fky8张量and so on

1、张量简介张量简介标量，向量自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便自然法则与坐标无关，坐标系的引入方便分析，但也掩盖了物理本质；分析，但也掩盖了物理本质； 坐标系引入后的相关表达式冗长坐标系引入后的相关表达式冗长 引入张量方法引入张量方法 张量概念及其基本运算张量概念及其基本运算 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。 在一定单位制下，只需指明其大小即

2、足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。 张量的几个基本概念张量的几个基本概念张量的概念张量的概念只需指明其大小即足以被说明的物理量，称为标量标量温度、质量、力所做的功除指明其大小还应指出其方向的物理量，称为矢量矢

3、量物体的速度、加速度在讨论力学问题时，仅引进标量和矢量的概念是不够不够的如应力状态、应变状态、惯性矩、弹性模量等张量张量关于三维空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成： M=rn=3n标量标量:n=0,:n=0,零阶张量零阶张量矢量矢量:n=1,:n=1,一阶张量一阶张量应力应力, ,应变等应变等:n=2,:n=2,二阶张量二阶张量二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直观的几何意义。为了书写上的方便，在张量的记法中，都采用下标字母符号来表示和区别该张量的所有分量。这种表示张量的方法，就称为下标记号法下标记号法。123( , , )( ,(1,)2,3ix y zx x xx i 下标

4、记号法下标记号法: :,(, ),xxxyxzyxyyyzzxijzyzzi jx y z不重复出现的下标符号,在其变程N(关于三维空间N3)内分别取数1，2，3，N重复出现的下标符号称为哑标号,取其变程N内所有分量，然后再求和，也即先罗列所有各分量，然后再求和。自由标号自由标号: :哑标号哑标号: :当一个下标符号在一项中出现两次时，这个下标符号应理解为取其变程N中所有的值然后求和，这就叫做求和约定求和约定。求和约定求和约定: :1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j哑标，）自由

5、下标，哑标，）1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j哑标，）自由下标，哑标，）1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j哑标，）自由下标，哑标，） 23322112312)( iiiii 3131ijijijijij 131312121111 232322222121 333332323131 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有： 求和标号可任意变换字母求和标号

6、可任意变换字母表示。表示。 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例： 2332222112aaaaii 23322112)()(aaaaii 哑标可以换用不同的字母哑标可以换用不同的字母表示。表示。 关于关于KroneckerKronecker delta delta（ ）符号：符号： ij 是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单

7、位张量。其定义为：。其定义为： ij 100010001 , 0 , 1 ijijjiji 或或：时时；当当时时；当当jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性质：性质： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3, 的作用与计算示例如下：的作用与计算示例如下：ij jijijjijjijijijjjjjijiiiijijikkikikijkijijijiilllllaaaaaaaaaaaaa)( ) 6 ( ),( )

8、5 ( ) 4 ( ) 3(3)()()( ) 2(3 ) 1 (321332211333322221111332211233222211332211 或或或或即即4.4.张量的基本运算张量的基本运算 A A、张量的加减：张量的加减： 张量可以用矩阵表示，称为张量可以用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如： 333231232221131211aaaaaaaaaaij凡是同阶的两个或两个以上的张量可以相加(减），并得到同阶的一个新张量，法则为：ijkijkijkABCB B、张量的乘积张量的乘积 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 两个任意阶张量的乘法

9、定义为：第一个张量的两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的 每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如： 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。例如：律和结合律。例如： ijkjkicba )()( )(mkijmkijkijkijkijijcbacbacbcac

10、ba 或或；C C、张量函数的求导：张量函数的求导： 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都 是坐标参数是坐标参数x xi i的函数。的函数。 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数 求导数。求导数。 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加符号前上方加“ “ ”的方式来表示。例如的方式来表示。例如 ， 就表示对一阶张量就表示对一阶张量 的每一个分量对坐标参数的每一个分量对坐标参数 x xj j求导。求导。 jiA iA312,123ii iiuuuuuxx

