奥数四年级行程问题

1、许老师奥数第三部分 行程问题 第一讲 行程基础 【专题知识点概述】行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离速度时间，时间距离速度，速度距离时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程

2、问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程 可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间 可简记为：t = s÷v（3）路程÷时间=速度 可简记为：v = s÷t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。【重点难点解析】1. 行程三要素之间的关系2平均速度的概念3注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1.注意观察运动过程中的不变量【习

3、题精讲】【例1】（难度等级 ）邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?【分析与解】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。法二：从整体上考虑，邮递

4、员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。【例2】（难度等级 ）甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.【分析与解】 马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷

5、;4=25(千米)【例3】（难度等级 ）小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？（第六届小数报数学竞赛初赛题第1题）【分析与解】原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=3000米。【例4】（难度等级 ）韩雪的家距离学校

6、480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【分析与解】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：480÷20=24（米/分），现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40（米/分），那么现在上学所用的时间为：480÷40=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校【例5】（难度等级 ）王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他

7、应以多大的速度往回开?【分析与解】 假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开【例6】（难度等级 ）刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？【分析与解】 这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没

8、有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12

9、（千米/时）【例7】（难度等级 ）小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？【分析与解】上山用了3时50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=530，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分.【例8】（难度等级 ）老王开汽车从A到B为平地（

10、见右图），车速是30千米时；从B到C为上山路，车速是22.5千米时；从C到D为下山路，车速是36千米时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？【分析与解】设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷302.4（时）【例9】（难度等级 ）汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。【分析

11、与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/时。 我们发现中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为72，48=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=144×2÷

12、（144÷72+144÷48）=57.6千米/时。【例10】（难度等级 ）如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?【分析与解】 从A到B的时间为：12÷6=2（小时），从B到C的时间为：8÷4=2（小时），从C到D的时间为：4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D 的平均速度为：24÷6=4（千米/时）【

13、例11】（难度等级 ）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为米/秒、米/秒和米/秒，求他过桥的平均速度。【分析与解】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），过桥的平均速度为 （米/秒） 【例12】（难度等级 ）汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米时，要想来回的平均速度为48千米时，回来时的速度应为多少？【分析与解】 假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=1

14、0（小时），回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）【例13】（难度等级 ）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米秒、22米秒和33米秒，求他过桥的平均速度.【分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）【例14】（难度等级 ）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边

15、上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？【分析与解】假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分钟）.【例15】（难度等级 ）甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？【分析与解】全程的平均速度是每分钟（80+70）÷2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速

16、度一定是80米，时间是3000÷80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟第二讲 相遇与追及 【专题知识点概述】在今天这节课中，我们来研究行程问题中的相遇与追及问题这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！在行程问题中涉及到两个或两个以上物体运动的问题，其中最常见的是相遇问题和追及问题.一、相遇甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间=（甲的速度+乙的

17、速度）×相遇时间=速度和×相遇时间.一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关

18、系：追及路程=速度差×追及时间，即【重点难点解析】1直线上的相遇与追及2环线上的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1. 多人多次相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度等级 ）一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？【分析与解】 （46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）【例2】（难度等级 ）两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？【分析与解】 255÷（45+4

19、0）=255÷85=3（小时）。45×3=135（千米）。40×3=120（千米）。【例3】（难度等级 ）两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？【分析与解】3300-（82+83）×15÷（82+83）=3300-165×15÷165=3300-2475÷165=825÷165=5（分钟）【例4】（难度等级 ）甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问

20、：乙经过多长时间能追上甲？【分析与解】 出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-105（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）10÷52（小时）【例5】（难度等级 ）南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?【分析与解】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）【例6】（难度等级 ）军事演习中，

21、“我”海军英雄舰追击“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰?【分析与解】 “我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.即（1000×10-

22、600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），所以，经过20分钟可开炮射击“敌”舰【例7】（难度等级 ）小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝.小红、小蓝二人的速度各是多少？【分析与解】小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为20÷5=4（米/秒）；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由

