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文档简介
1、轮次:高中数学尖子生同步拔高课程 专题:正弦定理及余弦定理的应用 已知 aabc 的周长为 v2+1, jlsina + sinb = v2sinc (i) 求边朋的长;(ii) 若abc的面积为丄sinc,求角c的度数.6答案:(i ) ab = (ii) c = 60°解析:设abc三个内角a,b,c所对的边分别为g,/?,c(i )由题意及正弦定理,得a + b + c = v2 + 1, a + h = y/2c ,两式相减, 得(血 + l)c = v2 + 1 ,所以 c = 1 ,即 ab = 1 (ii)由aabc的面积丄6z/?sinc = -sinc,得必=丄,由
2、余弦定理,263得cosc =夕+ y2 =+疔mb 圧=丄,所以c = 6(t2ab2ab2ab 2在'abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.证明&广-泸_ sin( a - b)c2sin c证明:由余弦定理知,a2 = b2 +c2 -2bccosa, b2 = a2 +c2 -2accos b.整理,得/c2两式相减,得 cr -b2 =b2 - a2 -2/?ccos a + 2tzccosb,ac cos b - be cos a a “ b ;二 cos bcos a.a _ sin a c sin cb _ sin b c sin c又cccsin a
3、cos b 一 cos a sin b _ sin(a 一 b)sin csin c在abc中,ci、b、c分别为内角a、b、c的对边, 且 2a sin a = (2b + c) sin b + (2c + b) sin c(i )求a的大小;(ii )若sinb + sinc = l,试判断abc的形状.答案:(丨)4 = 120。( ii ) aabc是等腰的钝角三角形解析:(i)由已知,根据正弦定理得2/=(2方+ c)方+ (2c + b)c,即 a2 =b2 +c2 +bc .由余弦定理得a2 =b2+c2 -2bccosa,故 cos,= 4m = 120°.(ii )
4、 由 以 及 a = 120。3sin2 b + sin2 c + sin bsin c = sin2 a = 4由 sin3 + sinc = l 两边平方,sin2 b + sin2 c + 2sin bsinc = 1 ,即 sin2 b + sin2 c + sinbsinc = 1-sinbsinc 31故 l-sinbsinc = ,即 sinbsinc = 44结合 sinb + sinc = 1 , 解得 sinb = sinc =2因为 0° < b < 90°, 0°<c<90°,ib = c ,所以abc是等腰的钝角三角形.如图,测量河对岸的塔高ab时,可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点c与d. 现测得上bcd = * 乙bdc =卩,cd = s ,并在点c测得塔顶a的仰角为0,求塔高佔答案:ab伽&sin0sin(a + “)解析:在bcd中,zcbd二兀一(g + 0)由正弦定理得此 =c
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