数值计算(或计算方法)试验教学讲义28886

1、第一章 实验的目的和要求1.1实验目的为了掌握计算方法的基本思想、原理和方法，要注意计算方法的处理技巧与计算机实现 的结合，需将各种数值方法设计成算法，并编制好程序，拿到计算机上实现，最示得到可行 性的验证。12实验要求（1）用c或c+、java. fortran matlab等计算机程序设计语言编写程序。（2）上机前充分准备，复习相关知识，选用合适的数据结构并详细设计算法，尽量写出 具有通用性的程序，反复检查程序。（3）上机时快速输入程序；首先排除语法错谋；然后采用多组数据，详细测试，排除逻 辑错误；最后将程序调试成功，运行程序得到准确结果。（4）完成计算后，反复体会和分析，试着改善计算复杂

2、性，使程序或算法更加完美。1.3实验环境1. 3. 1硬件环境cpu : pentium 4以上内存：256mb以上1. 3. 2软件环境（1）操作系统:microsoft windows xp 和 2000（2）编译器：c或c+、java、fortran> mat lab1.4本实验课程与其它课程的关系本课程的前导课程冇高等数学、线性代数（或高等代数）、c语言或fortran语言等，最 好事先开设数据结构；后续课程有计算机图形学、图像处理、模式识别等。第二章实验的计划和内容2. 1实验计划计算方法实验课共安排20学时。计算方法实验计划如下(l)lagrango插值多项式newton插值

3、多项式(3) iiennite插值多项式最小二乘法复化求积公式(6) romberg求积公式数值微分的外推算法gauss消元法肓接三角分解法(10)解方程组的迭代法2.2实验内容共十个实验题目，每次课(2学时)一个题目。2. 2. 1实验一实验题冃：lagrange插值多项式相关知识：通过ni 1个节点的次数不超过n的lagrange插值多项式为：厶心)=£儿人(兀)k=()齐 % 兀.其中,lagrange插值基函数lk(x)= ft, k=0, 1, , n0>« 忑-xj沖k另外，补充c语言绘制图形方面的内容如下1. 屏幕坐标系 坐标原点在屏幕的左上介，x轴水平

4、向右，y轴垂直向下。2. 常用的绘图两数(绘图库函数所在的头文件graphics, h)初始化图形系统的函数 void initgraph(int * graphdriver, int graphmode,画点函数 void putpixel (int x, int y, int pixelcolor);移"画笔”函数 void moveto(int x, int y);画直线函数voidline(int xl,int yl, int x2, inty2);voidlineto(int x, int y);设置询景颜色函数void setcolor(int color);设置巧景颜色

5、函数void setbkcolor(int color);设置画线宽度和类型函数void setlinestyle(int 1 inestyle,unsigned upattern, int thickness);关闭图形系统函数void closegraph (void);3. 绘图程序的设计模式include "graphics, h"mai n ()int graphdriver二detect, graphmode;initgraph(&graphdtivcr, &graphniode,"”)； 调用绘图两数进行绘图 closegraph (

6、);数据结构：两个一维数组或一个二维数组算法设计：(略)编写代码：(略)实验用例：已知函数y=f(x)的一张表：x0102030405060708090100110120y517. 534.5& 815. 56. 5_5-10-24. 57试验要求：利用lagrange插值多项式厶”(兀)求被插值函数f(x)在点x=65处的近似值。建议：画出lagrange插值多项式厶“(x)的曲线。2. 2.2实验二实验题目：newton插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过n的newton插值多项式为:rt(x) = /(x0) + /x0,x1(x-x0) + yx0,x1,x2(x-

7、x0)(x-x1) + -+ /1兀0，兀1，£(兀一兀0)(兀一兀1)(兀一兀“-1)数据结构：两个一维数组或一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例：已知函数y=f（x）的一张表（同上一个试验）试验要求：利用newton插值多项式n” （兀）求被插值函数f（x）在点x=65处的近似值。建议:irlljncwton插值多项式nn （x）的|11|线。2. 2.3实验三实验题目：hcnni tc插值多项式相关知识：通过n+1个节点的次数不超过2n+l的hormitc插值多项式为:h2卄 =工儿勺(x) + mjf3i (x)；=o其中，hermite插值基函数a)(x)