23、追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度.综合列式计算如下：小蓝的速度为：20÷5×6÷4=6（米/秒），小红的速度为：6+4=10（米/秒）【例8】（难度等级 ）小明步行上学，每分钟行70米.离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明？【分析与解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸与小明的速度差：280

24、-70=210（米/分）,爸爸追及的时间：840÷210=4（分钟）【例9】（难度等级 ）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【分析与解】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷43（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×324（千米）.但事实上，爸爸

25、少用了8分钟，骑行了41216（千米）.少骑行24-168（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.881632.所以这时是8点32分。【例10】（难度等级 ）甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。【分析与解】 相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米【例11】（难度等级 ）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走

26、52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远? 【分析与解】 因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）【例12】（难度等级 ）甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米问：甲车到达B地时，乙车还要经过

27、多少时间才能到达A地?【分析与解】 由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程相遇后又行3时，剩下的路程之和108090（千米）应是两车共行431（时）的路程所以A，B两地的距离是（1080）÷（43）×4360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行801070（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷710（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米行一个单程，乙车比甲车多用360÷40360÷5097218（时）1时48分【例13】（难度等级 ）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分

28、钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.【分析与解】若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（266）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷2080（米/分），由此可求出A、B间的距离。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷2080

29、（米/分）（80+50）×6130×6=780（米）【例14】（难度等级 ）小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离？【分析与解】画一张示意图（可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？）离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是2÷（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是（5 4）×

30、218（千米）.【例15】（难度等级 ）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇求A、B两地间的距离？【分析与解】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95

31、15;3-25=285-25=260(千米) 第三讲 行程之流水行船 【专题知识点概述】通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响. 一、基本概念顺水速度=船速+水速， 逆水速度=船速-水速. ( 其中为船在静水中的速度，为水流的速度)由上可得：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；水速=（顺水速度-逆水速度）&#

32、247;2.二、流水行船中的相遇与追及（1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速.这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系.（2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关.这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速.也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水

33、速）=甲船速-乙船速.这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样.由上述讨论知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答【重点难点解析】1掌握流水行船的基本概念2掌握流水行船中的相遇与追及【竞赛考点挖掘】1流水行船中的相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度等级 ）一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时求：这两个港口之间的距离?【分析与解】 （船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米【例2】（难度等级 ）两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全

34、程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。【分析与解】 （352÷11-352÷16）÷2=5（千米/小时）【例3】（难度等级 ）甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。【分析与解】顺水速度：208÷8=26（千米/小时），逆水速度：208÷13=16（千米/小时），船速：（26+16）÷2=21（千米/小时），水速：（2616）÷2=5（千米/小时）【例4】（难度等级 ）船往返于相距180千米的两港之间，顺

35、水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时?【分析与解】本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）.暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）.暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）.暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（

36、15-5）=18（小时）【例5】（难度等级 ）甲、 乙两艘小游艇， 静水中甲艇每小时行 2.2 千米， 乙艇每小时行 1.4 千米。 现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行， 乙艇从相距 18 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过 4 小时， 甲艇到达乙艇的出发地。问航道上水流速度为每小时多少千米?【分析与解】 18÷(2.2+1.4)=5(小时)，所以经过 5 小时后两艇相遇。 2.2-18÷(5+4)=0.2(千米/小时)，所以航道上水流速度为每小时 0.2 千米【例6】（难度等级 ）乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行

37、同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【分析与解】 乙船顺水速度：120÷2=60（千米/小时）.乙船逆水速度：120÷4=30（千米/小时）。水流速度：（60-30）÷215（千米/小时）.甲船顺水速度：12O÷34O（千米/小时）。甲船逆水速度：40-2×15=10（千米/小时）.甲船逆水航行时间：120÷10=12（小时）。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9（小时）【例7】（难度等级 ）甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？

