拉普拉斯变换及反变换.PPT

1、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换补充：补充：变换及反变换变换及反变换拉氏变换对拉氏变换对是求解是求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程的的工具工具。把把线性时不变系统线性时不变系统的的时域模型时域模型简便地进行简便地进行变换变换，经，经求解再求解再还原还原为时间函数。为时间函数。概述概述机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、一、 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 （2）常用函数的拉普拉斯变换）常用函数的拉普拉斯变换（3）拉普拉斯变换的基本性质）拉普拉斯变换的基本性质 二、二、 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 内容内容（1）定

2、义）定义机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换定义定义 反变换Laplace当当f(t)含有冲激函数项时，含有冲激函数项时，此项此项 0ttfsFstde )()(0正变换aplaceL拉氏变换积拉氏变换积分上限说明：分上限说明：一、拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换 (0)t F(s)=F(s)=f(t)f(t)= -1F(s)表示为：表示为：ttfsFstde )()(00 de )(j21)(jjssFtfstttfttfststde )(de )(000机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 f(t) ，t 0, )称为称为

3、原函数原函数，属时域。，属时域。 原函数原函数 用小写字母表示，如用小写字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 称为称为象函数象函数，属复频域，属复频域 。 象函数象函数F(s) 用大写字母表示用大写字母表示 ,如如F(s) ，I(s)，U(s)。 j s称为复频率称为复频率 。 f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：拉普拉斯变换对，记为： 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 0e1sts 0de0tst)()(. 1tutfs1 2.2 2.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 （单位阶跃函数）（单位阶跃函数）0001)

4、(tttutu(t)F(s)=机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换0)(e1 tasasas 1)(e)(. 2tutfat0eeedatatstt j1ejts ( (指数函数指数函数) )）（）（000)(ftetttF(s)=机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换)()(. 3ttf 00d)(tt = 10 ( )( )edstttt （单位脉冲函数）（单位脉冲函数）)0()0(0)(ttt1)( dtt(t)t0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换）（）（000)(ftttt（单

5、位斜坡函数）（单位斜坡函数） f(t)t0ttf)(. 4dteseststst010F(s)=Lf(t)=dttest021s机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换0elim stnttnttf)(. 5stnst ed0nststntsstdee00 ttsnstnde01 0ednnstttt nnts 1nt （幂函数）（幂函数） 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换nnts 1nt 1n当当 ，21 ts ； n当当 2 2，232ts ； 依依次次类类推推， 得得 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反

6、变换拉普拉斯变换及反变换常常用用函函数数的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换表表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)(t)n(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1f1(t) e- t t0例题例题 求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式 ssF1)(1f2(t) e- t t 0解解 由于定义的拉氏变换积分上限是由于定义的拉氏变换积分上限是0，两个函数的，两个函数的拉氏变换式

7、相同拉氏变换式相同(0)t 当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出0 t区间的函数式区间的函数式 1ets 11机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.3 2.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 一、线性性质一、线性性质 1112jjjss22s )11( ssA1122 ( )( ) , ( )( )f tF sftF s若若 12 ( )( )a f tb f t 则则)()(21sbFsaF (1e)tA 例例1 sin t 例例2 jj1 (ee)2jtt 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉

8、斯变换及反变换二、微分定理二、微分定理 sin1022 tss 22 ss ( )( )f tF s 设设 d ( ) ( )(0 )df tsF sft 则则 1 dcos (sin)dttt 例例1 )0()0()()(d222fsfsFsdttf ）（）（）（0.00)()(d) 1(21nnnnnnffsfssFsdttf机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 对方程两端进行拉氏变换，

9、应用线性组合线性组合与微分定理微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10)()()()()(010122tebtetddbtratrtddatrtdd例例3 某动态电路的输入某动态电路的输入输出方程为输出方程为012101)0()0()()()()(asasrrassEbbssR机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换三、积分定理三、积分定理 例例 ( )(

