传染病模型2学习教案

1、会计学1传染病模型传染病模型(mxng)2第一页，共15页。于是于是(ysh)得微得微分方程分方程) 18()0()()(00iitikdttdi其解为其解为 tkeiti00)(结果表明：传染病的传播是按指数函数结果表明：传染病的传播是按指数函数(zh sh hn sh)增加的。增加的。 这个结果这个结果(ji gu)与传染病传播初期比较吻合。与传染病传播初期比较吻合。 但由但由(8-1)的解可以推出，当的解可以推出，当t+时，时， +，这显然是不符合实际情况的，问题在于两条假设这显然是不符合实际情况的，问题在于两条假设均不合理。均不合理。 )(ti第1页/共14页第二页，共15页。模型模型

2、(mxng)二二： 用用 表示表示t时刻传染病人数时刻传染病人数(rn sh)和未被传染的人数和未被传染的人数(rn sh)， ； )(),(tsti0)0(ii 假设假设(jish)： (1)每个病人单位时间内传染的人数与这时未被每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即传染的人数成正比，即 )(0tksk (2)一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡；一人得病后经久不愈，人在传染期不会死亡； (3)总人数为总人数为n，即，即 ； ntits)()( 由以上假设得微分方程由以上假设得微分方程)28()0()()()()()(0iintitstitksdttdi第2页/共14页

3、第三页，共15页。用分离用分离(fnl)变量法得其解变量法得其解为为 ) 38() 1(1)(0knteinnti其图形其图形(txng)如图如图 模型模型(8-2)可以用来预报可以用来预报(ybo)传染较快的疾病前传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。期传染病高峰到来的时间。 由由(8-3)式可得式可得第3页/共14页第四页，共15页。)48() 1(1 ) 1(2002knteineinkndtdiknt其图形其图形(txng)如图如图 医学上称医学上称 为传染病曲线（它表示为传染病曲线（它表示(biosh)传传染病人增加率与时间的关系）。染病人增加率与时间的关系）。 tdtdi第4页/

4、共14页第五页，共15页。，令令0)(22dttid得极大值点：得极大值点： )58() 1ln(01knint由此可知由此可知 1)当传染病强度当传染病强度k或总人数或总人数(rn sh)n增加时，增加时， 都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。 1t 2)如果知道了传染强度如果知道了传染强度k（k由统计数据得出由统计数据得出(d ch)），即可预报传染病高峰到来的时间），即可预报传染病高峰到来的时间 ，这对，这对于防治传染病是有益处的。于防治传染病是有益处的。 1t第5页/共14页第六页，共15页。模型模型(mxng)二的缺点二的缺

5、点是：是： 当当t时，由时，由(8-3)式可知式可知 n，即最后，即最后人人都要生病，这显然人人都要生病，这显然(xinrn)是不符合实际情是不符合实际情况。造成的原因是假设况。造成的原因是假设(2)中假设了人得病后经久中假设了人得病后经久不愈。不愈。 )(ti 为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学模为了与实际问题更加吻合，我们对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得病型再进一步修改，这就要考虑人得病(d bn)后有的后有的会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因会死亡，另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于为其中一部分会被隔离。还要

6、考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设那样人得病人得病(d bn)后经久不愈。为此作出新的假设，建后经久不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。立新的模型。 第6页/共14页第七页，共15页。模型模型(mxng)三：三： 在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂(fz)得多的因素，但仍要把问题简化。设患过传得多的因素，但仍要把问题简化。设患过传染病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设染病而完全病愈的任何人具有长期的免疫力，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即是一个人传染病的潜伏期

7、很短，可以忽略不计，即是一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把居民患了病之后立即成为传染者。在这种情况下把居民分成三类：分成三类： 第一类是有能够把疾病传染第一类是有能够把疾病传染(chunrn)给别人的那些给别人的那些传染传染(chunrn)者组成的，用者组成的，用I(t)表示表示t时刻第一类人的人时刻第一类人的人数。数。 第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用人组成的，用S(t)表示表示t时刻第二类人的人数。时刻第二类人的人数。第7页/共14页第八页，共15页。 第三类是包括患病死去的人、病愈后具有第三类是包括患