11、xx2222,yixzi jkjkjkjkjkuuuuuxxxxxxxx 如果在微商中下标符号如果在微商中下标符号i i是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用的结果，将产生一个新的升高一阶作用的结果，将产生一个新的升高一阶 的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号，的张量；如果在微商中，下标符号是哑标号， 则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。则作用的结果将产生一个新的降低一阶的张量。 例如：例如： i 321 , , xxxxii 332211 xuxuxuxuuiiii 第一章第一章 弹塑性力学基础弹塑性力学基础1.1 应力张量应力张量1.2 偏量应力张量偏量应力张量1.3

12、 应变张量应变张量1.4 应变速率张量应变速率张量1.5 应力、应变应力、应变 Lode参数参数0limnnApA 1.1 1.1 应力张量应力张量力学的语言力学的语言yxzOnnA0limsnApA C过过C点可以做无点可以做无穷多个平面穷多个平面K不同的面上的应不同的面上的应力是不同的力是不同的到底如何描绘一到底如何描绘一点处的应力状态点处的应力状态? ?1).1).一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态一点的应力状态yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABCxxyxzijyxyyzzxzyz1.1 1.1 应力张量应力张量一点的应力状态一点的应力状态

13、可由过该点的微小可由过该点的微小正平行六面体上的应力分量来确定。正平行六面体上的应力分量来确定。应力张量应力张量数学上，在坐标变换时，服从一数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的定坐标变换式的九个数所定义的量叫做量叫做。111213212223313233ij用张量下标记号法下标下标1、2、3表示坐标表示坐标x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 1.1 应力张量应力张量2).2).一点斜面上的应力一点斜面上的应力( (不计体力不计体力) )112233cos( ,)cos( ,)cos( ,)n xln xln xli ：自由下标；j为求和下标（同

14、一项中重复出现）。3111 112 213 3113221 122 223 3213331 132 233 331Nj jjNj jjNj jjSllllSllllSllll斜截面外法线斜截面外法线n n的方向余弦的方向余弦: :Niij jSl令斜截面令斜截面ABCABC的面积为的面积为1 11122331 cos( ,)1 cos( ,)1 cos( ,)OBCOACOABSn xlSn xlSn xl (1.3)(1.4)1.1 1.1 应力张量应力张量斜截面斜截面OABC上的正应力上的正应力:1 12 23 322211 122 233 312 1 223 2 331 3 1222NN

15、NNS lSlSlllll ll ll l斜截面斜截面OABC上的剪应力上的剪应力:2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1 1.1 应力张量应力张量3).3).主应力及其不变量主应力及其不变量112233NNNSlSlSl主平面主平面: :剪应力等于零的截面剪应力等于零的截面主应力主应力-: :主平面上的正应力主平面上的正应力111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3NNNSlllSlllSlll代入代入11112 213 321 122223 331 132 2333()0()0()0lllllllll采用张量下标记号采用张量下标记号()

16、0iijjjlKroneker delta记号(1.7)(1.8)(1.9)1.1 1.1 应力张量应力张量 ij记号：记号：Kroneker-delta记号记号1,0,ijijij方向余弦满足条件：方向余弦满足条件：2221231lll100010001ij采用张量表示采用张量表示1i ill 联合求解联合求解 l1,l2,l3：11112 213 321 122223 331 132 2333222123()0()0()01lllllllllllll1,l2,l3不全等于不全等于0 01112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 1.1 应力

17、张量应力张量联合求解联合求解 l1,l2,l3：行列式展开后得：行列式展开后得：1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0 简化后得简化后得321230JJJ(1.14)22233331111222122323313111()2iikkikkiJ 1112133212223313233ijJ(1.15)式中式中:是关于是关于的三次方程，它的三个根，即为三个主的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。主应力大小与坐标选择无关，故主应力大小与坐

