清华大学出版社抗震结构及抗震设计第三章

1、第三章 结构地震反应 分析与抗震计算o 3.1 概述概述o 3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析单自由度弹性体系的地震反应分析o 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱o 3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析的振型分解法多自由度弹性体系的地震反应分析的振型分解法o 3.5 多自由度弹性体系的水平地震作用多自由度弹性体系的水平地震作用o 3.6 结构的地震扭转效应结构的地震扭转效应o 3.7 地基与结构的相互作用地基与结构的相互作用o 3.8 竖向地震作用竖向地震作用o 3.9 结构地震反应的时程分析法结构地震反应的时程分析法o 3.10 建

2、筑建筑结构抗震验算结构抗震验算：能引起结构内力、变形等反应的各种因素能引起结构内力、变形等反应的各种因素一、地震作用一、地震作用 作用分作用分类类各种荷载：如重力、风载、土压力等各种荷载：如重力、风载、土压力等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等各种非荷载作用：如温度、基础沉降、地震等 等效地震荷载等效地震荷载：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用作用作用直接作用直接作用间接作用间接作用：在振动过程中作用在结构上的惯性力称为地震作用。：在振动过程中作用在结构上的惯性力称为地震作用。地震作用地震作用由于属于间接作用，不称为由于属于间接作用

3、，不称为“地震荷载地震荷载”，而称为，而称为“地震作用地震作用”。：地震释放能量：地震释放能量 ，以地震波的形式扩散，引起地面运动，使地面，以地震波的形式扩散，引起地面运动，使地面原来静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动原来静止的建筑物受到动力作用而产生强迫振动地震地震二、地震作用效应二、地震作用效应 地震作用在结构中所产生的内力和变形，主要有弯矩、地震作用在结构中所产生的内力和变形，主要有弯矩、剪力、轴力和位移。剪力、轴力和位移。指地震动引起的结构振动，包括结构内力、指地震动引起的结构振动，包括结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等变形、位移及结构运动速度与加速度等三、结构地震反应三

4、、结构地震反应 结构本身的动力特性结构本身的动力特性（自振周期、振型和阻尼）（自振周期、振型和阻尼） 由不同构件组成的空间结构动力特性复杂由不同构件组成的空间结构动力特性复杂1 1. .结构地震反应结构地震反应结构地震反应结构地震反应 影响因素影响因素 地震作用的大小及其随时间的变异特性地震作用的大小及其随时间的变异特性 地面运动随机、不规则地面运动随机、不规则2 2、结构地震反应分析（求解）方法、结构地震反应分析（求解）方法 目前在工程上求解结构地震反应的方法主要有两类：目前在工程上求解结构地震反应的方法主要有两类：1）、拟静力方法（等效荷载）、拟静力方法（等效荷载）2）、直接动力法（时程分

5、析法）、直接动力法（时程分析法）1. 1. 连续化描述（分布质量）连续化描述（分布质量）3.2.1 结构动力计算简图及体系自由度结构动力计算简图及体系自由度描述结构质量的两种方法描述结构质量的两种方法采用集中质量方法确定结构计算简图采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：（步骤）：2. 2. 集中化描述（集中质量）集中化描述（集中质量）工程上常用工程上常用 定出结构质量集中定出结构质量集中 位置（质心）位置（质心）将区域主要质量集中在质心；将区域主要质量集中在质心；将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去 集中化描述举例集中化描述举例a a、水塔建筑、水

6、塔建筑(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：水箱部分主要质量：水箱部分次要质量：塔柱部分次要质量：塔柱部分水箱全部质量水箱全部质量部分塔柱质量部分塔柱质量集中到水箱质心集中到水箱质心单质点体系单质点体系b b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：屋面部分主要质量：屋面部分厂房各跨质量厂房各跨质量集中到各跨屋盖标高处集中到各跨屋盖标高处 集中化描述举例集中化描述举例c c、多、高层建筑、多、高层建筑主要质量：楼盖部分主要质量：楼盖部分多质点体系多质点体系d d、烟囱、烟囱结

7、构无主要质量部分结构无主要质量部分结构分成若干区域结构分成若干区域集中到各区域质心集中到各区域质心 (a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱多质点体系多质点体系惯性力惯性力 i 、弹性恢复力、弹性恢复力s、阻尼力、阻尼力d3.2.2运动方程的建立运动方程的建立作用在质点上的三种力：作用在质点上的三种力：惯性力惯性力阻尼力阻尼力 由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成 弹性恢复力弹性恢复力 由结构弹性变形产生由结构弹性变形产生 c c

8、阻尼系数阻尼系数 k k 体系刚度体系刚度 )()(txtxmig idss=-kx(t)）（txcd力的平衡条件：力的平衡条件：令令km i+d+s=0idsmc2）（）（）（）（txmtkxtxctxmg ）（）（）（txtxtxtxg 22)( 体系的圆频率；体系的圆频率；体系的阻尼比体系的阻尼比上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。它的解包含两部分：一个上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程。它的解包含两部分：一个是对应于齐次微分方程的通解，另一个是特解。前者表示是对应于齐次微分方程的通解，另一个是特解。前者表示自由振动自由振动，后者，后者表示表示强迫振动强迫振动。齐次方程的通解齐次方程

