初中数学第22章二次函数教案及试题

1、 1 / )第二十二章二次函数基础知识通关22.1 二次函数的图像和性质1.二次函数： 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数， a0）的函数。其中，x 是自变量， a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。2.二次函数的解析式三种形式一般式：(a 0) 顶点式：y a( x h)2交点式：y a( x x1 )( x x2 ) 3.二次函数 y=ax 2的图像和性质4.对称轴、顶点坐标k 或y a( x b 2 4ac b22a 4a 对称轴：顶点坐标：与 y 轴交点坐标：5.增减性： 当 a0 时，对称轴左边， y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随

2、x 增大而增大当 a0 时，一元二次方程有不相等的实根，二次函数图像与x 轴有交点；b2 4ac =0 时，一元二次方程有相等的实根，二次函数图像与x 轴有交点；b2 4 ac 0 时，一元二次方程实根，二次函数图像与x 轴交点22.3 实际问题与二次函数11.最大面积问题、利润问题、实际抛物线问题 2 / 一选择题（共 10 小题）1.已知函数 y （ m 3）x m2 7单元检测是二次函数，则m 的值为（）a 3 b 3 c3 d2.对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（）ay（ m 1）2x2 by（ m+1 ）2x2 cy（ m2+1）x2 dy（ m21） x23.在平面直角

3、坐标系xoy 中，点 a ，点 b 的位置如图所示，抛物线yax22ax 经过 a，b，则下列说法不正确的是（）a.抛物线的开口向上b.抛物线的对称轴是 x 1 c.点 b 在抛物线对称轴的左侧d抛物线的顶点在第四象限4.二次函数yx2 的对称轴是（）a直线 y1 b直线 x1 cy 轴dx 轴5.二次函数y（ x1）2 3 的顶点坐标是（）a（ 1， 3）b（ 1， 3）c（ 1，3）d（ 1，3）6.抛物线 y（ x+2）21 的对称轴是（）ax 1 bx1 cx 2 dx2 7.已知函数y x2+bx+c，其中 b0， c0，此函数的图象可以是（）abcd 8.将二次函数yx2 6x+5

4、 用配方法化成y（ xh）2+k 的形式，下列结果中正确的是（）ay（ x6）2+5 by（ x3）2+5 cy（ x 3）24 dy（ x+3）29 9.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线yax2+bx+c 经过点（ 1，2），（ 5，3），则下列说法正确的是（）抛物线与 y 轴有交点若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上抛物线的对称轴不可能是 x 3 若抛物线的对称轴是 x 4，则抛物线与 x 轴有交点abcd10.抛物线 yx22x+m 与 x 轴有两个交点，则m 的取值范围为（）am 1 bm 1 cm 1 dm 4 二填空题（共 10 小题）11当 m 时， y（ m+2 ）x

5、 m22是二次函数12.抛物线 yx23 的顶点坐标是13.二次函数y 3x2 图象的开口向，顶点坐标为 3 / 14.已知某抛物线上部分点的橫坐标x，纵坐标 y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是x2 1 012y503 4 3 15.如图，抛物线yax2+bx 与直线 y mx+n 相交于点a（ 3， 6）， b （1， 2），则关于x 的方程 ax2+bxmx+n 的解为16.抛物线 ya（xh）2+k 经过（ 1，0）、（ 5，0）两点，若关于x 的一元二次方程a（xh+m ）2+k0 的一个解为x4，则 m 17.某种商品每件进价为10 元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元

6、（ 10 x 20 且 x 为整数）出售，可卖出（20 x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元18.二次函数y（ x6）2+8 的最大值是19.若二次函数 y ax2+bx+c 的图象经过点（ 4， 3），且对称轴是 x 1，则关于 x 的方程 ax2+bx+c 3 的解为20.某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售单价 x （元 / 件）与日销售量 y （件）之间的关系如下表x（元件）15 18 20 22 y（件）250 220 200 180 按照这样的规律可得，日销售利润w （元）与销售单价x（元 /件）之间的函数关系式是 4 / 三解答题（共 4 小题）21.设二次函

