D95隐函数求导64793学习教案

1、会计学1D95隐函数求导隐函数求导64793求：第1页/共33页1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数.2yxz第2页/共33页yxz2第3页/共33页第4页/共33页 第九章 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程C 0 时, 不能确定隐函数2) 方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:第5页/共33页定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并

2、有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数第6页/共33页两边对 x 求导在的某邻域内则第7页/共33页若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,xy则还可求隐函数的 第8页/共33页在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令连续 ;由 定理1 可知, )(xfy 导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求第9页/共33页,eyFxxxyFy cos第10页/共33页两边对 x 求导1两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时 利用隐函数求导第11页/共3

3、3页若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确第12页/共33页两边对 x 求偏导同样可得则第13页/共33页解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导第14页/共33页设则两边对 x 求偏导第15页/共33页设F( x , y)具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故第16页/共33页对方程两边求微分:解法解法2 微分法. 2F第17页/共33页隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列

4、式称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,即雅可比 第18页/共33页的某一邻域内具有连续偏导数；设函数则方程组的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:第19页/共33页定理证明略.仅推导偏导数公式如下：(P86)xxGFyyGF第20页/共33页有隐函数组则两边对 x 求导得在点P 的某邻域内xuxvxF00解的公式 故得系数行列式第21页/共33页xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得第22页/共33页解解:方程组两边对 x 求导，并移项得求练习练习: 求答案答案:由题设故有第23

5、页/共33页1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式 .思考与练习思考与练习设求第24页/共33页 1f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzyf第25页/共33页),(zyxzyxfz2f 21fzyf第六节 由d y, d z 的系数即可得第26页/共33页第27页/共33页分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得x x(2001考研)解得因此第28页/共33页是由方程和0),(zyxF所确定的函数 , 求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(1999考研)第29页/共33页对各方程两边分别求微分:化简得消去可得第30页/共33页解解:第31页/共33页德国数学家. 他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础. 他对行列式理论也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”, 并应用在微积 分