18、标选择无关，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必与坐标选择无关。也必与坐标选择无关。123,:JJJ应力不变量1.1 1.1 应力张量应力张量若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：1123J2122331()J 3123J (1.16)233112123,222主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：主剪应力面：平分两主平面夹角的平面，数值为：(1.17)主剪应力主剪应力面面( 1 )213121311.1 1.1 应力张量应力张量最大最小剪应力：最大最小剪应力：取取主方向为坐标轴取向主方向为坐标轴取向, ,则一点处任一截面上的剪应力的计算式则一点处任一

19、截面上的剪应力的计算式: :2222222222221231 12 23 31 12 23 3()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll消去消去l3：2222222222213123231312323()()()()Nllll22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll由极值条件由极值条件1200nnll及1.1 1.1 应力张量应力张量最大最小剪应力：最大最小剪应力：22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200ll及12322;0;22

20、lll 第一组解：第一组解：1200ll及第二组解：第二组解：2l消去第三组解：第三组解：13132 23232 12122 123220 ;22lll 12322;022lll 它们分别作用它们分别作用在与相应主方在与相应主方向成向成4545的斜截的斜截面上面上123max13min2 因为：因为：1.1 1.1 应力张量应力张量4).4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八个面组成的图形，称为八面体八面体。1231/3lll(1.19)八面体的法线方向余弦：八面体的法线方向余弦：八面体

21、平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影分别为：123lll2221231lll八面体（每个坐标象限1个面）123arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll或或11 1122 2233 33/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1 1.1 应力张量应力张量4).4).八面体上的应力八面体上的应力 1 2 3八面体面上八面体面上的正应力的正应力为为:22281 12 23 31 12 23 3123111()33PlPlPllllJ八面体面上的剪应力为：八面体面上的剪应力为：八面体（每个坐标象限1个面）2222228881231

22、2322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)八面体面上的应力矢量为：八面体面上的应力矢量为：222222281231 12 23 3222123()()()1()3FPPPlll(1.22)平均正应力平均正应力1.1 1.1 应力张量应力张量例题例题: :已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为应力单位为MPa。试求该点的主应力值。试求该点的主应力值。 代入式(1.14)后得:解解: :11122333003J22233

23、33111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6J 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 323680(4)(1)(2)0解得主应力为解得主应力为:1234;1;2; 1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量1).1).应力张量分解应力张量分解物体的变形物体的变形ij(1.32)体积改变体积改变形状改变形状改变由各向相等的应力状态引起的由各向相等的应力状态引起的材料晶格间的移动引起材料晶格间的移动引起的的球应力状态球应力状态/静水压力静水压力弹性性质弹性性质塑性性质塑性性质ij

24、ijS球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量1).1).应力张量分解应力张量分解000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzS(1.31)球形应力张量球形应力张量偏量应力张量偏量应力张量1122331111()333kkJ其中其中:平均正应力平均正应力/静水压力静水压力1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzS(1.31)二阶对称张量二阶对称张量1231123S其中其中:剪应力分量始终剪应力分量始终没有变化没有变化12300000

25、0 xxyxzijyxyyzzxzyzSSSSSSS主偏量应力主偏量应力2132223S3123323S(1.33)1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量ijSij例例:设原应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)得证明：证明：ij123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznlllllllll显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。(a)若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则由式(1.9)同样得：ijS123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyzn

26、SS lS lS lS lSS lS lS lS lSS l显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中的任意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。(b)()()xnxmnmxnSS由于:()()ynymnmynSS()()znzmnmznSSl1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量2).2).主偏量应力和不变量主偏量应力和不变量11;S22;S33S(1.33)ijSij满足三次代数方程式：满足三次代数方程式：321230JJJ1112233222

27、211222233331112233122212331230()1()122iiijijijJSSSJS SS SS SSSSSSSJS S SSS SS (1.34)式中式中J1,J2,J3为不变量为不变量(1.35)1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量(1.40)利用利用J1=0，不变量不变量J2还可写为还可写为:22222221122331223311(222)21212ijijiiJSSSSSSS SS S(1.38)22221122223333112221223312222222221223311()()()66()1()1()()()()66()6xyyzzxxyyzzxJSS