8、= 1 - 2(x 一 xj )1 j (勺)(x)0/ (x) = (x-x)；(兀)(x-x。) (x-x：i) (x-x打)打1k=0 x i k$j数据结构：三个一维数组或一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例：已知函数y=f（x）的一张表（其中m = /'（%）：x0. 100. 200. 300. 400. 50y0.9048370.8187310. 7408180. 6703200.606531m-0.904837-0.818731-0.740818-0.670320-0.606531x0. 600. 700. 800. 901.00y0. 5488120.

9、4965850. 4493290. 4065700. 367879m-0.548812-0.496585-0. 449329-0.406570-0.367879实验用例：jwhermite插值多项式比曲求被插值函数f(x)在点x=0.55处的近似值。建议：画出hermite插值多项式w2/t+l (x)的曲线。2. 2. 4实验四实验题目：111!线拟仑的最小二乘法相关知识：已知ca, b中函数f (x)的一组实验数据(x“ y：)(1=0, 1,),其中yk(x)。 设(pj (x)( j = 0,1, , 71； /? < 777)是 ca, b上 线性 无关函 数族。 在 0 =

10、¥期0(),0(兀),，久0)中找函数f(x)曲线拟合的最小二乘解禺，其法方程(组)为:7=0工（洙 ,禺）勺=dk （k =0,1,«）加其中，（禺，久）=工 ®g（pj g（pk a）r=0m（/,%） = s）/a）洙 a）三 dkk=o,l,n?=0特别是，求函数f（x） 111线拟合的线性最小二乘解sx = ax + b的计算公式为:（£ x；）（£ x） -（£ xf）（£ xj x）b i=0心0匸0匸0（加+ i）£f-/=0 /=0曲mm伽+ 1）工i -（工兀）（工x）c _/ = 0/ = 0

11、/=0a _匸（加+1）£彳-（£忑）2i=0i=0数据结构：两个一维数组或一个二维数组算法设计：(略)编写代码：(略)实验用例：已知函数y二f(x)的一张表：x0102030405060708090y6867. 166. 465.664.661.861.060.860.460试验要求：利用曲线拟合的线性最小二乘法求被逼近函数f(x)在点x=55处的近似值，并 曲出实验数据和直线。2. 2. 5实验五实验题目：复化求积公式b cl相关知识：将积分区间a, bn等分，节点xk=a+kh, k=0, 1, , n,步长力=。复化n梯形公式为：hn-l人二亍/(d)+ 2工/a

12、+ 肋)+/(b)2k=再将每个小区间二等分，即整个积分区间a,b2n等分，此时复化梯形公式为“。复化梯形公式的递推关系为乙专+施)u. . tt , a(2/-1)a. b-a具中，h,严迄f(a+'丿),h =oz=i2n数据结构：(略)算法设计：复化梯形公式的算法如卞第一步:n=1, h=b-a；h第二步：tn=-f(a) + f(b)；第三步：计算hj第四步：计算卩2“；第五步:n=2n, h=h/2；第六步：若t.-t%(事先给定的误差精度)，则转第三步；第七步：输出tn和等分数n/2,结束算法。编写代码：（略）实验用例：/ = t ex cos xdx试验要求：利用复化梯形

13、求积公式求/ = f vcosxjx的近似值（积分的粕确值i=-12. 0703463164, 7t = 3.14159265358979323846.),误差精度£ = 10"。2. 2. 6实验六实验题目：romberg求积公式相关知识：用两个相邻的近似公式（其中后一个公式是由前一个公式的分半得到的）的线性组合而得到更好的近似公式的方法，就是近代电子计算机上常用的romberg求积方法，也叫逐次分半加速（收敛）法。设以加）表示二分k次后求得的梯形值，且以罗t）表示序列/）的j次加速值。romberg求积公式的t表如.卜kh7伙）11t）t/1 0b-ar0<0)