9、的通解自由振动自由振动 齐次方程齐次方程：自由振动：在没有外界激励的自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动情况下结构体系的运动3.2.3自由振动自由振动方程的解：方程的解：特征方程特征方程特征根特征根02)(2）（）（txtxtx 0222 rr 112221 rr（1 1）若）若 ，1trtrecectx2121)(体系不振动体系不振动过阻尼状态过阻尼状态为负实数，为负实数，21rr 、方程的解：方程的解：齐次方程齐次方程：特征方程特征方程特征根特征根02)(2）（）（txtxtx 0222 rr 112221 rr其中其中21 ),(10)2(一一般般结结构构若若 为共轭复数，为共

10、轭复数，21rr 、irir222111 特征根为特征根为体系产生振动体系产生振动欠阻尼状态欠阻尼状态）（）（tbtaetxt sincos方程的解：方程的解：taetx ）（4 4）若）若，体系不振动体系不振动临界阻尼状态临界阻尼状态阻尼比：阻尼比：012rcc 1 kmmccr22 km12 mc体系自由振动体系自由振动无阻尼状态无阻尼状态tbtatx sincos ）（无阻尼单自由度体系自由振动为无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动简谐振动（3 3）若）若, 0 ）（）（tbtaetxt sincos其中其中21 21c时时的的阻阻尼尼系系数数1 临界阻尼系数临界阻尼系数 ：rc各种阻尼

11、下单自由度体系的自由振动各种阻尼下单自由度体系的自由振动tx(tx(t) )0 10 1 1 初始条件初始条件: :)0(0 xx , 初始速度初始速度)0(0 xx初始位移初始位移km固有频率固有频率kmt22固有周期固有周期则：则：体系自由振动位移方程体系自由振动位移方程 a= x000 xvb）（）（txvtxetxtsincos000）（）（tbtaetxtsincos无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动00( )cossinxx txtt当当 （无阻尼）（无阻尼）0 其中其中21 当当10自振的振幅将不断衰减，直至消失自振的振幅将不断衰减，直至消失

12、 有阻尼体系有阻尼体系/2t对于实际的房屋结构，阻尼比对于实际的房屋结构，阻尼比一般为一般为0.010.1，通常取，通常取 =0.05，此时，此时=0.99875，在实际计算中可近似地取，在实际计算中可近似地取= ，也就是说，在计算，也就是说，在计算结构体系的自振圆频率或自振周期时，可不考虑阻尼的影响。结构体系的自振圆频率或自振周期时，可不考虑阻尼的影响。kmt22对单自由度弹性体系对单自由度弹性体系=2/t=2f21 例题例题3-13-1kg10000mkn/cm1k已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。已知一水塔结构，可简化为单自由度体系（见图）。，求该结构的自振周期。求该结构的自

13、振周期。 解解：直接由式：直接由式(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱kmt22并采用国际单位可得并采用国际单位可得: : skmt99. 110/101100002223）（）（txvtxetxt sincos000在小阻尼情况之下，对应齐次方程的通解：在小阻尼情况之下，对应齐次方程的通解：则只要找到非齐次微分方程的一个特解，就可得到其通解则只要找到非齐次微分方程的一个特解，就可得到其通解）（）（）（txtxtxtxg 22)( 强迫振动方程：非齐次微分方程强迫振动方程：非齐次微分方程3.2.4 强迫振动强迫振动当当10则根据动量定理，则根据动量定理，pdt= m v

14、0-0，（，（p为脉冲荷载）为脉冲荷载）设体系原先处于静止状态，即施加脉冲荷载前质点的初位移和初速度均为零，设体系原先处于静止状态，即施加脉冲荷载前质点的初位移和初速度均为零，故得故得 v0= pdt/m，且在小阻尼情况之下：且在小阻尼情况之下：则可得：则可得：tmpdtetxtsin）（3.2.4.1 瞬时冲量及其引起的自由振动（脉冲荷载）瞬时冲量及其引起的自由振动（脉冲荷载）02)(2 ）（）（txtxtx 脉冲荷载：瞬时施加给结构的荷载，产生瞬时冲量脉冲荷载：瞬时施加给结构的荷载，产生瞬时冲量运动方程：自由振动方程（运动方程：自由振动方程（因为脉冲荷载是瞬时作用于结构上因为脉冲荷载是瞬时

