第1讲正弦定理与余弦定理的应用-讲义

1、轮次：高中数学尖子生同步拔高课程 专题：正弦定理及余弦定理的应用 已知 aabc 的周长为 v2+1, jlsina + sinb = v2sinc (i) 求边朋的长；(ii) 若abc的面积为丄sinc,求角c的度数.6答案：(i ) ab = (ii) c = 60°解析：设abc三个内角a,b,c所对的边分别为g,/?,c(i )由题意及正弦定理，得a + b + c = v2 + 1, a + h = y/2c ,两式相减, 得(血 + l)c = v2 + 1 ,所以 c = 1 ,即 ab = 1 (ii)由aabc的面积丄6z/?sinc = -sinc,得必=丄，由

2、余弦定理，263得cosc =夕+ y2 =+疔mb 圧=丄，所以c = 6(t2ab2ab2ab 2在'abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.证明&广-泸_ sin( a - b)c2sin c证明：由余弦定理知，a2 = b2 +c2 -2bccosa, b2 = a2 +c2 -2accos b.整理，得/c2两式相减,得 cr -b2 =b2 - a2 -2/?ccos a + 2tzccosb,ac cos b - be cos a a “ b ；二 cos bcos a.a _ sin a c sin cb _ sin b c sin c又cccsin a

3、cos b 一 cos a sin b _ sin(a 一 b)sin csin c在abc中，ci、b、c分别为内角a、b、c的对边, 且 2a sin a = (2b + c) sin b + (2c + b) sin c(i )求a的大小；(ii )若sinb + sinc = l,试判断abc的形状.答案：(丨)4 = 120。( ii ) aabc是等腰的钝角三角形解析：(i)由已知，根据正弦定理得2/=(2方+ c)方+ (2c + b)c,即 a2 =b2 +c2 +bc .由余弦定理得a2 =b2+c2 -2bccosa,故 cos，= 4m = 120°.(ii )

4、 由 以 及 a = 120。3sin2 b + sin2 c + sin bsin c = sin2 a = 4由 sin3 + sinc = l 两边平方，sin2 b + sin2 c + 2sin bsinc = 1 ,即 sin2 b + sin2 c + sinbsinc = 1-sinbsinc 31故 l-sinbsinc = ,即 sinbsinc = 44结合 sinb + sinc = 1 , 解得 sinb = sinc =2因为 0° < b < 90°, 0°<c<90°,ib = c ,所以abc是等腰的钝角三角形.如图，测量河对岸的塔高ab时，可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点c与d. 现测得上bcd = * 乙bdc =卩,cd = s ,并在点c测得塔顶a的仰角为0,求塔高佔答案：ab伽&sin0sin(a + “)解析：在bcd中，zcbd二兀一(g + 0)由正弦定理得此 =c