28、SSSSSSS1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量(1.43)3).3).等效应力等效应力( (应力强度应力强度) )22281223311()()()322221223311()()() 6J8223J在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力等效应力83/2123,0, 故2228122331231()()()322J(1.41)简单拉伸时简单拉伸时: :“等效等效”的命名由此而来。各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量(1.42)4).4).等效剪应力等效剪应力( (剪应力强度剪

29、应力强度) )222212233111()()()26ijijTJS S1230,0, T 例：纯剪时，“等效等效”的命名由此而来。例题：例题：已知结构内某点的应力张量如已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。量应力张量、等效应力及主应力数值。 100100100MPa10010ij101010 / 310 / 310 / 300010 / 30MPa0010 / 320 / 3010040 / 3:0MPa10020 / 3mijS平均正应力球形应力张量量（）偏量应力张1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量

30、222222211222233331112233131()()()6()21400 400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()( 100 100 100)00 100200|21000 1000000ijJJJ 等效应力等效应力: :1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量关于主应力的方程为关于主应力的方程为: 20)20,0,10(10)0 2221223311()()() 21400 10090070010 7 MPa2由主应

31、力求等效应力由主应力求等效应力: :1.2 1.2 应力偏量张量应力偏量张量1.3 1.3 应变张量应变张量1).1).一点应变状态一点应变状态位移位移刚性位移刚性位移变形位移变形位移物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两物体内各点的位置虽然均有变化，但任意两点之间的距离却保持不变。点之间的距离却保持不变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。物体内任意两点之间的相对距离发生了改变。要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各要研究物体在外力作用下的变形规律，只需要研究物体内各点的相对位置变动情况，也即研究点的相对位置变动情况，也即研究变形位移变形位移位移函数位移函数( , , )(

32、 , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z位置坐标的单值连续函数1.3 1.3 应变张量应变张量微小六面体单元的变形微小六面体单元的变形当物体在一点处有变形时，小单元体的当物体在一点处有变形时，小单元体的尺寸尺寸(即单元体各棱边的长度即单元体各棱边的长度)及形状及形状(即即单元体各面之间所夹直角单元体各面之间所夹直角)将发生改变。将发生改变。由于变形很微小，可以认为两由于变形很微小，可以认为两个平行面在坐标面上的投影只个平行面在坐标面上的投影只相差高阶微量，可忽略不计。相差高阶微量，可忽略不计。1.3 1.3 应变张量应变张量微小六面体单元的变形微小六面体单元的

33、变形B点位移分量点位移分量uudxxdxxD点位移分量点位移分量uudyydyyA点位移分量点位移分量uxOy的改变量的改变量:xy1.3 1.3 应变张量应变张量变形后变形后AB边长度的平方边长度的平方:222()()uA BdxdxdxxxM点沿点沿X方向上的方向上的线应变线应变:xA BABAB(1)(1)xxA BABdx(a)(b)22222xxuuxxx(c)代入代入(a)得得:xux略去高阶微量略去高阶微量yy同理，同理，M点沿点沿Y方向方向上的上的线应变线应变:1.3 1.3 应变张量应变张量tan1dxxxuudxdxxx同理同理:1,ux略去xuyxOy的改变量，即的改变量

34、，即剪应变剪应变:xyuyx1.3 1.3 应变张量应变张量122zuy ,uvyx同时存在12zuxy对角线对角线AC线的线的转角转角:122zvx刚性转动刚性转动1.3 1.3 应变张量应变张量(1.44)1).1).一点应变状态一点应变状态工程应变分量：工程应变分量：xyxyyzzzxuvuyxxvvwyzywwuzxz(几何方程几何方程/柯西几何关系柯西几何关系)1.3 1.3 应变张量应变张量(1.45)1).1).一点应变状态一点应变状态受力物体内某点处所取无限多方向上的受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变线应变与与剪应变剪应变( (任意两相任意两相互垂直方向所夹直角的改变量互