15、作用于结构上）（）（txvtxetxt sincos00000vx 、式中，式中， 为结构施加脉冲荷载后的瞬时位移和速度为结构施加脉冲荷载后的瞬时位移和速度由于作用脉冲荷载前后的瞬时，位移不发生变化，即由于作用脉冲荷载前后的瞬时，位移不发生变化，即x0=0pdtt当当10在在t=0时刻施加脉冲后在时刻施加脉冲后在t时刻的响应：时刻的响应：tmpdtetxt sin）（在在 t = 时刻施加脉冲后在时刻施加脉冲后在t时刻的响应：时刻的响应：tpdt)(sin)( tmpdetxt）（otp d o3.2.4.2 杜哈默积分杜哈默积分-微分方程的特解微分方程的特解）（）（）（txtxtxtxg 2

16、2)( 在在t=时，此一瞬时荷载为时，此一瞬时荷载为 ，其作用时间为其作用时间为d，则瞬时冲量为，则瞬时冲量为（ ）gm x （ ）gmxd 体系由这一瞬时冲量所引起的位移体系由这一瞬时冲量所引起的位移 dtxetdxgt）（）（）（）（ sin 微分位移为：微分位移为：将所有瞬时冲量引起的微分位移叠加，即可得体系在整个受荷过程中引起的总将所有瞬时冲量引起的微分位移叠加，即可得体系在整个受荷过程中引起的总位移反应，位移反应， ttgtdtextdxtx00sin1 ）（）（）（）（）（ 上式称为杜哈默上式称为杜哈默(duhamel)积分，它就是所求的特解积分，它就是所求的特解 dtxetxgt

17、）（）（）（）（ sin 方程通解（单自由度体系）：方程通解（单自由度体系）：体系地震反应（通解）体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）强迫振动（特解）初位移、初速度引起初位移、初速度引起迅速衰减，可不考虑迅速衰减，可不考虑地面运动地面运动引起引起 ttgtdtextxxtxetx0sin1sin)0()0(cos)0( ）（）（）（）（ 杜哈梅积分也就是初始处于静止状态的单自由度体系地震位移反应的计杜哈梅积分也就是初始处于静止状态的单自由度体系地震位移反应的计算公式算公式3.3.1水平地震作用的基本公式水平地震作用的基本公式质点所受惯性力，即质点所受惯性

18、力，即 （ ）（ ） （ ）gf tma tmxtx t ）（）（）（）（）（tkxtxctxtxmtfg )()(tkxtxc设设sa为质点最大绝对加速度值为质点最大绝对加速度值max0sin dtexsttga ）（）（）（ ）（tkx ）（）（）（）（txtxmktxtxtag2)( ttgtdtextdxtx00sin1 ）（）（）（）（）（ ,率率相相差差不不大大有有阻阻尼尼频频率率与与无无阻阻尼尼频频max0t2sint2 dtexttg ）（）（）（ 水平地震作用最大值水平地震作用最大值fmaxamsfmax求得地震作用后，即可按求得地震作用后，即可按静力分析方法静力分析方法计算

19、结构的地震反应计算结构的地震反应 在结构抗震设计中，求出在结构抗震设计中，求出水平地震作用的最大绝对值水平地震作用的最大绝对值，即质点，即质点质量质量m与最大绝对加速度的乘积，作为反映地震影响的与最大绝对加速度的乘积，作为反映地震影响的等效力等效力。 3.3.2 地震反应谱地震反应谱地震加速度反应谱（地震反应谱）：地震加速度反应谱（地震反应谱）：单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期单自由度体系的地震最大绝对加速度反应与其自振周期t 的关系，记为的关系，记为 )(tsa地震加速度反应谱的意义地震加速度反应谱的意义 地震（加速度）反应谱可理解为一个地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的

20、地面运动确定的地面运动，通，通过一组过一组阻尼比阻尼比相同但相同但自振周期自振周期各不相同的单自由度体系，所引起各不相同的单自由度体系，所引起的各体系的各体系最大加速度最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线反应与相应体系自振周期间的关系曲线 。max0t2sint2 dtexsttga ）（）（）（ 地震加速度反应谱的意义地震加速度反应谱的意义 地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比阻尼比相同但相同但自振周期自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度最大加速

21、度反应反应与相应体系自振周期间的关系曲线与相应体系自振周期间的关系曲线 。t1t1sa(t)tt2t2t3t3t4t4t5t5= 0）（tx0 3.3.3 标准反应谱标准反应谱 gktxsgtxmgmsfgaga maxmaxmax)()(g g 体系的重量；体系的重量； 地震系数；地震系数； 动力系数动力系数k)(tgxkgmax maxgaxs 为了便于应用，可在地震作用基本公式中引入反映地面运动强弱的地面运动为了便于应用，可在地震作用基本公式中引入反映地面运动强弱的地面运动最大加速度最大加速度 ，maxgx 一、地震系数一、地震系数定义：定义：基本烈度基本烈度6789地震系数地震系数k0

22、.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40地面运动的最地面运动的最大 加 速 度大 加 速 度0.05g0.10g（0.15g）0.20g（0.30g）0.40g烈度每增加一度烈度每增加一度地震系数大致增地震系数大致增加一倍加一倍 gxkgmax 表示地面运动的最大加速度和重力加速度之比，加速度越大，地震烈度表示地面运动的最大加速度和重力加速度之比，加速度越大，地震烈度越高，最大加速度和地震烈度之间存在着对应关系越高，最大加速度和地震烈度之间存在着对应关系maxgx 设计基本地震加速度设计基本地震加速度 二、动力系数二、动力系数定义定义意义：由于动力效应，体系最大加速度的放大系数意

