数学学年论文求极限的方法--徐俊玲

1、珈学学年论文求极限的方法数学与统计学院11级数学与应用数学徐俊玲学号:0510110112求极限的方法摘 要：本文系统地介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、 泰勒公式、定积分等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程屮常遇见的一些问题。关键词：极限、方法、类型、洛比达法则、定积分一引言数学分析是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积 分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程屮占有极其重要的 地位。数学分析许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导 数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想数学分析就失去了基础失 去了价值

2、，因此极限运算是数学分析的基木运算。由于极限定义的高度抽象使我 们很难用极限定义本身去求极限，又曲于极限运算分布于整个高等数学的始终， 许多重耍的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基 本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。 针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。二具体方法1 利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理12若极限和limg都存在，则函数于（兀）士 g（x），/（x）-g（x）x->a0xtx当x t兀0时也存在且 士 go） = lim/w 土 lim 曲）x->x0xto liml/w

3、 g（“）=lim/w limw又若limgw"则加在xt心时也存在 glimxt%f(x) g(x)lim/wlimg if0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如竺、9等情况，都不能直接用四则运算法则，00 0必须更对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌 握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。r2 4例 1：求 lim-r心2- x _ z解：原式二 lim * 2；+ 2） = hmg+2）=o2 用两个重要的极限来求函数的极限 利用lim沁i來求极限,r->0 兀lim = 1的扩展形为:x

4、->0%令g（x） t 0 当兀t兀。或x > 00时则有例2：也）g(x)=1limsinx71 - x解：令 t-7i-x 则 sinx 二 sin(/r - t)=sint,且当 xm 时/to+arsinx sinr 1収 lim = lim-= 1xf 71 x /->0 i例求lim心二1xtl* 1解:原式=nm(o(sin(x2-l)xtl (x +1x-1)xtljc -1利用im（i+丄）=幺来求极限xtooxlim（i+）=幺的另一种形式x>0c兀lim（i+q）" =£ 事实上，令i1-xa->0a = . xtoooq

5、to所以幺=im(i+)* = lim(i+q)q =e x£例4:求lim（l + 2x）；的极限a->0j_j解:原式二lim （i+ 2兀）云（i + 2兀户xto利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形 式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法來求极限。一 般常用的方法是换元法和配指数法。3 利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即lim 但 =i称与£（兀）是兀-心时的等价无穷 g（x）小量，记作于（兀） gd）（xtxo）定理2：设函数/（x）,g（x）,/7（x）在心0）内有定义, 且有fm g（x）.（兀

6、t兀0） 若lim/（x）g（q =人则limz（x）力（%）=人x->.v0 若啊需"则映绘h证明：limg（x）h（x）= limvr； limf（训（兀）= a = a 可类似证明，在此就不在详细证明了!由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例轨求監晋的极限sin x解： 由 tan x - sin x =(1 一 cos x).而 sin 兀x, (x t 0)；cosx兀21 cos x, ( x > 0 ) ；sin 兀，(x > 0 ).2x2故有limx->0tan x-sin x3sinx=limxt（）1cosxx-x3注：由上

7、例可以看ill,欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于lim止 i，故有sin兀x,(xto).又由于xto 尢lirn = 1，故有 arctanx x , (x> 0)xto兀另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘 或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式屮的相加或相减的部分则 不能随意代换。如上式中，若因有tanxx, (x -> 0); sinxx,(xt0).而推出limx->0tan x-sinxsinx3=0则得到的结果是错误的。4.利迫敛性来求极限定理 3：设limf(x)二 limg(x)二a

8、,且在某八(兀0,5 )内有 f(x)<h(x)<g(x),x->x0xfy°则 limh(x)二 a例6：解:且 lim（i-兀）=1jvto由迫敛性知做此类型题目的关键在于找出人于己知函数的函数和小于已知函数的函数, 并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。5 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数f(x)在兀。点连续，则 lim/(兀)=/(兀)及若 limw = axt®x>.t0且f(u)在点a连续,则hmfm = f lim)x>.r0x1-cosx例7：求lime2arcsinj2的极限a->0由于li

9、mx->0s4及函数巾)"在“冷处连续，故 l-cosx1 出bresin xe4例8：求limx->7t1 + cos x2tan x1-c0sxlime2arcsinaa->06 利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述屮，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小(大)量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小 量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作°型或竺型的不定 0 00式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法 则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于°型不定式极

10、限，可根据以下定理来求出函数的极限0定理4：若函数f(x)和函数g(x)满足: lim /(x)=lim sm =o°x>x0x>x0 在点xo的某空心邻域w°(xo)内两者都可导，且g，(兀)h 0 帅宗h斜可为实数，也可为±8或8)则lim工0注：此定理的证明可利用柯西屮值定理，在此，笔者就不一一赘述了。解：容易检验f (x)二1+cosx与g(x) = tan2 x在=兀的邻域里满足定理的条件和，又因limxt/tg©)-sinx2 tan x sec2 x二 _limx>/rcos3 x 12 2广_1 g©) 2故由