7、数 y mx2+nx（ m n）（ m 、n 是常数， m 0）（1）判断该二次函数图象与 x 轴交点的个数，并说明理由；（2）若该二次函数图象经过点 a（2， 3）， b（1，4），求该二次函数图象与 x 轴的交点坐标22已知点 a（1，1）在抛物线 y x2+（2m+1）xn1 上（1）求 m 、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在 x 轴上，求出它的解析式23.某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为每件 40 元，每星期可卖出 150 件市场调查反映：如果每件的售价每涨 1 元（售价每件不能高于 45 元），那么每星期少卖 10 件设每件涨价 x 元（ x 为非负整数），每星期的销

8、量为 y 件（1）求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设利润为 w 元，写出 w 与 x 的函数关系式 5 / 24.如图，已知抛物线经过两点 a（ 3，0）， b（0，3），且其对称轴为直线 x 1（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 p 是抛物线上点 a 与点 b 之间的动点（不包括点 a，点 b），求 pab 的面积的最大值，并求出此时点 p 的坐标四、附加题（共2 小题）25.已知二次函数 y ax24ax+3a 的图象经过点（ 0，3）（1）求 a 的值；（2）将该二次函数沿 y 轴怎样平移后得到的函数图象与 x 轴只有一个公共点？（3）将该函数的图象沿 x

9、轴翻折，求翻折后所得图象的函数表达式 6 / 26.某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：每个零件的成本价为 40 元；若订购量在 100 个以内，出厂价为 60 元；若订购量超过 100 个时，每多订 1 个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元；实际出厂单价不能低于 51 元 根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51 元（2）设一次订购量为 x 个时，零件的实际出厂单价为 p 元，写出 p 与 x 的函数表达式（3）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个，利润又是多少元？（工厂售出

10、一个零件的利润实际出厂价成本） 7 / 2.y=ax2+bx+cb基础知识通关答案b 4ac b 24. x ，(2a , ) ，（ 0，c）2a 4a 10. 两个，两个，两个，一个，没有，没有单元检测答案1.【分析】 根据二次函数的定义结合二次项系数非零，即可得出关于 m 的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出 m 的值m2 7 【解答】 解：函数y（ m 3）x 是二次函数m 3 0 m 2 7 = 2 解得： m 3 故选： a【知识点】 1 2.【分析】 根据二次函数的定义：二次项系数不为 0 ，举出特例即可判断【解答】 解： a、当 m1 时，不是二次函数，故错误；b、当 m

11、 1 时，二次项系数等于 0 ，不是二次函数，故错误；c、是二次函数，故正确；d、当 m1 或1 时，二次项系数等于 0，不是二次函数，故错误故选： c【知识点】 1 3.【分析】 由于抛物线 y ax22ax 的常数项为 0，所以图象经过原点，根据对称轴为直线x1，可知抛物线开口向上，点b 在对称轴的右侧，顶点在第四象限【解答】 解： yax22ax x0 时， y0 图象经过原点又对称轴为直线x1 抛物线开口向上，点 b 在对称轴的右侧，顶点在第四象限即 a、b、d 正确，c 错误故选： c【知识点】 4 4.【分析】 根据抛物线 y a（xh）2+k 的顶点坐标为（ h，k），对称轴为

12、x h，据此解答可得【解答】 解：二次函数 y x2 的对称轴是直线 x 0，即 y 轴，故选： c【知识点】 4 5.【分析】 根据二次函数的性质可的抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标，从而得出答案【解答】 解：二次函数 y （ x1）23 的顶点坐标是（ 1， 3），故选： a【知识点】 4 6.【分析】 根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决 8 / 【解答】 解：抛物线 y （ x+2）21 的对称轴是直线 x 2，故选： c【知识点】 4 7.【分析】 根据已知条件“a0、b0、c 0”判断出该函数图象的开口方向、与 x 和 y 轴的交点、对称轴所在的位置，