23、义：由于动力效应，体系最大加速度的放大系数体系最大加速度体系最大加速度地面最大加速度地面最大加速度是规则化的地震反应谱是规则化的地震反应谱maxgaxs max02max2sin12 tttggdttextxt ）（）（）（）（ max0t2sint2 dtexsttga ）（）（）（ 相对最大加速度相对最大加速度为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施：为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施： 1.1.取确定的阻尼比取确定的阻尼比，因大多数实际建筑结构的阻尼比在，因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右左右考虑阻尼比对地震反应谱的影响考虑阻尼比对地震反应谱的影响 2.2.按场地、

24、震中距将地震动记录分类按场地、震中距将地震动记录分类考虑地震动频谱的影响因素考虑地震动频谱的影响因素05. 0 3.3.计算每一类地震动记录动力系数的平均值计算每一类地震动记录动力系数的平均值 考虑场地类别相同的考虑场地类别相同的 不同地震动记录不同地震动记录 地震反应谱的变异性地震反应谱的变异性25. 2/ )()(105. 0maxnttnii三、标准反应谱三、标准反应谱 根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反根据大量的强震记录算出对应于每一条强震记录的反应谱曲线，然后统计出最有代表性的平均曲线作为设计依应谱曲线，然后统计出最有代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为据，这种曲线

25、称为标准反应谱曲线标准反应谱曲线。,as 与与t的关系曲线的关系曲线影响地震标准反应谱的因素：影响地震标准反应谱的因素：1.1.体系阻尼比体系阻尼比体系阻尼比越大体系阻尼比越大体系地震加速度反应越小体系地震加速度反应越小地震反应谱值越小地震反应谱值越小 图图 阻尼比对地震反应谱的影响阻尼比对地震反应谱的影响（1940年埃尔森特罗地震）年埃尔森特罗地震）=0.010.030.050.10当当 时，时，05. 0 25. 2maxt(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0asa=sgmax/ x 当当 时，时，05. 0 25. 2max 平均反应谱曲线平均反应谱曲线0.05峰值对应

26、的自振周期与场地的自振周期接近峰值对应的自振周期与场地的自振周期接近t(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0 agmaxs / x 不同场地条件下的不同场地条件下的 反应谱反应谱 场地越松软，场地越松软，松软土层越厚松软土层越厚场地越坚硬场地越坚硬 地震反应谱峰值地震反应谱峰值对应的周期也越长对应的周期也越长 地震反应谱峰值地震反应谱峰值对应的周期也越短对应的周期也越短 场地越松软，松软土层越厚，高柔结构受到的破坏更严重；场地越松软，松软土层越厚，高柔结构受到的破坏更严重；场地越坚硬，刚性结构受到的破坏更严重。场地越坚硬，刚性结构受到的破坏更严重。2 2. .场地场地请思考：图

27、中的两座建筑在经历不同周期特点的地震作请思考：图中的两座建筑在经历不同周期特点的地震作 用下，那座建筑更易破坏？用下，那座建筑更易破坏？不同震中距条件下的加速度反应谱不同震中距条件下的加速度反应谱 地震反应谱峰值地震反应谱峰值对应的周期也越长对应的周期也越长 震中距越大震中距越大 地震反应谱峰值地震反应谱峰值对应的周期也越短对应的周期也越短 震中距越近震中距越近在离大地震震中较远的地方，高柔结构受到的破坏更严重；在离大地震震中较远的地方，高柔结构受到的破坏更严重；在离大地震震中较近的地方，刚性结构受到的破坏更严重。在离大地震震中较近的地方，刚性结构受到的破坏更严重。3 3. .震中距震中距 设

28、计地震分组是新规范新提设计地震分组是新规范新提出的概念，用以代替旧规范设计出的概念，用以代替旧规范设计近震、设计远震的概念。近震、设计远震的概念。设计地震分设计地震分三三组组，用以体现震级和用以体现震级和震中距的影响震中距的影响6度近震6度远震7度近震7度远震3.3.4 设计反应谱设计反应谱抗震规范抗震规范采用采用sa/g与体系自振周期与体系自振周期t之间的关系作为设计反应谱之间的关系作为设计反应谱 kgsa /地震影响系数地震影响系数 地震作用计算地震作用计算由由gf)(tmsfa( )( )as ttg 地震影响系数是作用在质点上的地震作用与结构重力荷地震影响系数是作用在质点上的地震作用与