35、垂直方向所夹直角的改变量) )的的总和总和，就表示了该点的应变状态。，就表示了该点的应变状态。定义定义: :,12iji jj iuu（）111213212223313233112211221122xxyxzijyxyyzzxzyz应变张量应变张量: :123, ,u v wu uu1111,11xxuux21122,11,21211()()22xyuuuuxx(1.46)1.3 1.3 应变张量应变张量2).2).主应变及其不变量主应变及其不变量由全微分公式由全微分公式: :, ,u v w uuududxdydzxyzM点的位移分量点的位移分量,udu vdv wdwN点的位移分量点的位移

36、分量vvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz11221122uvuwdydzyxzuuvuwdxdydzxxyxzx表示刚性转动，不引起应表示刚性转动，不引起应变，计算应变时可忽略。变，计算应变时可忽略。1.3 1.3 应变张量应变张量xxyxzdudxdydz在主应变空间中在主应变空间中: :yxyyzdvdxdydzzxzyzdwdxdydziijjdudxrxxyxzdudxdxdydzryxyyzdvdydxdydzrzxzyzdwdzdxdydz()0 xrxyxzdxdydz()0yxyryzdxdydz()0zxzyzrdxdydzrdrdudvdwrdxdydz

37、;rrrdudx dvdy dwdz主平面法线方主平面法线方向的线应变向的线应变主应变主应变: :1.3 1.3 应变张量应变张量类似于应力张量类似于应力张量: :111223312322221122223333111223311112133212223313233ijIII 其中其中: :(1.47)(1.48)1122331133kk（）平均正应变平均正应变: :1.3 1.3 应变张量应变张量偏量应变张量偏量应变张量: :(1.52)13ijijijijkkije eij 的主轴方向与ij 的主方向一致，主值为: e1 1 ， e2 2 ， e3 3满足三次代数方程式：321231231

38、112233123222211 2222 3333 1112233122212331 2 30,0()1()2iiiijijeI eIeIIIIeIeeeeeeIe ee ee eeeeeeeIee e e 式中为 的三个不变量，(1.50)(1.51)222212233111()()() 26ijijIe eI I2 2应用较广应用较广, ,又可表达为又可表达为: :1.3 1.3 应变张量应变张量等效应变等效应变( (应变强度应变强度):):(1.54)2222122331123222()()()9331,2ijijIe e 例：简单拉伸时，故等效剪应变等效剪应变( (剪应变强度剪应变强度

39、):):222212233113222()()()2310,0,2ijijIe e 例：纯剪时，故(1.55)1.4 1.4 应变速率张量应变速率张量一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，一般来说物体变形时，体内任一点的变形不但与坐标有关，而且与时间也有关。如以而且与时间也有关。如以u、v、w表示质点的位移分量，则表示质点的位移分量，则:;xyzdudvdwVVVdtdtdt设设应变速率分量应变速率分量为为: :;xxyyzzVxVyVz;yxxyyzyzxzzxVVyxVVzyVVxziiduvdt质点的运动速度分量质点的运动速度分量1.4 1.4 应变速率张量应变速率张量xx

40、yyzzzxyVduduxx dtdtxVdvdvyy dtdtyVdwdwzzdtdtzuxvywzyxxyyzyzxzzxyyzxVVdudvduvyxy dtx dtdtyxVVdvdwdvwzyz dtydtdtzyVVdwduxzxduvyxvwytz dtzzxdwudtxzwuxz线应变速率线应变速率在在小变形情况小变形情况下，下，应变速率分量应变速率分量与与应变分量应变分量之间存在有简单关系之间存在有简单关系: :剪剪应应变变速速率率1.4 1.4 应变速率张量应变速率张量112211221122xxyxzijyzyyzzxzyz在在小变形情况小变形情况下的下的应变速率张量应变