10、 )f tF s 设设 01 ( )d ( )tfF ss 则则 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换四、时域平移四、时域平移f(t)f(t-t0)平移平移 ( )( )f tF s 设设 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换22)( ss2)(1 s例例1 例例2 ett ecostt 五、五、 复频域平移复频域平移 ( )( )f tF s 设设 e( )()tf tF s 则则 22)( s例例3 esintt 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换六、初值定理和终值定理六、初值定理

11、和终值定理 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理 若若 f(t)=F(s)，且，且 f(t)在在t = 0处无冲激处无冲激， 则则存存在在时时)(limtft )(lim)(lim)(0ssFtffst终值定理终值定理 f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 11lim)(0sstust例例2 2215)( sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0( sssssiss例例3 1)111(lim)(0 ssstist11( ) 1e 1-tI

12、 sss 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换as 111)()0(limlimassssFfss01)()(limlim00assssFfss例例4 4：已知：已知F(s)=F(s)= 解：由解：由初值定理初值定理得得，求求f(0)和和f()由由终值定理得终值定理得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 112212128( )( ),( )( )( )( )( )( )f tF sf tF sf tf tF sF s ：若卷则时域积性LL例例 右图所示电路中，电压源为 ，试用时域卷积定理时域卷积定理求零状态响应电流i(t

13、)。)()(tuetutai七、时域卷积性七、时域卷积性i(t)RL)(tui) s ()()(iUsLsIRsI解（1）写出系统动力学方程系统动力学方程（2）作作Laplace变换变换得)()()(tudttdiLRtii系统方框图系统方框图h(t)Ui(s)H(s)I(s)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换零状态响应电流零状态响应电流I(s)=Ui(s)H(s)= ui(t) H(s) )( teta)()()(1teeaLRLtLRtaLsRUsIi1) s ()(H(s)LRsLas111= -1I(s)i(t)=（4）应用应用时域卷积定理时域卷积

14、定理（3）求系统传递函数求系统传递函数h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作作Laplace反变换反变换得得LsR1机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 112212129( )( ),( )( )( )( )( )1( )2f tF sf tjF sf tf tF sFss ：若域卷 则积性LLL八、八、S域卷积性域卷积性九、尺度变换性九、尺度变换性机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的基基本本性性质质表表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉拉普普拉拉斯

15、斯变变换换的的基基本本性性质质表表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换的基本性质表拉普拉斯变换的基本性质表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换本讲小结：本讲小结：拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换定义常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换(1) 利用利用机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机

16、械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 作业作业1、 写出拉普拉斯变换定义式写出拉普拉斯变换定义式2、机械工程控制基础机械工程控制基础拉

17、普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1(s-1)2_机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换二、拉普拉斯反变换二、拉普拉斯反变换 1、由象函数求原函数、由象函数求原函数 （2）经数学处理后查拉普拉斯变换表）经数学处理后查拉普拉斯变换表 )()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn f(t)=L-1F(s)（1）利用公式）利用公式 jj1( )( )e d02jstf tF sst 较麻烦较麻烦 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变

18、换及反变换象函数的一般形式：象函数的一般形式： )( )()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 2、将、将F(s)进行部分分式展开进行部分分式展开机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换nsssF，有单实根）（120)(1nnssksskssksF 2211)(s)(1FLtf1)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()(1ss )(1ss )(1ss )(1ss 等式两边同乘等式两边同乘(s-s1) =0nitsiik1e22111nnsskssksskL 机械工程控制基础机械

19、工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换21321 sksksk5 . 2)(01 SssFk2( )2.55e1.5e(0)ttf tt )2)(1(52 sssss例例1 )23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5 . 1)2)(23 SssFk解：解： F(S) (s)(1FLtf2( )2.55e1.5e(0)ttf tt 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换21122 ss2( )2 ( )2ee(0)ttf ttt )2)(1(32 sss例例2 23772)(22 sssssF（m = n，用长除法），用长除法）

