人教八年级数学上册等腰三角形的性质学习教案

1、会计学1人教八年级数学人教八年级数学(shxu)上册等腰三角形上册等腰三角形的性质的性质第一页，共40页。 学习目标：学习目标： 1 1探索并证明探索并证明(zhngmng)(zhngmng)等腰三等腰三角形的两个性质角形的两个性质 2 2能利用性质证明能利用性质证明(zhngmng)(zhngmng)两两个角相等或两条线段相等个角相等或两条线段相等 3 3结合等腰三角形性质的探索与证结合等腰三角形性质的探索与证明明(zhngmng)(zhngmng)过程，体会轴过程，体会轴 对称在研究几何问题中的作用对称在研究几何问题中的作用 学习重点：学习重点： 探索并证明探索并证明(zhngmng)(z

2、hngmng)等腰三角形等腰三角形性质性质 第1页/共39页第二页，共40页。活动活动(hu dng)（一）：细心观察（一）：细心观察第2页/共39页第三页，共40页。活动活动(hu dng)（一）：细心观察（一）：细心观察第3页/共39页第四页，共40页。活动活动(hu dng)（一）：细心观察（一）：细心观察第4页/共39页第五页，共40页。活动活动(hu dng)（一）：细心观察（一）：细心观察第5页/共39页第六页，共40页。共同共同(gngtng)特点特点活动活动(hu dng)（一）：细心观察（一）：细心观察第6页/共39页第七页，共40页。ABC等腰三角形等腰三角形: :有两条边

3、相等有两条边相等(xingdng)(xingdng)的三角形的三角形, , 叫做等腰三角形叫做等腰三角形. .相等相等(xingdng)(xingdng)的两条边叫做腰的两条边叫做腰, ,另一条边叫做另一条边叫做底边底边, ,底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角. .两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角, ,腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角回顾回顾第7页/共39页第八页，共40页。 1 1、等腰三角形一腰为、等腰三角形一腰为3cm,3cm,底为底为4cm,4cm,则它的周长则它的周长(zhu chn(zhu chn) )是是 ； 2 2、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3

4、cm,3cm,另一边长为另一边长为4cm,4cm,则则它的周长它的周长(zhu chn(zhu chn) )是是 ； 3 3、等腰三角形的一边长为、等腰三角形的一边长为3cm,3cm,另一边长为另一边长为8cm,8cm,则则它的周长它的周长(zhu chn(zhu chn) )是是 。 10 cm10 cm 或 11 cm19 cm第8页/共39页第九页，共40页。 把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出沿折痕对折，找出其中重合的线段和角其中重合的线段和角. 等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形(txng)吗？吗？等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形，对称

5、轴是顶角对称轴是顶角(dn jio)(dn jio)平分线所在的直线。平分线所在的直线。 温故知新温故知新(wn g zh xn)第9页/共39页第十页，共40页。如图如图, ,把一张长方形的纸按图中虚线把一张长方形的纸按图中虚线(xxin)(xxin)对折对折, , 并剪去绿色并剪去绿色(l s)(l s)部分部分, , 再把它展开再把它展开, ,得到得到(d do)(d do)的的ABCABC有有什么特点什么特点? ?ABCAB=AC等腰三角形等腰三角形活动（活动（二二）：）：动手操作动手操作第10页/共39页第十一页，共40页。 上面上面(shng min)(shng min)剪出的等腰

6、三角形是轴对剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？称图形吗？ABCD把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕对折，沿折痕对折，找出其中找出其中(qzhng)(qzhng)重合的线段和角，重合的线段和角，填入下表：填入下表：AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=ADAD=ADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD活动（活动（三三）：）：细心观察细心观察 大胆猜想大胆猜想第11页/共39页第十二页，共40页。已知：ABC中，AB=AC求证(qizhng)：B=C分析：分析：1.如何如何(rh)证明两个角相等？证明两个角相等？ 活动活动(hu dng)

7、（四）：猜想与论证（四）：猜想与论证等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。2.2.如何构造两个全等的三角形？如何构造两个全等的三角形？第12页/共39页第十三页，共40页。已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证求证(qizhng)(qizhng)： B= C. B= C.ABC等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角(d jio)(d jio)相等。相等。D证明证明(zhngmng)(zhngmng)： 作底边的中线作底边的中线ADAD，则，则BD=CDBD=CDAB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )BD=CD ( BD=CD (

8、已作已作 ) )AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) BAD BAD CAD (SSS).CAD (SSS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).在在BADBAD和和CADCAD中中方法一：方法一：作作底边上的中底边上的中线线第13页/共39页第十四页，共40页。已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证求证(qizhng)(qizhng)： B= C. B= C.ABC等腰三角形的两个底角等腰三角形的两个底角(d (d jio)jio)相等。相等。D证明证明(zhngmng)(zhngmng)： 作顶角

