常微分方程自学考试大纲

1、常微分方程(B)自学考试大纲课程代码：8488目录一、 课程性质及设置目的二、课程内容及考核内容第一章 绪论§1.1常微分方程模型§1.2基本概念1.2.1 常微分方程基本概念第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程及变量变换2.1.1变量分离方程2.1.2可化为变量分离方程的类型§2.2线性方程及常数变易法§2.3 恰当方程及积分因子2.3.1 恰当方程2.3.2 积分因子§2.4 一阶隐方程及参数表示2.4.1 可以解出（或）的方程2.4.2不显含（或）的方程第三章一阶微分方程的解的存在定理§3.1解的存在唯

2、一性定理及逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理3.1.2 近似计算及误差估计§3.2解的延拓第四章高阶微分方程§4.1.线性微分方程的一般理论4.1.1 引言4.1.2齐次线性微分方程的解的性质及结构4.1.3 非齐次线性微分方程及常数变易法§4.2 常系数线性方程的解法4.2.1 复值函数及复值解4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程4.2.3 非齐次线性微分方程，比较系数法§4.3高阶方程的降阶解法4.3.1 可降阶的一些方程的类型第五章线性微分方程组§5.1 存在唯一性定理§5.2.线性微分方程组的一般理论5.2.1 齐次

3、线性微分方程组5.2.2非齐次线性微分方程组§5.3 常系数线性微分方程组5.3.1 矩阵指数的定义5.3.2基解矩阵的计算公式三、有关说明和实施要求附录：题型举例一、课程性质及设置目的：常微分方程是数学的一个重要分支，是数学和实际相联系的重要渠道之一，它是和微积分同时产生和发展的。现代科学技术和数学各分支的发展，为常微分方程提供了众多的数学摸型、研究方法和广阔的应用领域，使得常微分方程的理论日益丰富多彩，富有生命力。常微分方程是高等师范院校数学专业的基础课之一，在自学考试科目中也是必考课程，它是继数学分析，高等代数和解析几何之后开设的一门课程。本课程重点讲授常微分方程理论中的一些最

4、基本、最重要的经典性问题和一些简单的应用，例如一、二阶方程的解法，解的基本理论，线性方程组的理论和方法。通过本课程的学习，使学生正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法，了解和初步掌握用常微分方程解决实际问题的全过程。通过学习，使学生熟练掌握求解常微分方程的方法，包括各种一阶方程的各种初等解法和高阶线性常系数和方程组的解法，降阶解法等方法。同时为学习本学科的后继课程和近代内容打下基础。二、课程内容及考核内容第一章、绪论（一）学习目的及要求正确掌握微分方程，解和通解，线性及非线性，定解问题和初值问题等基本概念. 了解积分曲线，方向场等概念. 学会通过较简单的实际问题建立常微分

5、方程的方法(例如平面解析几何中点的轨迹问题).（二）课程内容§1.1 常微分方程模型了解几种常微分方程（RLC电路、数学摆、人口模型等）的建模§1.2 基本概念微分方程 常微分方程 偏微分方程和微分方程组；线性及非线性方程；解和隐式解；通解和特解；积分曲线和方向场。（三）考核知识点通解和特解 积分曲线和方向场（四）考核要求（1）识记：微分方程 常微分方程 偏微分方程及方程组 线性及非线性方程 解和隐式解 通解及特解 积分曲线及方向场等概念。（2）领会：通解，积分曲线及方向场等概念的含义。（3）应用：根据常微分方程的物理背景及建立方法，能从一些简单物理现象中抽象出微分方程数学

6、模型。第二章 一阶微分方程的初等解法（一）学习目的及要求熟练掌握各种基本类型的方程及其解法；特别是线性方程及全微分方程。（二）课程内容§2.1 变量分离方程及变量变换变量分离方程; 可化为变量分离方程的类型;§2.2线性方程及常数变易法§2.3 恰当方程及积分因子恰当方程; 积分因子§2.4 一阶隐方程及参数表示可以解出（或）的方程; 不显含（或）的方程（三）考核知识点变量分离方程及变量变换; 线性方程及常数变易法;恰当方程及积分因子; 一阶隐方程及参数表示。（四）考核要求（1）识记：各种方程的定义，恰当方程判定的充要条件，特殊积分因子存在的条件。（2）

7、领会：变量分离方程的求解方法，一阶线性非齐次方程的常数变易法，恰当方程的解法，特殊积分因子的求法以及可解出x和y的一阶隐方程的解法。（3）应用：能根据实际问题，列出对应的微分方程并求解。第三章一阶微分方程的解的存在定理（一）学习目的及要求掌握证明存在唯一性定理的逐步逼近法。（二）课程内容解的存在唯一性定理及逐步逼近法；解的延拓。（三）考核知识点掌握证明存在唯一性定理的逐步逼近法，会用其数学方法解决相关问题；通过这部分内容的学习理解定性研究方程的基本思想。（四）考核要求（1）识记：解的存在唯一性定理的条件，结论。解的延拓定理及方法。（2）领会：解的存在唯一性定理的意义；逐步逼近法的思想、近似解的