29、结构重力荷载代表值之比载代表值之比 gktxsgtxmgmsfgaga maxmaxmax)()(地震影响系数地震影响系数 抗震规范抗震规范是以地震影响系数作为抗震设计依据的是以地震影响系数作为抗震设计依据的，设计时，通，设计时，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱曲线）确定。过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱曲线）确定。地震烈度地震烈度场地类别场地类别设计地震分组设计地震分组结构自振周期结构自振周期阻尼比阻尼比影响地震影响系数的因素：影响地震影响系数的因素：定义定义)()(tkt地震影响系数的确定地震影响系数的确定maxmaxk 曲线由四部分组成，其值也由曲线由四部分组成，其值也由四部分构成

30、四部分构成gt 特征周期，与场地条件特征周期，与场地条件和设计地震分组有关和设计地震分组有关 衰减指数，取衰减指数，取0.91直线下降段斜率调整系数，直线下降段斜率调整系数，2阻尼调整系数，阻尼调整系数， 结构自振周期结构自振周期t图图 地震影响系数曲线地震影响系数曲线 地震影响系数地震影响系数maxmaxk地震影响系数最大值地震影响系数最大值10.050.0243220.0510.081.6 0.050.90.36值：值：我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的max地震影响地震影响设防烈度设防烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0

31、.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震0.280.50（0.72）0.90（1.20）1.40g15. 0g30. 0注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取和和的地区的地区 地震影响系数最大值地震影响系数最大值max（阻尼比（阻尼比0.05）基本烈度基本烈度6789地震系数地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40 k=0.35k表表 多遇地震多遇地震 =2k表表 罕遇地震罕遇地震当当 时，时，05. 025. 2max maxmaxkogb500112010规范在附录规范在附录a中规定了县级及县级以上城镇的中规定了县级

32、及县级以上城镇的中心地区中心地区(如城关地区如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和所的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和所属的设计地震分组。属的设计地震分组。设计地震设计地震分组分组场地类别场地类别0 1 iv 第一组第一组0.200.250.350.450.65第二组第二组0.250.300.400.550.75第三组第三组0.300.350.450.650.90特特 征征 周周 期期 tg 值（值（s） 规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应谱特征周期谱特征周期tg，取名为，取名为“设计特征周期设计特征周期”。设计特设计特 征

33、征 周周 期期 tg 值值抗震规范抗震规范gb500112010 5.1.4表表5.1.42例题例题3-23-2kg10000mkn/cm1k水塔结构，同例水塔结构，同例3-13-1。(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱 位于位于iiii类场地第二组，基本烈度为类场地第二组，基本烈度为7 7度（地震加度（地震加速度为速度为0.10g),0.10g),阻尼比阻尼比03. 0求该结构多遇地震下的水平地震作用求该结构多遇地震下的水平地震作用 08. 0maxstg4 . 0解；解；查表查表3-3，查表查表3-2，20.050.050.03111.160.08 1.60.08

34、1.6 0.03 0.050.050.030.90.90.9420.360.36 0.03 由图由图3-123-12（地震影响系数谱曲线）（地震影响系数谱曲线） 0.0205 10000 9.812008nfg0.942max0.4()()(0.08 1.16)1.99gtt0.0205此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。此时应考虑阻尼比对地震影响系数形状的调整。skmt99. 110/1011000022231.995ggttst3.4.1 计算简图计算简图 在进行建筑结构的动力分析时，为了简化计算，对于质量比较集中的结在进行建筑结构的动力分析时，为了简化计算，对于质量比较集中的结构，

35、一般可将其视为单质点体系，并按单质点体系进行结构的地震反应分析。构，一般可将其视为单质点体系，并按单质点体系进行结构的地震反应分析。然而，对于质量比较分散的结构，为了能够比较真实地反映其动力性能，可然而，对于质量比较分散的结构，为了能够比较真实地反映其动力性能，可将其简化为多质点体系，并按多质点体系进行结构的地震反应分析。例如，将其简化为多质点体系，并按多质点体系进行结构的地震反应分析。例如，对于楼盖为刚性的多层房屋，可将其质量集中在每一层楼面处；对于多跨不对于楼盖为刚性的多层房屋，可将其质量集中在每一层楼面处；对于多跨不等高的单层厂房可将其质量集中到各个屋盖处；对于烟囱等结构，则可根据等高的

36、单层厂房可将其质量集中到各个屋盖处；对于烟囱等结构，则可根据计算要求将其分为若干段，然后将各段折算成质点进行分析。对于一个多质计算要求将其分为若干段，然后将各段折算成质点进行分析。对于一个多质点体系，当体系只作单向振动时，则有多少个质点就有多少个自由度。点体系，当体系只作单向振动时，则有多少个质点就有多少个自由度。 3.4.2 运动方程运动方程图图 多自由度体系的变形多自由度体系的变形在单向水平地面运动作用下，多自由度体系在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图所示。的变形如图所示。设该体系各质点的相对水平位移为设该体系各质点的相对水平位移为x xi i(i(i=1,2,n), =1,