41、速率张量: :,1()2iji jj iuu,1()2iji jj iVV(1.56)可缩写为可缩写为在一般情况下，应变速率主在一般情况下，应变速率主方向与应变主方向不重合，方向与应变主方向不重合，且在加载过程中发生变化。且在加载过程中发生变化。1.4 1.4 应变速率张量应变速率张量应变增量应变增量: :,1()2iji jj iddudu应变增量应变增量由位由位移增量微分得：移增量微分得：由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因此dt可不代可不代表真实时间，而是代表一个加载过程。因而表真实时间，而是代表一个加载过程。因而用应变增量张用应变增量张

42、量来代替应变率张量量来代替应变率张量更能表示不受时间参数选择的特点。更能表示不受时间参数选择的特点。(1.57)应变微分应变微分由两由两时刻应变差得：时刻应变差得：,()()( )1()( )()( )2ijijijiijjjidtttu ttu tu ttu t 22,22,1()111()2221()()22)ijiijjjiiii jjjjiddudududududududu泰勒级数展开泰勒级数展开高阶微量高阶微量()ijijdd忽略高阶微量忽略高阶微量1.5 1.5 应力和应变的应力和应变的LodeLode参数参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的

43、图形） : :任一斜面上应力任一斜面上应力位于阴影线内位于阴影线内m=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AO312O3O2O1Q3Q2Q1如果介质中某点的三个主应如果介质中某点的三个主应力的大小为已知，便可以在力的大小为已知，便可以在 - - 平面内绘出相应的应力圆。平面内绘出相应的应力圆。1.5 1.5 应力和应变的应力和应变的LodeLode参数参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q12221 12 23 3lll222 23 22 21 12 23 3lll2221231lll2223112

44、13()()()()l223122321()()()()l221233132()()()()l(1.61)223()()0231()()0212()()01231.5 1.5 应力和应变的应力和应变的LodeLode参数参数一一、应力莫尔圆应力莫尔圆（表示一点应力状态的图形）（表示一点应力状态的图形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1222232311()()24(1.63)222313111()()24222121211()()24式(1.63)表明，当一点处于空间应力状态时，过该点的任一斜截面上的一对应力分量、一定落在分别以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2为半径的三

45、个圆的圆周所包围的阴影面积(包括三个圆周)之内。1.5 1.5 应力和应变的应力和应变的LodeLode参数参数若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态若在一应力状态上再叠加一个球形应力状态(各向等拉或各向等压各向等拉或各向等压)，则应力，则应力圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。圆的三个直径并不改变，只是整个图形沿横轴发生平移。应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小应力圆在横轴上的整体位置取决于球形应力张量；而各圆的大小(直径直径)则则取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。取决于偏应力张量，与球形应力张量无关。 一点应力状态中的主应力按同一比例缩小或增大一点应力

46、状态中的主应力按同一比例缩小或增大(应力分量的大小有改变，但应力分量的大小有改变，但应力状态的形式不变应力状态的形式不变)，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即，则应力圆的三个直径也按同一比例缩小或增大，即应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的应力变化前后的两个应力圆是相似的。这种情况相当于偏量应力张量的各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。各分量的大小有了改变，但张量的形式保持不变。 1.5 1.5 应力和应变的应力和应变的LodeLode参数参数二、二、应力应力Lode参数参数: :几何意义几何意义: :应力圆上应力圆上Q Q2 2A A与与Q Q1

47、1A A之比，或两内圆直径之比，或两内圆直径之差与外圆直径之比。之差与外圆直径之比。球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常球形应力张量对塑性变形没有明显影响，因而常把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。把这一因素分离出来，而着重研究偏量应力张量。为此，引进参数为此，引进参数Lode参数参数：132232312131313()()2212m Lode参数：表征参数：表征Q2在在Q1与与Q3之间的相对位置，反之间的相对位置，反映中间主应力对屈服的贡献。映中间主应力对屈服的贡献。AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5 1.5 应力和应变的应力和应变的LodeLode参数参数应力应力Lode参数的参数的物理意义物理意义：1、与、与平均应力无关；平均应力无