38、如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？【分析与解】相遇时用的时间：336÷（24+32）=6（小时），追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336÷（3224）42（小时）【例8】（难度等级 ）小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？【分析与解】此题是水中追及问题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=（船速+水速）-水速=

39、船速.路程差÷船速=追及时间 ，2÷4=0.5（小时）【例9】（难度等级 ）乙两船的船速分别为每小时22千米和每小时18千米两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发2小时，如果水速是每小时4千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？【分析与解】要求甲船追上乙船所用的时间，根据公式：路程差=速度差×追及时间，关键要求出路程差(速度差由题干所给条件容易求出)，即甲出发时，乙已经行驶过的路程，为顺水行程问题乙船先行的路程为：(18+4)x2=44(千米)，追及时间为：44÷(22-18)=44+4=11(小时)。【例10】（难度等级 ）某河有相距45千米的上、

40、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇?【分析与解】 船速：1000÷4=250（米/分），相遇时间：45000÷250=180（分）=3（小时）【例11】（难度等级 ）甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇已知水流速度是4千米小时求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米? 【分析与解】 为了求出相遇时两船航行的距离相差多少，若考虑将两船的各自航程分别求出的话，需根据：航程=速度

41、5;时间，要求出两船的顺水速度或逆水速度，即要求两船(在静水中)的船速而由已知条件分析，船速无法求出下面我们来分析一下，在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的，不妨设甲船顺水，乙船逆水甲船的顺水速度=船速+水速，乙船的逆水速度=船速一水速，故：速度差=(船速+水速)一(船速一水速)=2×水速，即：每小时甲船比乙船多走2×4=8(千米)3小时的距离差为3×8=24(千米)【例12】（难度等级 ）甲、乙两船从相距64千米的A、B、两港同时出发相向而行，2小时相遇；若两船同时同向而行，则甲用16小时赶上乙问：甲、乙两船的速度各是多少？【分

42、析与解】 两船的速度和=64÷2=32 (千米小时)，两船的速度差=64÷16=4 (千米小时)，根据和差问题，分别求甲、乙两船的速度：18和14千米小时【例13】（难度等级 ）江上有甲、 乙两码头， 相距 15 千米，甲码头在乙码头的上游， 一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶， 5 小时后货船追上游船。 又行驶了 1 小时， 货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上）， 6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找， 找到时恰好又和游船相遇。 则游船在静水中的速度为每小时多少千米.【分析与解】此题可以分为几个阶段来考虑。 第一个阶段是一个追及问题。在货

43、舱追上游船的过程中， 两者的追及距离是 15 千米， 共用了 5 小时，故两者的速度差是 15÷5=3 千米。由于两者都是顺水航行， 故在静水中两者的速度差也是 3 千米。 在紧接着的 1 个小时中， 货船开始领先游船， 两者最后相距 3×1=3千米.这时货船上的东西落入水中， 6 分钟后货船上的人才发现。 此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度1/10 千米， 从此时算起， 到货船和落入水中的物体相遇， 又是一个相遇问题， 两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度1/10÷货船的静水速度=1/10小时。 按题意，此时也刚好遇

44、上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3×1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了 1/10 小时，帮两者的速度和是每小时 33/10÷1/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15 千米【例14】（难度等级 ）一条船往返于甲、乙两港之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。一天因为下暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了10小时，甲、乙两港相距多少千米？【分析与解】平时逆行与顺行所用的时间比为

45、2:1，设水流的速度为x，则9+x=2（9-x），x=3。那么下暴雨时，水流的速度是3×2=6（千米），顺水速度就是9+6=15（千米），逆水速度就是9-6=3（千米）。逆行与顺行的速度比是15:3=5:1。逆行用的时间就是10×5/(1+5)=25/3 (小时)，两港之间的距离是3×25/3=25（千米）.【例15】（难度等级 ）A 、 B 两景点相距 10 千米， 一艘观光游船从 A 景点出发抵达 B 景点后立即返回， 共用 3 小时 已知第一小时比第三小时多行 8 千米， 那么水速为每小时 千米？【分析与解】第一小时比第三小时多行， 所以去的时候顺水， 回的