37、2,n), 其中其中n n为体系自由度数，为体系自由度数，则各质点所受的水平惯性力为则各质点所受的水平惯性力为)(111xxmfgi )(222xxmfgi )(ngninxxmf 体系水平惯性力体系水平惯性力 )1(gxxmf 其中其中 tiniiffff,21 tnxxxx ,21t1 , 1 , 11nmmmm21刚度方程：刚度方程： fxk多自由度体系多自由度体系无阻尼无阻尼运动方程运动方程 gxmxkxm 1多自由度多自由度有阻尼有阻尼体系运动方程体系运动方程 gxmxkxcxm 1图图 多自由度体系的变形多自由度体系的变形 12,tnxx xx tnxxxx,21( ( 各质点振幅

38、）各质点振幅）3.4.3 自由振动自由振动自由振动方程自由振动方程不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令多自由度自由振动方程多自由度自由振动方程 0gx 0 xkxm 动力特征方程动力特征方程 0)(2mk设方程的解为设方程的解为 )sin(tx tn,21 )sin(2tx 关于时间关于时间t t微分两次得微分两次得 0)sin()(2tmk代入振动方程得：代入振动方程得：0)sin(t由于由于则须有：则须有：自振频率自振频率体系发生振动，体系发生振动， 有非零解有非零解，则必有：，则必有： 02mk多自由度体系的动力特征值方程多自由度体系的动力特征值方

39、程 ), 2 , 1(nii其解由小到大排列为其解由小到大排列为22221,n为体系第为体系第i阶自由振动圆频率阶自由振动圆频率 一个一个n n自由度体系，有自由度体系，有n n个自振圆频率，即有个自振圆频率，即有n n种自由振动方式或状态种自由振动方式或状态动力特征方程动力特征方程 0)(2mk例题例题3-33-3计算仅有两个自由度体系的自由振动频率计算仅有两个自由度体系的自由振动频率 22211211kkkkk2100mmm解：由式解：由式 21222211211200| |mmkkkkmk)()()(2112221121222112221kkkkmkmkmm 02mk0解上方程得：解上方

40、程得：212112221122221112221112221)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk可得：可得：多自由度体系以某一阶圆频率多自由度体系以某一阶圆频率振型振型i自由振动时，自由振动时， 将有一特定的振幅将有一特定的振幅i与之相应与之相应 它们之间应满足动力特征方程它们之间应满足动力特征方程 0)(2iimk t121,ininiii设设t121 1 ,/,/,/inininiiniin 11niini与与相应，用分块矩阵表达相应，用分块矩阵表达 inininiicbbamkt1112)(则动力特征方程则动力特征方程 011t111niinininiincbba展开得展开得 0

41、111nininiba 01t1ininicb 1111nininiba解得解得 （*）（*）将（将（* * *）代入（）代入（* *），可用以复验），可用以复验求解结果的正确性求解结果的正确性 1ni由此得体系以由此得体系以i频率自由振动的解为频率自由振动的解为 )sin(taxiii体系在自由振动过程中的形状保持不变体系在自由振动过程中的形状保持不变 定义：振型定义：振型 iiiai把反映体系自由振动形状的向量把反映体系自由振动形状的向量称为称为振型振型称为规则化的振型，也可简称为振型称为规则化的振型，也可简称为振型 把把i也称为第也称为第i i 阶振型阶振型 令令iina 11nii i

42、iia例题例题3-43-4三层剪切型结构如图所示，三层剪切型结构如图所示，求该结构的自振圆频率和振型求该结构的自振圆频率和振型 解：该结构为解：该结构为3 3自由度体系，自由度体系， 质量矩阵和刚度矩阵分别为质量矩阵和刚度矩阵分别为kg1010005 . 100023mm/n106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136k先由特征值方程求自振圆频率，令先由特征值方程求自振圆频率，令600b2得得0b11-01b5 . 13202-b25| |2mk或或02-b5 . 7b5 . 5b23由上式可解得由上式可解得351. 0b161. 1b254. 3b3从而由从而由

43、b600得得 rad/s5 .141rad/s3 .312rad/s1 .463由自振周期与自振频率的关系由自振周期与自振频率的关系 /2t ，可得结构的各阶自振，可得结构的各阶自振s433. 0t1s202. 0t2s136. 0t3周期分别为周期分别为 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21mk 1111nininiba由由得得648. 0301. 060006 .1484120012005 .257911211代入代入 01t1ininicb校核校核08 .389648. 0301. 0600, 0则第一阶振型为则第一阶振型为 1648. 030

44、1. 01同样可求得第二阶和第三阶振型为同样可求得第二阶和第三阶振型为 1601. 0676. 02 157. 247. 23为求第一阶振型，将为求第一阶振型，将 rad/s5 .141代入代入 将各阶振型用图形表示将各阶振型用图形表示: : 1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一阶振型第一阶振型第二阶振型第二阶振型第三阶振型第三阶振型振型具有如下特征振型具有如下特征: : 对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交