13、然后据此来判断它的图象【解答】 解： a 10，b0，c0 该函数图象的开口向下，对称轴是x 0 与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上故选： d【知识点】 3 8.【分析】 运用配方法把一般式化为顶点式即可【解答】 解： yx26x+5x2 6x+94（ x 3）24，故选： c【知识点】 2 9【分析】 当 x 0 时，yc，与 y 轴有交点将点（ 1，2），（ 2，2），（ 5，3）代入解析式，得到a，如果抛物线的对称轴x 3，（ 1，2）关于对称轴对称的点为（5，2），与经过点（ 5，3）矛盾，对称轴是 x 4，解出 a ，b，c，确定；【解答】 解：当 x 0 时， yc，与 y 轴有

14、交点；正确抛物线经过（1，2），（ 2，2），（ 5，3）a，抛物线开口向上；正确如果抛物线的对称轴 x 3 （1，2）关于对称轴对称的点为（5，2）与经过点（ 5，3）矛盾对称轴不能是 x 3，正确对称轴是 x 4 4， b 8a 将点（ 1，2），（ 5，3）代入得24a+4b1 8a1 a18 ， b1， c98 b2 4ac0 抛物线与 x 轴有交点，正确故选： a 【知识点】 1，2，8，1010.【分析】 由抛物线与 x 轴有两个交点可得出b24ac0， 9 / 进而可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围【解答】 解：抛物线 y x22x+m 与 x 轴有两

15、个交点 b24ac（ 2）241 m 0，即 4 4m0 解得： m 1 故选： c 【知识点】 10 二填空题（共 10 小题）11.【分析】 根据二次函数定义可得 m22 2，且 m+20，再解即可【解答】 解：由题意得：m222，且 m+20 解得： m 2 故答案为： 2 【知识点】 1 12.【分析】 根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标【解答】 解：抛物线 y x23 抛物线 y x23 的顶点坐标是：（ 0， 3）故答案为：（0， 3）【知识点】 2，4 13.【分析】 根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标【解答】 解：二次函数

16、y 3x2 的图象开口向下，顶点坐标为（0，0），故答案为：下；（0，0）【知识点】 3 14.【分析】 根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标【解答】 解：抛物线过点（0， 3）和（ 2， 3）抛物线的对称轴方程为直线x1 当 x 1 时， y 4 抛物线的顶点坐标为（ 1，4）故答案为：（1， 4）【知识点】 3，4， 6 15.【分析】 关于 x 的方程 ax2+bx mx+n 的解为抛物线 y ax2+bx 与直线 y mx+n 交点的横坐标【解答】 解：抛物线 y ax2+bx 与直线 y mx+n 相交于点 a（ 3， 6）， b （1， 2）关

17、于 x 的方程 ax2+bxmx+n 的解为 x1 3，x21 故答案为 x1 3，x21 【知识点】 10 16.【分析】 根据抛物线与 x 轴的交点问题得到关于 x 的一元二次方程 a （xh）2+k0 的解为x11，x25，再把方程 a （xh+m ）2+k0 可看作关于 x+m 的一元二次方程，则 x+m 1 或x+m5，然后把 x 4 代入可计算出 m 的值【解答】 解：抛物线 y a（x h）2+k 经过（ 1，0）、（ 5，0）两点关于 x 的一元二次方程 a （xh）2+k0 的解为 x1 1，x25 10 / 则解得：关于 x 的一元二次方程 a （xh+m ）2+k0 可看

18、作关于 x+m 的一元二次方程x+m 1 或 x+m5 而关于 x 的一元二次方程 a （xh+m ）2+k0 的一个解为 x 4 4+m 1 或 4+m5 m 5 或 1 故答案为 5 或 1 【知识点】 10 17.【分析】 本题是营销问题，基本等量关系：利润每件利润销售量，每件利润每件售价每件进价再根据所列二次函数求最大值【解答】 解：设利润为 w 元则 w （ 20 x）（ x10）（ x15）2+25 10 x20 当 x 15 时，二次函数有最大值 25 故答案是： 15 【知识点】 11 18.【分析】 利用二次函数的性质解决问题【解答】 解： a10y 有最大值当 x6 时，y

