【】谈初中数学开放性问题

1、谈初中数学开放性问题20世纪8O年代以来,数学开放题被介绍到中国;20世纪9O年代,数学开放题出现在教材中并进行教学中的试验;近几年来,数学开放题受到数学教育界的关注,并逐渐成为数学教学改革的一个热点.何为开放性问题,国内外学术界还没有统一的定义.习惯上,人们按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两类:一类是已知和结论都有明确要求的题型;另一类是回答问题的起点和终点(结论)两者中至少有一个没有确定要求的题型,并称前者是封闭题型,后者是开放题型(简称开放题).另外,前苏联学者奥加涅相的要素分析法定义的是:数学习题是一个系统Y,0,P,其中Y表示习题的条件,0表示解题的依据,P表示解题的方法,表示

2、习题的结论,上述系统的4个要素中有3个是未知的习题称为问题性题,有2个是未知的习题称为探索性题,问题性题与探索性题统称为数学开放题.一,数学开放题的特征数学开放题一般具有以下特征.(1)所提的问题常常是不确定和一般性的,其背景情况也是用一般词语来描述的,主体必须收集其他必要的信息才能着手解题.(2)没有现成的解题模式,有些答案可能易于直觉地被发现,但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索.(3)有些问题的答案是不确定的,存在着多样的解答,但重要的还不是答案本身的多样性,而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建.(4)常常通过实际问题提出,主体必须用数学语言将其数学化,也就是建立数学模型

3、.(5)在求解过程中往往可以引出新的问题,或将问题加以推广,找出更一般,更有概括性的结论.(6)能激发多数学生的好奇心,全体学生都可以参与解答过程,而不管他属于何种程度和水平.(7)教师难以用注入式方式进行教学,学生能自然地主动参与,教师在解题过程中是示范者,启发者,鼓励者和指导者.二,数学开放题的功能数学开放题一般具有以下功能.(1)开放题能引起学生认知的不平衡,为学生主动选择信息,超越所给定的信息留下了充分的余地,有利于完善学生的认知结构.(2)开放题由于具有结果开放,方法开放,思路开放等特点,能有效地反映高层次思维,为高层次思维创造条件,因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神.培养

4、学生的创造意识与能力.(3)开放题有助于培养学生对数学的积极态度,调动学生学习的积极性,提高平常数学成绩较差学生的数学学习兴趣,帮助学生体验智力活动的欢乐,体验数学学科的灵感.(4)开放题是挖掘,提炼数学思想方法,充分展示应用数学思想方法的良好载体,使每个学生的数学才能在自己的基础上有一个最大的发展,体现受教育者的公平性原则.(5)开放性问题的研究和教学,有利于教师转变教育观念,激发教育热情,摆脱浅层次的教学循环,体现自身的生命活力.三,数学开放题的分类从构成数学题系统的4要素(条件,422009年第4期j中国数学教育依据,方法,结论)出发,定性地可分成4类.(1)如果寻求的答案是数学题的条件

5、,则称为条件开放题.(2)如果寻求的答案是依据或方法,则称为策略开放题.(3)如果寻求的答案是结论,则称为结论开放题.(4)如果数学题的条件,解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找,则称为综合开放题.从开放题答案的开口情况出发,定量地可分成3类.(1)弱开放题答案情况(包括可能情况)只有2种的开放题.(2)中开放题答案情况(包括可能情况)超过2种,但为数目确定的有限种的开放题.(3)强开放题只能给出部分答案情况,答案情况(包括可能情况)总数难以确定的开放题.从试题内容出发分为:数与式的开放题,方程开放题,函数开放题,几何开放题,综合性开放题等.从解题目标的操作模式出发分为:规律

6、探索型开放题,问题探究型开放题,数学建模型开放题,操作设计型开放题,情境研究型开放题等.四,中考中的数学开放题教育部关于初中毕业,升学考试指导意见明确指出,中考数学要出一定的开放性问题,以更好地保障解答者创造性地发挥水平.(馓学课程标准也十分关注这个问题,在学习选择上改革力度很大,教材中有不少既符合学生特点又联系的中考数学试题,开放性问题不仅占居一定的位置,试题的分值较高,而且渐有加发结合2008年全国各地的中考数学试题,对开放性问题进行分类解析.对材料信息的加工,提炼和运用,对规律的归纳和发现能反映出一个人应用数学,发展数学和进行数学创新的薏识和能锐的观察力,能从特殊的情况出发,经过律类的中

7、考试题在素材的选取,文字的表述,题型的设计等方面都别具一格,令人耳目一新,其目的是继续考查学生的创新意识和实践能力,主要有"数字类","计算类","图形类","设计类","动态类"等题型.例1(河北卷)有一个4等分转盘,在它的上,右,下,左的位置分别挂着"众","志","成","城"四个字牌,如牌对调,同时将位于左右位置的两个字牌对调,再将转盘顺时针旋转9O.,则完成一次变换.图1(2),图1(3)分别表示第19次变

8、换后,"众"字位于转盘的位置是().第1次变换第2次变换一(3)图l(A)上(B)下(C)左(D)右问题是思维的起点,是探究学习的载开放题立意新颖,构思巧妙,形式多样,这类试题从素材的选择,文字的表达到题型的设计,题意的挖掘都很具特色,是近没有明确的条件或结论,没有固定的形式和方法,要求解答者认真收集和处理信息,通过观察,分析,综合,归纳,概括,猜想和论证等深层次的探索活动,认真研究才能完成问题的解答.例2(北京卷)请阅读下列材料:问题:如图2,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,口,在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若厶4BC=F=60.,探究PG与P