45、点 ) ) 利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否 振型的正交性振型的正交性体系动力特征方程改写为体系动力特征方程改写为 mk2上式对体系任意第上式对体系任意第i i 阶和第阶和第j j 阶频率和振型均应成立阶频率和振型均应成立 iiimk2 jjjmk2两边左乘两边左乘 tj ti jijjimkt2t式(2)两边转置两边左乘两边左乘 刚度矩阵和质量矩阵的对称性 ijjijmkt2t ijiijmkt2t(1)(1) (2)(2) (3)(3) （1 1）、（）、（3 3）两式相减得：两式相减得： 0)(t22ijjimji ji

46、如如则则 0tijmji (4)(4) （4 4）式代入（）式代入（1 1）式）式 ，得：，得： 0tijkji (5) (5) 3.4.4 振型分解法振型分解法运动方程的求解运动方程的求解由振型的正交性，体系地震位移反应向量由振型的正交性，体系地震位移反应向量 jnjjqx1), 2 , 1(njqj称为称为 振型正则坐标振型正则坐标 jq唯一对应，是时间的函数唯一对应，是时间的函数 x与与代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得：代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得： gjjjjnjjjxmqkqcqm 1)(1 gijjijjinjjjixmqkqcqm 1)(ttt1t将上式两边左乘将上式

47、两边左乘 ti得得（1 1）（2 2）注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式，并设振型关于注意到振型关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性式，并设振型关于阻尼矩阵也正交，即阻尼矩阵也正交，即 0tjicji 则式则式（2 2）成为：成为： giiiiiiiiiixmqkqcqm 1tttt ijiijmkt2t由由可得：可得： iiiiimktt2 iiiiiimctt2 iiiimmtt1令令（3 3） giiiiiiixqqq 22计算可得：计算可得：分解分解n n自由度体系的自由度体系的n n 维联立运动微分方维联立运动微分方程程n n个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方个独立的关于

48、正则坐标的单自由度体系运动微分方程程与一单自由度体系的运动方程相同与一单自由度体系的运动方程相同 gxxxx 22则将式则将式（3 3）两边同除以两边同除以 iimt由杜哈密积分，可得式由杜哈密积分，可得式（4 4）的解为的解为（4 4）tidtgiididtextqii0)()(sin)(1)( )(tii其中其中21iiid阻尼比为阻尼比为 i、自斟频率为、自斟频率为 i的的单自由度体系的地震位移反应单自由度体系的地震位移反应多自由度体系地震位移反应的解多自由度体系地震位移反应的解 njjnjjjjtxttx11)()()()(txj多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，

49、多自由度体系的地震反应可通过分解为各阶振型地震反应求解，故称故称振型分解法振型分解法 体系的第体系的第j 阶振型阶振型 地震反应地震反应 阻尼矩阵的处理阻尼矩阵的处理m kc振型关于下列矩阵正交：振型关于下列矩阵正交：刚度矩阵刚度矩阵阻尼矩阵阻尼矩阵振型分解法的前提：振型分解法的前提：质量矩阵质量矩阵无条件满足无条件满足采用瑞雷阻尼矩阵采用瑞雷阻尼矩阵kbmac iiiiimktt2 iiiiiimctt2由于由于22iiiba22jjjba得得22)(2ijijjijia22)(2ijiijjb实际计算时，实际计算时，可取对结构地震反应可取对结构地震反应影响最大的两个振型的频率，影响最大的两

50、个振型的频率，并取并取 ji确定瑞雷阻尼矩阵中待定系数确定瑞雷阻尼矩阵中待定系数a a、b b： 任取体系两阶振型任取体系两阶振型 i j、 iiiiiikbmacttt jjjjjjkbmactttkbmac3.5.1 振型分解反应谱法振型分解反应谱法理论基础：地震反应分析的振型分解法理论基础：地震反应分析的振型分解法 及地震反应谱概念及地震反应谱概念 由于各阶振型由于各阶振型的线性组合，即的线性组合，即,21n是相互独立的向量，则可将单位向量是相互独立的向量，则可将单位向量), 2 , 1(nii表示成表示成1 niiia11其中其中ia tmj为待定系数，为确定为待定系数，为确定将式（将

51、式（1 1）两边左乘）两边左乘ia得得（1 1） jjjniijijmamam1t1tt由上式解得由上式解得 jjjjjmmatt1（2 2） 11niii质点质点i i任意时刻的地震惯性力任意时刻的地震惯性力 tt1jjjjmm其中其中图图 多质点体系多质点体系对于右图所示的多质点体系，质点对于右图所示的多质点体系，质点i i任意时刻的任意时刻的水平相对位移反应为水平相对位移反应为njjijjittx1)()(则质点则质点i i在任意时刻的水平相对加速度反应为在任意时刻的水平相对加速度反应为njjijjittx1)()( 将水平地面运动加速度表达成将水平地面运动加速度表达成 )()()(1t