9、的平分线作顶角的平分线ADAD，则，则1=1=2 2AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )1=1=2 ( 2 ( 已作已作 ) )AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) BAD BAD CAD (SAS).CAD (SAS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).方法二：方法二：作顶角的平分线作顶角的平分线在在BADBAD和和CADCAD中中1 2第14页/共39页第十五页，共40页。已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证求证(qizhng)(qizhng)： B= C. B= C.ABC等腰三

10、角形的两个底角等腰三角形的两个底角(d jio)(d jio)相等。相等。D证明证明(zhngmng)(zhngmng)： 作底边的高线作底边的高线ADAD，则，则BDA=BDA=CDA=90CDA=90AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )AD=AD (AD=AD (公共边公共边) ) RtRtBAD RtBAD RtCAD (HL).CAD (HL). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).方法三：方法三：作底边的高线作底边的高线在在RtRtBADBAD和和RtRtCADCAD中中第15页/共39页第十六页，共40页。用符号语言表示用符号语

11、言表示(biosh)(biosh)为：为：在在ABCABC中，中， AC=ABAC=AB（ 已知）已知） B=C B=C （等边对等角）等边对等角）等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个等腰三角形的两个(lin )底角相等底角相等（简称（简称(jinchng)“(jinchng)“等边对等边对等角等角”）ABCD 归纳总结归纳总结第16页/共39页第十七页，共40页。 ABAC BDCD ADAD B C.BAD CAD ADB ADC=90=90第17页/共39页第十八页，共40页。等腰三角形的底边等腰三角形的底边(d bin)上的高、底上的高、底边边(d bin)上的中线、顶

12、角的平分线互上的中线、顶角的平分线互为重合为重合.猜想猜想(cixing)（1）如图，）如图，ADBC，ABAC.求证求证(qizhng)：BDCD，12.ABCD1 2（2）如图，）如图，BDCD，ABAC.求证：求证：ADBC，12.（3）如图，）如图，12，ABAC.求证：求证：ADBC，BDCD. 大胆猜想大胆猜想第18页/共39页第十九页，共40页。（1）如图，）如图，ADBC，ABAC. 求证求证(qizhng)：BDCD，12.ABCD1 2证明证明(zhngmng)：在：在RtABD和和RtACD中中ABACADADRtABD RtACD（HL）BDCD，12第19页/共39页

13、第二十页，共40页。（2）如图，）如图，BDCD，ABAC. 求证求证(qizhng)：ADBC，12.ABCD1 2证明证明(zhngmng)：在：在ABD和和ACD中中ABACBDCDADADABD ACD（SSS）ADBADC，12又ADBADC180ADBADC90即ADBC第20页/共39页第二十一页，共40页。（3）如图，）如图，12，ABAC. 求证求证(qizhng)： ADBC，BDCD.ABCD1 2证明证明(zhngmng)：在：在ABD和和ACD中中ABAC12ADADABD ACD（SAS）ADBADC，BDCD又ADBADC180ADBADC90即ADBC第21页/

14、共39页第二十二页，共40页。(简写成三线(sn xin)合一)ABCD性质性质2 2 等腰三角形的顶角平分线与底边等腰三角形的顶角平分线与底边(d (d bin)bin)上的中线，底边上的中线，底边(d bin)(d bin)上的高互相重合上的高互相重合 性质性质3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线（底边上的中线(zhngxin)、底边上的高）所在的直、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。线就是等腰三角形的对称轴。 归纳总结归纳总结第22页/共39页第二十三页，共40页。1、等腰三角形的顶角、等腰三角形的顶角(dn jio)

15、的平分线，既是底边上的中的平分线，既是底边上的中线，线， 又是底又是底 边上的高。边上的高。应用应用(yngyng)格式：格式：ABAC 12（已知）（已知）BDDC ADBC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）2、等腰三角形的底边上中线、等腰三角形的底边上中线(zhngxin)，既是底边，既是底边上的高，又是顶角平分线。上的高，又是顶角平分线。应用格式：应用格式：ABAC BDDC （已知）（已知）ADBC 12 （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）3、等腰三角形的底边上的高，既是底边、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。上的中线，又是顶角平分线。应用格