11、洛比达法则求得,lim 俏二 limx->x0 g (兀丿 a>xo在此类题目中，如果1迎垮仍是彳型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限limxf03是否存在。当然，这是厂(x)和g3g©)在兀。的某邻域内必须满足上述定理的条件。例9：求limxto"(l + 2x)2ln(l + x2)解:利用 ln(l + x2) - x2 ( x->0), o _1et't护一(l + 2x)2-(l + 2x)_2 “ k (1 + 2兀)尿认一 lim2limlimxt()兀xt()/xx>0x22x在利用洛比达法则求极限

12、时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例,例1°：求lim宀1 e解：这是°型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适 0当的变换，计算上就会更方便些，故令t =五，当时有ftoj于是有limxt(f-r=limp7 = lim1 八 z->0+ 1 幺 皿(2)聖型不定式极限00若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5：若函数f(x)和函数g(x)满足： lim /（兀）二 lim g（兀）二°°x>.v0*x>x（/ 在点x。的某空心邻域泸+（兀0）内两者都可导，且g

13、9;）工0 lima, （a可为实数，也可为±00或00）。 x* g©）则卿衞毛平匍此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一i赘述了。例 11：求 iimx->+oo x解：由定理4得，liminxx (in x)= limxt+oo= lim7 = 0xt+8 兀注1:若limxt%需不存在,并不能说明im不存在。xtxq 8 （兀）注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是 不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限limx><o虽然是竺型的，但若不顾条件随使使用洛比达法则：00lim丄土也

14、兰二lim 上竺就会因右式的极限不存在而推出原式的极限 xt8xx><»i不存在这个错误的结论。（3）其它类型不定式极限不定式极限还有0-oo, r , 0°, 00°, 00-00等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为2型和聖型的不定式极限。0 00例12：求兀x>0解：这是一个广型的不定式极限，作恒等变形xlnx二竽，将它转化为竺型的1 00x不定式极限，并用洛比达法则得到丄1 rj vlim %lnx = lim r 二 lim二 lim (一兀)二 0xt(广x->()+ l x->0+ 1 .ito*例 13：求 jim

15、 (cosx) 2v->0解：这是一个1”型的不定式极限，作恒等变形|-ln cos x(cosx)v" =ex其指数部分的极限ima->09沁碍型的不定式极限,可先求得“1 1- tan x _1limln cos x - lim _7-t.r->0 兀xto 也兀乙丄 _1从而得 lim (cosx) '2 -e 2xto例 14:求hm(sinx)zx (k 为常数)x->(r解：这是一个0°型的不定式极限，按上例变形的方法，先求竺型的极限,00limat(tkcosx譽芋lim平二lime1 + in x xto+ 丄 xt0+x亠r

16、sinx然后得到um (sinx)h,n = a (rho)xto十当k二0时上面的结果仍成立。例 15：求 limd +ji + /)y解：这是一个00°型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（竺型）00ln（x +vl + x2）lim兀 t+olnx_1a/1 + x _i-lim1x _1_于是有 lim （兀 + ji + f） lnx=e兀t+87 利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式,对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。2例 16：求iimcosx7 2xt（）xw：木题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母

17、为x4,我们用麦克劳林公式表示极限的分了,（取 n=4）cosx=1- 2工4+ l +。（云）24r42匚+心x"c0sx-0 2 二一f o（x5）12x因而求得lim汽二mu 4 xto兀x>0兀8 利用微分屮值定理和积分屮值定理求极限limx->012q x _ sin x例】7：求昨-* 的极限x32x-2sinx x-sinx厂由微分屮值定理得,匚=2讣2厂x - sin x（ q介于x与sin x之间）直十2x-2sinx 十 x-sinx原式"aperihp3x2<t0xto oxo2x c sin x例18：求巴？/的极限他.2a -2s

18、inx 2x-2sinx x-sinx角牟:；=:zx - sin x jrx3由微分屮值定理得，qx _ ° sin x 土二一= 252尸x-sinx（ q 介 丁与 sinz 间）q x r sin x原式=lim limxto 兀sin x xtox3一>0xto3 兀o9利用定积分求极限十 /1i例求1巴荷+乔i + + 2解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形:htco r=l 1i"n不难看岀，具屮的和式是函数发= 丄在区间0,1上的一个积分和。（这1 + x里所取的是等分分割，心厂丄，6 亠nn/-i i（ii2.仏），所以八£"（1 + 切（=2当然，也可把j看作/（%） = -在1,2上的定积分，同样有xx三总结= ln2以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题口时，仅 仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的， 必须要细