19、 有最大值 8 故答案为 8 【知识点】 11 19.【分析】 根据函数的对称轴求出点（4，3）关于对称轴对称的点为（2，3），ax2+bx+c3 的解可以看作 y ax2+bx+c 与直线 y 3 的交点问题，即可求解【解答】 解：对称轴是 x 1 点（ 4，3）关于对称轴对称的点为（2， 3）ax2+bx+c3 的解可以看作 y ax2+bx+c 与直线 y 3 的交点问题方程 ax2+bx+c3 的解为 x 2 或 x4 故答案为 x 2 或 x4 【知识点】 10 20.【分析】 根据题意得出日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，再利用待定系数法求出即可，再根据销量每件利润总利润，即

20、可得出所获利润 w 为二次函数【解答】 解：由图表中数据得出 y 与 x 是一次函数关系，设解析式为：ykx+b y 与 x 之间的函数关系式为：y 10 x+400 故日销售利润 w（元）与销售单价 x （元）之间的函数关系式为：w（ x10）y（ x10）（ 10 x+400） 10 x2+500 x4000 故答案为： w 10 x2+500 x4000 【知识点】 11 三解答题（共 6 小题） 11 / 得解得21.【分析】 （1）首先求出b24ac 的值，进而得出答案；（2）利用待定系数法确定二次函数解析式，然后由一元二次方程与二次函数解析式的转化关系求得抛物线与 x 轴的交点坐标

21、【解答】 解：（ 1）该二次函数图象与 x 轴交点的个数是 1 个或 2 个，理由如下： b24acn2+4m （m n）n2+4m24mn （n2m ）20该二次函数图象与 x 轴交点的个数是 1 个或 2 个（2）把点 a（2，3）， b（1，4）代入， ymx2+nx（ m n）中，故该二次函数解析式是：y x2+2x+3 当 y 0 时， x2+2x+30 解得 x1 1，x23 该二次函数图象与 x 轴的交点坐标是（1，0），（ 3，0）【知识点】 10 22.【分析】 （1）将点 a（1，1）代入 y x2+（ 2m+1 ）xn1，即可求得 m、n 的关系式；（2）根据二次函数图象

22、上点的坐标特征得到0，把 n2m 代入整理后得到 4m2+12m+5 0，解得 m 和，故有两种情况的解析式【解答】 解：（ 1）将点 a（1，1）代入 y x2+（2m+1 ）xn 1 得： 112+（2m+1 ）1n1 整理得： n2m 故 m、n 的关系式为： n2m ；（2）抛物线的顶点在 x 轴上0 n2m 代入上式化简得， 4m2+12m+5 0 解得 m或 m当 m时， n 5，抛物线的解析式为：yx24x+4 当 m时， n 1，抛物线的解析式为：yx2【知识点】 4，5 抛物线的解析式为 y x2 或 y x24x+423.【分析】 （1）涨价为 x 元，可用 x 表示出每星

23、期的销量，并得到 x 的取值范围；（2）根据总利润销量每件利润可得出利润的表达式【解答】 解：（ 1）设每件涨价 x 元由题意得每星期的销量为 y 15010 x 10 x+150，（ 0 x5 且 x 为整数）；（2）设每星期的利润为 w 元 12 / 最大【知识点】 11 w （ x+4030）（ 15010 x） 10 x2+50 x+150024.【分析】 （1）因为对称轴是直线 x 1，所以得到点 a（ 3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式 y a（xx1）（ xx2），求出解析式（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系

24、，可得答案【解答】 解：（ 1）抛物线对称轴是直线 x 1 且经过点 a（ 3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为 y a（x x1）（ x x2）（ a0）即： y a（x1）（ x+3）把 b（0，3）代入得： 3 3a a 1 抛物线的解析式为：y x22x+3（2）设直线 ab 的解析式为 y kx+b，a（ 3，0）， b（0， 3）直线 ab 为 y x+3，作 pq x 轴于 q，交直线 ab 于 m 设 p（x， x22x+3），则 m（x，x+3）pm x22x+3（ x+3） x23x s（x23x）3（x+ ）2+ 当 x时， s ，y（）22（）+3 pab 的面积的最大值为，此时点 p 的坐标为（，）【知识点】 10 四附加题（共 2 小题）25.【分析】 （1）直接把已知点（0，3）代入进而得出答案；（2）利用配方法将原式变形进而利用二次函数平移的性质进而得出答