52、xtxgnjjijg 将式将式（2 2）代入式代入式（1 1）得如下以后有用的表达式得如下以后有用的表达式振型j在质点i处的位移 为质点为质点i 的第的第j 振振型水平地震惯性力型水平地震惯性力 ( )( )iigfm x tx t )()(11txtmgnjjijnjjijji njjigjnjjijiftxtm11)()( jif则可得质点则可得质点i i任意时刻的水平地震惯性力为任意时刻的水平地震惯性力为质点质点i i的第的第j j振型水平地震作用振型水平地震作用将质点将质点i i的第的第j j振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即max

53、fjijifmax)()()(txtxtsga max)()(ftxtmgjjijiji 则则根据地震反应谱的定义根据地震反应谱的定义)(fjajijijitsmjijjijjijijiggm)(f采用设计反应谱，则由采用设计反应谱，则由ig质点质点i i的重量；的重量；j按体系第按体系第j j 阶周期计算的阶周期计算的 第第j j 振型地震影响系数振型地震影响系数 可得可得( )( )as ttg可得可得通过各振型反应通过各振型反应振型组合振型组合由振型由振型j j各质点水平地震作用各质点水平地震作用jsjss，此称为此称为振型组合振型组合 由各振型产生的地震作用效应，采用由各振型产生的地震

54、作用效应，采用“平方和开方平方和开方”法确定：法确定：2jss注：注：由于各振型最大反应不在由于各振型最大反应不在 同一时刻发生，因此直接同一时刻发生，因此直接 由各振型最大反应叠加估计由各振型最大反应叠加估计 体系最大反应，结果会偏大体系最大反应，结果会偏大 ，按静力分析方法计算，按静力分析方法计算，可得体系振型可得体系振型j j某特定最大地震反应某特定最大地震反应估计体系最大地震反应估计体系最大地震反应srss法法例题例题3-53-5三层剪切型结构同例三层剪切型结构同例3-43-4。s433. 0t1s202. 0t2s136. 0t3 1648. 0301. 01 1601. 0676.

55、 02 157. 247. 23结构处于结构处于8 8度区（地震加速度为度区（地震加速度为0.20g0.20g），），i i类场地第一组，类场地第一组，结构阻尼比为结构阻尼比为0.050.05。试采用。试采用振型分解反应谱法振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。 已知已知解：由解：由 niinijiijjjjjimmmm121tt1得得421. 1301. 02648. 05 . 11301. 02648. 05 . 11221510. 0)676. 0(2)601. 0(5 . 11)676. 0(2)601. 0(

56、5 . 11222090. 047. 22)57. 2(5 . 1147. 22)57. 2(5 . 11223查查 表表3-2(3-2(特征周期值表特征周期值表) ) 、3-33-3（水平地震影响系数最大值表）（水平地震影响系数最大值表）得：得： s25. 0gt16. 0max表3-2特征周期值 tg(s)max地震影响设防烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.280.50（0.72）0.90（1.20）1.40表3-3水平地震影响系数最大值返回返回设计地震分组场地类别0 1 iv 第一组0.200.250.350.450.65第二组0.2

57、50.300.400.550.75第三组0.300.350.450.650.90则（参见则（参见图图3-123-12地震影响系数谱曲线地震影响系数谱曲线）10.0976230.16jijjijigf由由得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为得第一振型各质点（或各楼面）水平地震作用为kn818. 0301. 0421. 10976. 08 . 9211fkn321. 1648. 0421. 10976. 08 . 95 . 112fkn359. 11421. 10976. 08 . 90 . 113fs25. 0gt图3-12 地震影响系数谱曲线 返回返回s433. 0t1s202. 0t2

58、s136. 0t30976. 016. 0433. 025. 09 . 0max9 . 011ttg16. 0max216. 0max3第二振型各质点水平地震作用为第二振型各质点水平地震作用为kn081. 1)676. 0()510. 0(16. 08 . 9221fkn721. 0)601. 0()510. 0(16. 08 . 95 . 122fkn800. 01)510. 0(16. 08 . 90 . 123f第三振型各质点水平地震作用为第三振型各质点水平地震作用为kn697. 047. 209. 016. 08 . 9231fkn529. 0)57. 2(09. 016. 08 .

59、95 . 132fkn141. 0109. 016. 08 . 90 . 133f则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为则由各振型水平地震作用产生的底部剪力为kn498. 3fffv13121111kn002. 1fffv23222121kn309. 0fffv33323131通过振型组合求结构的最大底部剪力为通过振型组合求结构的最大底部剪力为222211vv3.4981.0020.309j3.652kn若仅取前两阶振型反应进行组若仅取前两阶振型反应进行组合合kn639. 3002. 1498. 3v221由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为由各振型水平地震作用产生的结构顶点位移为3132

60、1312113121113ffffffukkkm10442. 66001.3591200359. 1321. 11800498. 3332322322123222123ffffffukkkm10799. 06000.800-1200)800. 0(721. 01800081. 1333323332133323133ffffffukkkm10083. 06000.1411200141. 0)529. 0(1800309. 03通过振型组合求结构的最大顶点位移通过振型组合求结构的最大顶点位移mm492. 6083. 0)799. 0(442. 610uu2223233j若仅取前两阶振型反应进行组合