8、求法。（3）应用：运用解的存在唯一性定理解决相关问题。第四章高阶微分方程（一）学习目的及要求准确掌握函数组线性无关及付朗斯基行列式的概念，齐和非齐线性方程解的叠加性原理，熟练掌握基本解组的概念和常数变易公式等；熟记线性齐方程组解空间的结构和通解表示；熟练掌握常系数线性齐方程组基本解组的表示(特征根法);熟练掌握用比较系数法求两类非齐方程的特解的方法.（二）课程内容线性微分方程的一般理论; 常系数线性微分方程的解法; 高阶微分方程的降阶.（三）考核知识点理解线性方程解的性质及通解的结构，掌握常系数线性方程的解法以及特殊高阶方程的降阶，并会用有关定理的证明方法和数学思想解决问题。（四）考核要求（1

9、）识记; 线性方程解的性质及通解的结构。（2）领会：常系数齐线性方程求解的欧拉待定指数函数法，欧拉方程的解法以及非齐线性方程的比较系数法和常数变易法，高阶方程的降阶。（3）应用：会运用这部分内容中相关定理的证明方法和思想解决问题。第五章线性微分方程组（一）学习目的及要求理解并掌握线性微分方程组的解的性质，通解结构，刘维尔公式，熟悉向量及矩阵的表达方法. 熟练掌握常系数线性微分方程组的解法。（二）课程内容存在唯一性定理; 线性微分方程组的一般理论;常系数线性微分方程组.（三）考核知识点理解任何一个高阶线性方程的问题都可以化成一个线性方程组去解决，掌握常系数方程组基解矩阵的求法，并从中体会本课程及

10、高等代数间的联系，学习其解决问题的数学思想和方法。（四）考核要求（1）识记：方程组的向量形式的记法、方程组的解的存在唯一性定理，方程组一般理论，伏朗斯基行列式，基解矩阵以及矩阵指数的定义。（2）领会：线性方程组及高阶线性方程的关系，常系数线性方程组基解矩阵和标准基解矩阵的求法，非齐线性方程组的常数变易法。（3）应用：能根据实际问题，列出对应的微分方程并求解。三、有关说明和实施要求（一）、自学方法指导：本课程概念较少，但计算及理论都占有很重要的地位。这就要求自学者要通过大量的例题、习题学会各种计算的方法和技巧以及基本理论的有关内容，主要是通过正确的判断方程的类型并会用相应的方法求解方程，掌握存在

11、唯一性定理以及线性方程（组）的解的结构定理和解的性质等定理的内容以及证明的思想方法。（二）、对助学的要求： 第一、社会助学者应根据大纲规定的考试内容和考核目标，认真钻研指定教材，明确本课程及其它课程的联系及不同，对自学应考者进行切实有效的辅导，引导他们防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确方向；第二、要正确处理基本知识和应用能力的关系，努力引导自学应考者将识记、理、掌握、会应用联系起来，把基本知识转化为解决问题的能力， 在辅导的基础上，帮助自学应考者建立用系统的观点进行分析问题和解决问题的能力；第三、要正确处理重点和一般的关系。课程内容有重点和一般之分，但考试内容是全面的，而且重点及一般是相

12、互影响的，不是截然分开的。社会助学者应指导自学应考者全面系统地学习教材内容，掌握全部考试内容和考核知识点，在此基础上再突出重点。总之，要把重点学习同兼顾一般结合起来，切勿孤立地抓重点，把自学应考者引向猜题、押题。（三）、有关教材和参考书指定教材：常微分方程(第三版), 高教出版社, 王高雄, 周之铭等编著.主要参考书：1.常微分方程教程, 高教出版社, 丁同仁, 李承志等编著.2常微分方程讲义, 人民教育出版社, 王柔怀，伍卓群编.（四）、考试方式：闭卷考试采用闭卷、笔试形式，全卷满分为100分，考试时间为150分钟。试卷包括选择题、填空题、解答题、应用题和证明题。选择题是四选一的单向选择，填

13、空题只要求填写结果，解答题、应用题和证明题均应写出文字说明、演算步骤或推证过程。选择题、填空题、为44分，解答题、应用题、证明题分值合计为56分。附录：题型举例常微分方程课程自学考试试卷(样题)一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置上无效）1、下列方程是三阶方程的是A.         ， B.  C.         D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1、 方程方程，经过变换_可以化变量可分离方程。三、计算题（本大题共6小题，每小题7分共