第9讲一元二次方程

1、第9讲一元二次方程【考点总汇】一、一元二次方程的解法解法形式方程的根直接开平方法x2. 运用公式法解一元二次方程时，必须把方程化为一般形式，再找对应的系数a,b,co二、根的判别式与一元二次方程的根的情况1. 根的判别式：一元二次方程处$ +加+c = o(qho)是否有实数根，关键由的值的符号确定, 把式子b2-4rac叫做一元二次方程根的判别式。2. 元二次方程根的情况与判别式的关系： b2-4acou方程有两个不相等的实数根。 h2-4acoo方程有两个相等的实数根。 b2-4ac0o方程没有实数根。微拨炉：根的判别式b2-4ac的使用条件是在一元二次方程中，而不是别的方程，注意隐含条件

2、qho。三、根与系数的关系如果方程ax2 + /?x + c = 0(a0)的两个实数根是兀】，x2,那么x +x2 =, x-x2 = - p (p > 0)兀=±"(加+ 必=p (/? > 0)-n±jpx =m配方法(x-m)2 = n(n> 0)x = m± vn公式法ax2 + bx + c = 0 (a 工 0)-h±ylh2 -4acx =2a因式分解法(x x)(x *2)= ox , x2微拨炉:1. 当c = 0, bo时，用因式分解法比较简单。微拨炉:1. 若一元二次方程处2 +bx + c = 0（q

3、 h o,d,/?,c为常数）有一个根为0,则c = 0。2. 若一元二次方程ox? +/zx + c = 0 （a工0,a,b,c为常数）有一个根为x = l,则a + b + c = 0。3. 若一元二次方程ax1 +bx + c = 0（a工0, a,b, c为常数）有一个根为x = -l, a b + c = 0。四、一元二次方程的应用列方程解应用题的六个步骤：。高频考点1、一元二次方程的解法【范例】解方程：%2 -2x = 2x+l o得分要领：1. 用公式法解一元二次方程，在确定系数，a,b,c时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式。2. 用因式分解法解一元二次方程，易出现方程的右

4、边没有化为0,左边直接因式分解的错谋。【考题回放】1. 若x = -2是关于兀的一元二次方程x2-ax-a2 = 0的一个根，则a的值为（）2a或 4b.1 或一4c. 1 或 4d.1 或一42. 已知关于北的一元二次方程x1+cixb = 0有一个非零根一“，则a-h的值为（）ab.-lc.od.-23. 用配方法解一元二次方程ax2+bx+c = 0（a丰0）,此方程町变形为（）a.(x +b2 -4ach2 -4acb.(x +4ac-b24a24a2z h、2d（p4ac-h24a24解方禾呈：2x2 -4x - 1 = 0 o5当兀为何值时，代数式x2-x的值等于1?6解方程：3x

5、(x - 2) = 2(2-x)o高频考点2、根的判别式及根与系数的关系【范例】已知关于兀的一元二次方程/-2 + m = 0有两个不相等的实数根。（1）求实数加的最人整数值。（2）在（1）的条件下，方程的实数根是坷，兀2,求代数式斤+近+旺兀2的值。得分要领：1. 一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程冇实数根，即ano。2. 在运用无+冷时，注意不要漏“一”。a3. 应用根的判别式时，不要忽略二次项系数不为0的条件。4. 方程有两个实数根包括两个和等的实数根和两个不相等的实数根两种悄况，不要遗漏。【考题回放】1. 下列关于无的方程有实数根的的是（）a. x x +1 = 0b. + x

6、 +1 = 0c.(x-l)(x + 2) = 0d.(%-1)2 +1 = 02.-元二次方程兀24x + 5：=0的根的情况是（）a.有两个不和等的实数根b.有两个和等的实数根c.只有一个实数根d.没有实数根3.方不呈兀彳-(m + 6)x + m2 =：0有两个相等的实数根，且满足x,+x2=x,x2,则加的值是（）a.2 或 3b.3c.-2d.-3 或 24. 若关于x的一元二次方程伙-l）f+2x-2 = 0有不相等实数根，则£的取值范围是（）x.k > b.an c. k > 且 k 工 d. k » 且 k 工 2 2 2 25方程 %2 + 2

7、kx + k 2k +1=0的两个实数根州，禺满足斤+圧=4,则a的值为。6.已知关于兀的一元二次方程（6/ + c）x2 + 2bx + （7 - c） = 0，其中a,b,c分别是 abc的三边长。（1）如果x = -是方程的根，试判断、心c的形状，并说明理由。（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断abc的形状，并说明理由。（3）如果'nbc是靠边三角形，试求出这个一元二次方程的根。高频考点3、一元二次方程的应用【范例】口前我国已建立了比较完善的经济困难学牛资助体系，某校去年上半年发给每个经济困难学生398 元，今年上半年发放了 438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,

8、则下面列出的方程中正确的 是()a. 438(1 + %)2 = 398b. 398(1 +x)2 = 438c. 398(1 + 2%) =438d. 438(1+ 2x) =398得分要领：1. 用一元二次方程解决增长率(降低率)问题时，要注意增长率人于0,降低率大于0且小于1。2. 由于列出的方程是一元二次方程，有两个解，得到的解需要和实际情况相吻合，容易忘记检验。3. 充分挖掘题目隐含的限制条件，如：“为了尽快消化库存”说明需要增大销量，“为了使购买者得到最大 利益”说明降价幅度大等。【考题回放】1某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有-定的关系。每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1

