介电晶体重要介电晶体钛酸钡（钛酸钡（BaTiO3）锆酸铅（锆酸铅（PbZrO3）铌酸锂（铌酸锂（LiNbO3）钽酸锂（钽酸锂（LiTaO3）等）等晶格周期性的描述晶格周期性的描述 Bravais格子格子 (空间点阵空间点阵)简单晶格简单晶格，任一原子，任一原子A的位矢的位矢复式晶格复式晶格：任一原子：任一原子A的位矢的位矢1 12233,1, 2,3llllaaRraaaar原胞中各种不等价原子之间的相对位移原胞中各种不等价原子之间的相对位移例：金刚石晶格

24、例：金刚石晶格碳碳1位置位置碳碳2位置位置其中其中1 12233lllaaa1 12233lllaaa1 1 1( , )4 4 41 12233llllRaaa1223lRaa1233lRaaa定义定义 以任意一个格点为中心，以此格点与一切相邻格点连线的中以任意一个格点为中心，以此格点与一切相邻格点连线的中垂面为界面围成的最小多面体垂面为界面围成的最小多面体特点特点 总是代表其点阵的点群对称性总是代表其点阵的点群对称性总是原胞总是原胞最自然最漂亮的原胞，能反映晶体对称性的最小重复单元最自然最漂亮的原胞，能反映晶体对称性的最小重复单元 平面六角平面六角bcc 截角正八面体截角正八面体Fcc 正

25、十二面体正十二面体晶向和晶向指数晶向和晶向指数Bravais格子的特点格子的特点 所有格点周围的环境都是一样的所有格点周围的环境都是一样的但沿不同方向上的物理性质不同的但沿不同方向上的物理性质不同的各向异性各向异性Bravais格子的格点可以看成分布在一系列平行的直线上格子的格点可以看成分布在一系列平行的直线上晶列晶列晶列的指向晶列的指向晶向晶向（Crystal direction）一个格点的位矢一个格点的位矢(或化为互质整数或化为互质整数)：uvwabc6晶向指数晶向指数晶向指数例子晶向指数例子练习：在简单立方中标出晶向指数练习：在简单立方中标出晶向指数 311晶向族晶向族晶体中对称关系等同

26、，但空间位向不同的所有晶向归并为晶体中对称关系等同，但空间位向不同的所有晶向归并为一个晶向族用一个晶向族用表示表示面对角线面对角线OB的晶向的晶向110，共，共12个表示为个表示为体对角线体对角线OC的晶向的晶向111，共有，共有8个表示为个表示为：晶列上格点分布是周期性的晶列上格点分布是周期性的晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的；在同一平面内，相邻晶列间的距离相等在同一平面内，相邻晶列间的距离相等.简单立方晶格的晶向标志简单立方晶格的晶向标志立方边共有立方边共有6个不同的晶向个不同的晶向表示为表示为100,001,010010,001,100晶

27、面和晶面指数晶面和晶面指数晶面指数的确定步骤晶面指数的确定步骤（1）以晶胞中的某一阵点为原点，以三条棱边为轴，并以晶胞棱）以晶胞中的某一阵点为原点，以三条棱边为轴，并以晶胞棱边的长度为单位长度；边的长度为单位长度；（2）求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，）求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行，则在此轴上截距为无穷大；则在此轴上截距为无穷大；（3）取各截距的）取各截距的倒数倒数；（4）将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面）将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，记为的指数，记为( h k l )MillarMillar指数指数。

28、晶面晶面是经过阵点的平面，由平面方程是经过阵点的平面，由平面方程hx + ky + lz = m描述，写作描述，写作 1/xyzm hm km l即平面与基轴的截距为m/h, m/k, m/l，当m=1（最靠近原点的那个平面），截距的倒数hkl可以表征了所有所有的相互平行的平面，称为晶面指数。XZYXZYXZYXZYXZYXZY在简单立方中找出晶面（在简单立方中找出晶面（100）（）（120）（102）（）（111）（）（321）晶面的例子晶面的例子Homework证明：证明：在立方晶系中，晶面(hkl)的法线与晶向hkl的方向平行晶面族晶面族在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一位向不同的晶面可以归并为同一晶面族晶面族，以，以h k l表示，它代表表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。例如：例如： 100包括（包括（100）,（001）,（010）等）等6个晶面个晶面110包括（包括（110）,（101）,（011）等）等12