8、病死去的人、病愈后具有(jyu)长期免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被长期免疫力的人以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用隔离起来的人，用R(t)表示表示t时刻第三类人的人数。时刻第三类人的人数。 假设疾病假设疾病(jbng)传染服从下列法则：传染服从下列法则： (1)在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N，即，即不考虑出生不考虑出生(chshng)及其它原因引起的死亡以及迁入、及其它原因引起的死亡以及迁入、迁出情况。迁出情况。 (2)易受传染者人数易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类人的的变化率正比于第一类人的人数人数I(t)与

9、第二类人的人数与第二类人的人数S(t)的乘积。的乘积。 (3)由第一类向第三类转变的速率与第一类人的由第一类向第三类转变的速率与第一类人的人数成正比。人数成正比。 由此得下关系式由此得下关系式第8页/共14页第九页，共15页。)68( ISIdtdIIdtdRSIdtdS 其中其中(qzhng)、为两比例常数，为两比例常数，为传为传染率，染率，为排除率。为排除率。由由(8-6)的三个方程的三个方程(fngchng)相加得相加得0)()()(tRtItSdtd又又 S(t)I(t)R(t)N （常数（常数(chngsh)）所以所以 R(t)NS(t)I(t)由此知，只要知道了由此知，只要知道了S

10、(t)和和I(t)，即可求出，即可求出R(t)。 第9页/共14页第十页，共15页。 由由(8-6)中第一中第一(dy)、三两式得、三两式得 )78( ISIdtdISIdtdS 由此推出由此推出)88(11SSIISIdSdI 所以所以(suy)CSSSIln)( 当当tt。时。时 I(t。)I。，。，S(t。)S。，。， 记记)98(ln)(000SSSSISI 即有即有第10页/共14页第十一页，共15页。下面我们讨论下面我们讨论(toln)积分曲线积分曲线(8-9)的性质：的性质： 由由(8-8)式知式知 SSSSSI0001)(所以所以(suy)当当S时，时，I(S)是是S的减函数的

11、减函数(hnsh)。 而而I(0)，I(S。)I。0， 由连续函数的零点定理及单调性知，由连续函数的零点定理及单调性知， 存在唯一存在唯一 使得使得 ，且当，且当 时，时，I(S)0。 0*0,SSS0)(*SI0*SSS第11页/共14页第十二页，共15页。当当tt。时，方程。时，方程(fngchng)(8-9)的的图形如图图形如图 由此知，当由此知，当t由由t。变化到。变化到时，点时，点(S(t),I(t)沿曲线沿曲线(8-9)移动，并沿移动，并沿S减少方向移动，因为减少方向移动，因为S(t)随时间的增加随时间的增加而单调减少。因此如果而单调减少。因此如果S。小于。小于，则，则I(t)单调

12、减少到零，单调减少到零，S(t)单调减少到单调减少到 。所以，如果为数不多的一群传染。所以，如果为数不多的一群传染者者I。分散在居民。分散在居民S。中，且。中，且 ，则这种疾病会很快被，则这种疾病会很快被消灭消灭(xiomi)；如果；如果S。，则随着，则随着S(t)减少到减少到，I(t)增增加，且当加，且当S时时I(t)达到最大值；当达到最大值；当S(t)时，时，I(t)才开始才开始减少。减少。*S 0S第12页/共14页第十三页，共15页。由上分析由上分析(fnx)可得如下结可得如下结论：论： 只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值只有当地居民中的易受传染者的人数超过阈值(y zh) 时，

13、传染病才会蔓延。时，传染病才会蔓延。 用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。当人用一般的常识来检验上面的结论也是符合的。当人口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要口拥挤、密度高，缺乏应有的科学文化知识，缺乏必要的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓的医疗条件，隔离不良而排除率低时，传染病会很快蔓延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的公共卫延；反之，人口密度低，社会条件好，有良好的公共卫生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围生设施和较好的管理而排除率高时，则疾病在有限范围(fnwi)内出现却很快被消灭。内出现却很快被消灭。 将模型三在实际中检验，还有不合理的地方，因将模型三在实际中检验，还有不合理的地方，因此还可修改假设，建立更切合实际的模型。（略）此还可修改假设，建立更切合实际的模型。（略）第13页/共14页第十四页，共15页。NoIma