20、解：解： F(S) (s)(1FLtf机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换有共轭复根）（)( 22sF12( )jjkkF sss（k1 , k2也是一对共轭复数）也是一对共轭复数） )eeee()jj)jjttkk（ee e)( j)( j tttk2ecos()(0)tktt 1,2js 假设只有两个根假设只有两个根j1ekk j2ekk 设设 解：解： (s)(1FLtf则则 欧拉公式欧拉公式 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换52)(2 ssssF2j11 s6 .26559. 0212j12 j12j12j11

21、jsskS6 .26559. 021j212 j1j212j12jsskS)6 .262cos(e559. 02tt0)6 .262cos(e12. 1 ttt例例1 2j12 s法一：法一： 部分分式法展开，求系数。部分分式法展开，求系数。 (s)(1FLtf机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换法二：法二： 522 sss22222)1(12)1(1 sss1( )ecos2esin2(0)2ttf tttt( )1.12ecos(226.6 )(0)tf ttt 或或表表示示为为 222)1( ss将将F2(s)改写为改写为(s )2 + 2 222)1

22、(11 ssF(S) = 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换有相等的实根（重根）（)(32sF21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk 1)()(dd211SSsFsssk 21121)()(kssksssF 等式两边同乘等式两边同乘21)(ss 1112( )ee (0)s ts tf tkk tt(s)(1FLtf机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换221) 1() 1(sksk2)1(52)( sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk

23、0e3e2tttt例例1 1)(2有相等的实根sF等式两边乘等式两边乘 2) 1( s212) 1() 1)(kskssF得得 (s)(1FLtf机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换33221)2()2()2(sksksk32)2(22)( ssssF例例2 2)2()2(2223323Sssssk等式两边乘等式两边乘 3)2( s32213)2()2()2)(kskskssF机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2)22()2()2(22dd223322sSssssssk213)2(2)2)(ddkskssFs32213)

24、2()2()2)(kskskssF机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换122dd21)2()2()22(dd2122332221sssssssssk2222( )e2 ee(0)tttf tttt 32)2(2)2(2)2(1)( ssssF13222)2)(ddkssFs213)2(2)2)(ddkskssFs机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 )()(1110nmmmssasasasF nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 （4）一般多重根情况）一般多重根情况 1)()(1SSnns

25、Fssk 1)()(dd11SSnnsFsssk 1)()(dd211222SSnnsFsssk 1)()(dd)!1(11111SSnnnsFsssnk 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆变换312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其 中求其原函数机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 10

26、02010( )313(3)Fssss解 ：310010( )20( )33ttf teeu t211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss 解 ：s机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换32597( ),(1)(2)sssF sss已 知求 其 逆 变 换( )F s解：长除法练习练习2:2:()Fs解 ：长 除 法因为mn， 故采用机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换79523232sssss2332F(s)2sssssss23237722 ss ss223ss2机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯

27、变换及反变换拉普拉斯变换及反变换21( )212F ssss12( )212kkF ssss部 分 分 式 展 开 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中2( )( )2 ( )2( )ttf ttteeu t同理可求G(s)2F(s) s则233G(s)2sss令11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆变换23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 练习练习3:3:机械工程控

28、制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其中2237(12)(12)5ssksjsj12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1,212,55AB )22cos(arctane52(s)(1tFLtft（t0）机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换32(),(1)sFss s已 知求 其 逆 变 换131112232( )(1)(1)(1)kkkkF ss

29、sss解：312( )(1)( )sFssF ss令练习练习4:4:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换312( )(1)( )sF ssF ss令机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2030()22(1)ssksFsss 32( )(1)(1)()F sssss23( )222( )2tttftt eteeu t机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.5 用拉氏变换法求解常微分方程用拉氏变换法求解常微分方程1( )( )10( )(0( )( ),0,1,( )(),0,1,iippiijpjssyytY sifmstF sj 则 ,n作作Laplace变换变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换(