9、株, 平均每株盈利减少0.5元。要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植兀株，则可以列出 方程是()a. (3 + 兀)(4 - 0.5%) = 15b.(兀 + 3)(4 + 0.5 兀)=15c.(x +4)(3 0.5兀)=15d.(x + l)(4-0.5x) = 152. 要纟r织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请兀个队参赛，则x满足的关系式为()+1) = 28b. * 兀(兀一1) = 28c. x(x +1) = 28d. x(x -1) = 283. 如图：某小区规划在一个

10、长3()m、宽2()m的长方形abcd上修建三 条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与ad平行，其余部 分种花草。耍使每一块花草的面积都为78 m2,那么通道的宽应设计成 多少m?设通道的宽为xm,由题意列出得方程。4. 菱形的两条对角线分别是方程x2-14x + 48 = 0的两实根，贝u菱形的面积为5. 随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销伟量逐年下降。咸宁市2011年销伟烟花爆竹2()力箱，到2013年烟花爆竹年销售量为9.8丿j箱。求咸宁市2011到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率。【错误诊断】分析下面解题的错误并纠正在右边【例题】如图所示，某幼儿园冇一道长为16m,计划用32

11、m长的围栏靠墙 围成-个血积为i20m2的矩形草坪abcd。求该矩形草坪bc边的长。解：设bc的边长为兀m®m32 x根据题意得：x= 1202解得：坷=12兀2 =20答：设矩形草坪bc边的长为12 m或20 m【规避策略】1.注意充分利用题中的已知条件，如木题中的墙氏为16m。2.列方程解决实际问题，一定要注意不要遗漏检验这一步骤，不仅要检验所求未知数的值是否是所列方程 的解，还要检验所求未知数的值是否符合实际意义。【实战演练】1.某商品经过再次降价，每瓶零售价由388元降为268元。已知再次降价的百分率相同，每次降价的百分率为兀，根据题意列方程得()a. 388(14-x)2

12、= 268b. 388(1-x)2 =268c. 268(1-2x) = 388d. 268(1 + %)2 =3882.如图所示，在一边靠墙(墙足够长)空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙,另三边用总长为76m的栅栏围成，若设栅栏ab的长为兀m,则下列各方程中，符合题意的是()a.-x(76-x) = 672b.-x(76-2x) = 672dc3.用配方法解方程x2-4x + 2 = 0,下列配方正确的是（）a. (x + 2)2 = 2b. (兀 _2尸=-2c. (x 2)2 = 2d. (x 2)2 = 64. 一元二次方程x2+x-2 = 0的两根之和是（）

13、a. 2b.c. 1d. 225. 若关于兀的一元二次方程/+伙+ 3）兀+ 2 = 0的一个根是一2,则另一个根是（）a.2b.lc.-ld.06. 方程x(x-2) = 3x的解为o7. 解方程:（兀一 1）（兀+ 3） = 2（兀一1）。&临近端午节，某食品店每天卖ii! 300只粽子，卖出一只粽子的利润为1元。经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖iii 100只粽了。为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降加（0 <m< 1）元,（1）零售单价降低后，该店每天可售出只粽子，利润为元。（2）在不考虑其他因素的条件下，当加定为多少吋，才能使该店每天获取的

14、利润是420元，且卖出的粽 了更多？9. 已知关于兀的方程宀（2屮兀+ 4（'）"（1）求证：不论/:取什么实数值，这个方程总有实数根。（2）若等腰三角形abc的一连长。=4,另两边的长b,c恰好是这个方程的两根，求'abc的周长。10.如图，冇长方形的地，长为兀米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙。甲和乙为正方形。现计划甲建设住宅区,乙建设商场，丙开辟成公司。若已知丙地的血枳为3200平方米，试求长方形地的长的值。11某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每犬可售出100千克，后来 经过市场调杏发现，单价每t克降低1元，则

15、平均每天的销伟可增加10千克，若该专卖店销售这种樱桃 耍想平均每天获利2240元，请冋答：（1）每千克樱桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原伟价的几折出伟？【限时小测】建议川时30分钟。总分50分一、选择题（每小题3分，共12分）1. 关于兀的一元二次方程x2-iwc-2 = 0的一个根为一1,则另一个根为（）a.lb.-lc.7或3d.无法确定2. 三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x2-10x + 21 = 0的解，则第三边的长为（）a.7b.3c.3 个d.4 个3. 若关于无的一元二次方程x2-4x + 2k = 0有两个实数根

16、，则r的取值范围是（）a.z: > 2b.k< 2c.k>-2d.k<-24. 初三毕业时，同学之间互送照片留着纪念。若某班有加个学生互送照片共2756张，则所列方程正确的 是（）a. + 1） = 2756b.= 2756c 型也 “756d.四匸9 = 27562 2二、填空题（每小题3分，共12分）5. 若方程x2 - x = 0的两根为兀,x2 （xj < x2）,则兀2-州=o元二次方程5x（x-2） = 3（% - 2）的解为o7.现定义运算“”，对于任意实数a,b,都有。* =。2一3。+方，如：4*55 = 423x4 + 5,若兀*2 = 6，则实数兀的值是o9 1 1&已知关于兀的方程亍+6兀+ £ = 0的两个根分别是坷左，一几一+ = 3,贝m的值为兀牙2三、解答题（共26分）29. （8分）已知加是方程x2-x-2 = 0的一个实数根,求代数式（an2 - m）（m- + 1）的值。mio.（8分）电动自行车已成为市民fl常出行的首选工