9、C的位置关系及的值.r乙DABE图2小聪同学的思路是:延长GP交DC于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及告的值.(2)将图2中的菱形BEFG绕点曰顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线日F恰好与菱形ABCD的边A曰在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图3),你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.DC图3(3)若图2中ABC:LBEk'=2a(0.<<90.),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件变,请你直接写出

10、等的值(用合的式子表示).所谓数学建模,就是把所要研究的实际问题通过数学抽象构造出相应的数学模型,再通过对数学模型的研究使原问题获和创造性,初中数学常见的建模方法有:涉及图形的位置性质,建立几何模型;涉及对现实生活中物体的测量,建立解直角三角形模型;涉及现实生活中普遍存在的等量关系(不等量关系),建立方程(不等式)模型;涉及现实生活中的变量关系,建立函数模型;涉及对数据的收集,决这类问题时,首先要在阅读材料,理解题意的基础上,把实际问题抽象为数学问题,即将实际问题经过抽象概括,利用数知识对数学模型进行分析,研究,从而得出结论.例3(湖北?成阳卷)"5?12"四川汶川大地震的

11、,情牵动全国人民的心,某市A,B两个蔬菜基地得知四川IC,D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨A蔬菜基地有蔬菜200吨,B蔬菜基地有蔬菜300吨,现将这些蔬菜全部调往C,D两个灾民安置点.从A地运往C,D两处的费用分别为20元和25元每吨,从B地运往C,D两处的费用分别为15元和吨.(1)试填写表1,并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值;表1CD总计A200吨B吨300吨总计240吨260吨500吨(2)设A,B两个蔬菜基地的总运费为"t元,写出与之间的函数关系式,并求总运费最小的调运方案;(3)经过抢修,从B地到C处的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少m

12、元(m>0,其余线路的运费不变,试讨论总运费最小的调运方案.数学课程标准指出:有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践,自主探索与合作交流是学生学习中国数学教育2009年第4期j43卷数学的重要方式;强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.在上述理念的引领下,近年来,注重学生动手实践,自主探索的操作实践型试题在各地市中考试卷中频频"登场",并给日开放题一般需要解答者经历观察,操作,思考,想象,推理,交流,反思等实践活动,利用已有的生活经验,感知与发现结论,从而解决问题.例4(陕西卷)阳光明媚的一天

13、,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)试在图4中画出测量示意图;一图4(3)设树高AB的长度为,试用所测数据(用小写字母表示)求出.随着课改的深入开展,实际情境问题应运而生,并迅速发展成为命题的亮点,热点.实际情境问题是复杂多变的,它贴近生活,为学生所熟悉,且以一定的知识为依托.情境设置的取材广泛,有日常生活中常见的问题,如购物,统计,几何图形的计算等,使问题富有时代气息;也有社会热点问题,如环保,纳税,经济,合理用料,2008年北京奥运,南方雨

14、雪冰冻灾害,汶川地震等.例5(四川?乐山卷)阅读下列材料:我们知道II的几何意义是在数轴上数,17对应的点与原点的距离;即lI=l一0I,也就是说,ll表示在数轴上数与数0对应点之间的距离;这个结论可以推广I一:l为表示在数轴上.和对应点之间的距离.(1)解方程II=2,容易看出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的解为:±2.(2)解不等式I一1I>2,如图5,在数轴上找出I一1I=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为一1,3,则l一1>2的解为<一1或>3.2T2一1O123图5绝对值的几何意义知

15、,该方程表示求在数轴上与1和一2的距离之和为5的点对应的的值.在数轴上,1与一2之间的距离为3,满足方程的对应的点在1的右边或一2的左边,若对应的点在1的右边,由图6可以看出=2;同理,若对应的点在一2的左边,可得=一3,故原方程的解是=2或=一3.:=二一20l2图6参考阅读材料,解答下列问题:(1)方程1+3l:4的解为;(2)解不等式1一31+I+4I9;(3)若l一3l+I+4I.对任意的都成立,求.的取值范围.五,加强数学开放性问题研究与实践的几点思考(馓学课程标指出,数学课程应具有多样性和选择性的开放性理念,并提出了开放的模块式课程结构,从数学课程的内部,为不同层次,不同需要的学生

16、提供了多层次,多类型的课程,为学生选择为了使自然人过渡到社会人,使社会人更化,因此,一个良好的社会人必需具备适方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步,学习的更高境界是提出新问题,提出解决问题的新方案因此首先必须改变那种只局限于教师给题,学生做题的被动,封闭的状态,为了使数学适应时代的需要,我们选择了数学开放题作为一个切入口,开放题的引入,促进了数学教育的开放化和个性化,从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力.开放问题的构建主要从两个方面进行,一是通过问题本身的开放而获得新问题,二是通过问题解法的开放而获得新思路.根据创造的三要素"结构,关系,顺序",我们可以为学生构建由"封闭"题到"开放"题的如下框图模式.图7另外,在开放题的编制,开发中,要重视设问方式.语言的暗示性要恰当,防止将思维导入歧途;要把握问题的开放度,不同水平的学生应采用不同的设问方式,提出不同的解题要求;开放题中所包含的事件应为学生所熟悉的,其内容是有趣的,是学生所愿意研究的,是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题;要注意问题的可发展性,给学生一个提问题的机会比解题本身更重要.开放式教学是通过改革传统教学过程中束缚学生发展的因素,激励学生积极主动探索数学知识的规律,培养学生自主发展能力的新型教学.(徵学课程标指出,