16、式：应用格式：ABAC ADBC （已知）（已知）BDDC 12 （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）性质性质2可分解成下面三个方面来理解：可分解成下面三个方面来理解： 归纳总结归纳总结第23页/共39页第二十四页，共40页。画出任意一个画出任意一个(y )等腰三角等腰三角形的底角平分线形的底角平分线、这个底角所对、这个底角所对的腰上的中线和的腰上的中线和高，看看它们是高，看看它们是否重合？否重合？ABCDEFABCD第24页/共39页第二十五页，共40页。 1. 1. 根据根据(gnj)(gnj)等腰三角形性质等腰三角形性质2 2填空填空, ,在在ABCABC中，中， AB=AC A

17、B=AC， (1) ADBC(1) ADBC，_ = _ = _，_= _. _= _. (2) AD(2) AD是中线是中线(zhngxin)(zhngxin)，_ _ ，_ _ =_.=_.(3) AD(3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ _ _ ，_ =_._ =_.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD 知一线得二线 “三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等(xingdng)以及角的相等(xingdng)问题。第25页/共39页第二十六页，共40页。2 2、等腰三角形一个底角、等腰三角形一个底角(d jio)(d jio)为为7070, ,它的顶角为

18、它的顶角为_._.3 3、等腰三角形一个角为、等腰三角形一个角为7070, ,它的另外它的另外(ln wi)(ln wi)两个角为两个角为 _. _.4 4、等腰三角形一个角为、等腰三角形一个角为110110, ,它的另外它的另外(ln wi)(ln wi)两个角为两个角为_._. 顶角顶角度数度数+2+2底角底角度数度数=180=180 0 0顶角顶角度数度数180180 0 0底角底角度数度数9090结论结论: : 在等腰三角形中在等腰三角形中, ,40 35 ，35 70,40 或或 55,55第26页/共39页第二十七页，共40页。 例例1、如图，在、如图，在ABC中中 ，AB=AC，

19、点，点D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数各角的度数(d shu)。1、图中有哪几个等腰三角形、图中有哪几个等腰三角形？ABCDx2x2x2xABC ABD BDC2 2、有哪些、有哪些(nxi)(nxi)相等的角？相等的角？ABC=ABC=ACB=ACB=BDC BDC A=A=ABDABD3 3、这两组相等、这两组相等(xingdng)(xingdng)的角的角之间还有什么关系？之间还有什么关系？BDC=2BDC=2 A A ABC+ACB+ A=180 应用新知应用新知第27页/共39页第二十八页，共40页。 已知：如图，房屋已知：如图，房屋(fngw)的顶角的

20、顶角BAC=100 , 过屋顶过屋顶A的立柱的立柱AD BC , 屋椽屋椽AB=AC. 求顶架上求顶架上B、C、BAD、CAD的度数的度数.ABDCBAD=CAD=50BAD=CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）上的高互相重合）.又又ADBC，B=C= 180BAC=40(三角形内角和定理三角形内角和定理)解：在解：在ABC中中AB=AC，B=C（等边对等角）（等边对等角）又BAC=100 第28页/共39页第二十九页，共40页。ABCDEF(2)(2)如果如果DEDE、DFDF分别是分别是AB,ACAB,AC上的中线或上的中线或ADB, ADCA

21、DB, ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以利用类似的方法，还可以(ky)(ky)得到等腰三角形中哪些得到等腰三角形中哪些相等的线段？相等的线段？已知：在已知：在ABC中，中，AB=AC.点点D 是是BC的中点的中点(zhn din)，DEAB于于E, DFAC于于F求证：求证：DEDF活动（活动（五五）：）：拓展提高拓展提高第29页/共39页第三十页，共40页。（X）（X）（）（X）（）第30页/共39页第三十一页，共40页。例例1、如图，在、如图，在ABC中中 ，AB=AC，点，点D在在AC上，且上

22、，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数各角的度数(d shu)。xx2x2x2x解：解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD(等边对等角等边对等角)设设A=x,则则BDC= A+ ABD=2x,从而从而(cng r)ABC= C= BDC=2x,于是在于是在ABC中，中，有有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得解得x=36，在在ABC中，中， A=36，ABC=C=72第31页/共39页第三十二页，共40页。如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点(zhn din)，B=30。求和ADC的度数 AB=AC，D是BC边上(bin shn)的中点ADC

23、 90。 BAC=180。-30。-30。=120 。160 ABCD112BAC （三线(sn xin)合一）课堂练习：课堂练习：第32页/共39页第三十三页，共40页。第33页/共39页第三十四页，共40页。谈谈谈谈(tn tn)你的你的收获！收获！第34页/共39页第三十五页，共40页。第35页/共39页第三十六页，共40页。你的细心加你的耐心(nixn)等于成功！ 如图：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交(xingjio)于点H，且AE=BE。 求证：AH=2BD证明证明(zhngmng)1：AB=AC，AD是高，是高，BC=2BD又又BE是高，是高，ADC=BEC=AEH=90在在AEH和和BEC