46、时候逆水因为第一小时比第三小时多行8千米， 所以第一小时行的肯定超过8千米 如果第一小时之内尚未到达 B 景点， 则后两小时行的总和超过10千米， 第三小时要逆水而行超过5千米(不然的话逆水而行一小时不超过5千米， 第二小时又要先顺行一段， 又要逆行超过5千米， 这不可能在一小时内完成)， 但这样的话第一小时比第三小时多行的将少于8千米， 矛盾 所以第一小时之内 已经到达B景点了， 后两小时都逆水行驶 那么后两小时行的路程相等， 为20 ÷（8-3）=4 千米， 第一小时行了 4+ 8 =12 千米 所以逆水速度为4千米/时， 逆水行2千米需要半小时， 所以第一小时的前半小时顺水行了

47、 10千米， 顺水速度为20千米/时， 所以水速为(20 4 )÷2 =8千米/时 第四讲 行程之火车问题 【专题知识点概述】在行程问题这个大家族中，除了我们常常研究的相遇与追击外，还有三大类我们必须了解的问题：火车过桥、流水行程和时钟问题.它们虽然也涉及速度、时间、路程这三个基本关系，但在应用中要兼顾考虑一些其它因素，譬如：火车车长、水流速度等等.其中火车过桥、流水行程是我们在以前的学习中已经有所接触的内容，在下面的学习中我们先回忆巩固原有基本概念，而后相应的拓展提高！ 一、解火车过桥问题常用方法 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和

48、. 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.【重点难点解析】1火车过桥要谨记车身长度2火车与多人多次相遇与追及【竞赛考点挖掘】1. 火车与多人多次相遇与追及【习题精讲】【例1】（难度等级 ）慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22，慢车在前

49、面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?【分析与解】 根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况，（142173）÷（2217）63（秒）【例2】（难度等级 ）一列客车长190米，一列货车长240米，两车分别以每秒20米和23米的速度相向行进，在双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间.【分析与解】 根据题目的条件可知，本题属于两列火车相遇的情况，（190240）÷（2023）=10（秒）【例3】（难度等级 ）一列长72米的列车，追上长108米的货车到完全超过用了10秒，如果货车速度为原来的1.4倍，那么列车追上到超过货车就需要15秒。货车的速度是每

50、秒多少米？【分析与解】根据题目的条件，可求出两列火车原来的速度之差，当货车速度为原来的1.4倍后，也可求出列车与加速后的货车速度之差，再根据前后两次速度之差的变化，就可求出货车的速度。两列火车的长度和：72+108=180（米）列车与货车原来速度差：180÷10=18（米）列车与加速后货车的速度差：180÷15=12（米）货车的速度是：（18-12）÷（1.4-1）=15（米）【例4】（难度等级 ）长180米的客车速度是每秒15米，它追上并超过长100米的货车用了28秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多少时间？【分析与解】280÷28=10（

51、米）货车速度：15-10=5（米）两列火车从相遇到完全离开所需的时间：280÷（155）14（秒）【例5】（难度等级 ）快车长106米，慢车长74米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1分钟才超过慢车；如果相向而行，车头相接后经过12秒两车完全离开。求两列火车的速度。【分析与解】 根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求出快车与慢车的速度。两列火车的长度之和：10674=180（米）快车与慢车的速度之差：180÷60=3（米）快车与慢车的速度之和：180÷1215（米）快车的速度：（153）÷2=9（米）慢车的速度：（15-3）÷26（米）【例6】（难度等级 ）方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了12秒钟，求列车的速度?【分析与解】 20m/s,可以把火车就看成两点，头和尾，头遇到人的时候实际上尾和人相距252m，12s后人和尾相遇，人走1