14、1b-a2t（o） 上1 2b-a4a/(i)11吋0） 3b-a8at 上1tf為(0) 4b-a16y(4)1 0y11t2(2)tv町0) romberg求积公式（逐次分半加速公式）女ii卜2k硏=*矿"+穿+-1）#）心1，24）丁伙-j+1）_丁伙一门t严二,j",2,k数据结构：一个二维数组算法设计：romberg求积公式的算法如卜h第一步:取k=0, h=b-a,求70) =-/(a)+ /(/?)2第二步：令1-k (k记区间a,b的二分次数)求梯形值丁()，按梯形的递推公式； 求加速值，按公式逐个求出t表的笫k行其余各元素町s)(j=l,2,k)； 若怦&

15、#176;)-础卜£ (预先给定的误差精度)，k+17,则转(1)；第三步：输出7；和等分数2* (或二分次数k),结束算法。编写代码：(略)实验用例:2试验耍求：利用romberg求积公式求上述定积分(z =-« 0.636619772 ),误差和度71£ = 10"6 o2. 2. 7实验七实验题m数值微分相关知识：数值微分的中点公式为f (%) u g(h)=2h应用理查森(richardson)外推对h逐次分半，计算过程如下农(g()(ho二g(h)g°(/i) 喝)g(h) 时)囲)gm) g*)g哙)g2(f)gw) 计算公式为数据

16、结构：一个二维数组算法设计：（略）编写代码：（略）实验用例：/（x） =试验要求：利用数值微分的外推算法求.厂（1）的近似值2. 2. 8实验八实验题r :用gauss消元法求解线性代数方程组相关知识：在做除法运算吋，分母的绝对值越小，舍入误差就越大。因此，消元的每一 步都先选取绝对值比较大的元素（称作主元），用它作分母再消元。这就是主元素消去法的 基木思想。数据结构：用一个二维数组存储线性代数方程组的增广炬阵；线性代数方程组的解最后 存储在增广矩阵的最后一列上。算法设计：用列主元gauss消元法求解线性代数方程组（同时求出系数行列式的值dot） 的算法为第一步：dett;第二步：对于k二1,

17、2,，nt按列选取主元,找匚w+1,使 = maxlaikk<i<n如果& = 0 （最好是r < £ , £为预先给定的一个非常小的数），则det=o, 计算停止如果l >k （或l ）,则换行 o+1,，斤+1det - det(4)消元计算,对于i=k+l, k+2, : n v亠% 对于j=k+l, k+2,，n+1aij aij aik x akj（5） det < detx akk第三步:如果仇“ =0（最好是£为预先给定的一个非常小的数），则det=0,计算停止，否则，回代求解（1）snn对于i=n-l, n-2

18、,，1 对于j=i+l, i+2,，n%+i一切 xd”+第四步:det < detx ann编写代码：（略）实验川例：线性代数方程组为10-701 _ 8-32.09999962兀25.9000015-15-152102_1试验要求：利用列主元的gauss消元法求解上述线性代数方程组（精确解为（o -1 11）丁），并同吋求出系数行列式的值2. 2. 9实验九实验题目：肓接三角分解法相关知识：有矩阵a的三角lu分解，则求解线性代数方程组ax二b的问题就等价于求解两 个三角方程组ly二b和ux二y。而利用矩阵相等则对应元素相等的事实，可逐一求出系数矩阵a 的三角分解屮l和u的各元素。a2

19、 %12a22 an2«】u2%u22u2n 1 11“nn分解过程的计算公式如kr-uri =ciri - 工-mi，i =厂,厂+ 1,；厂= 1,2,hk=lir = （a” 一工/汕好）=r,r + l,-,n;r = 1,2,，/? 一1 k=/数据结构：一个一维数组先后存储b、y和x； 个二维数组先存储儿后被l和u覆盖（二者中的零元素不用存，i的对角元1亦不川存）算法设计：利用肓接三介分解法求解线性代数方程组的算法第一步:分解 对于r=l, 2, , n-1求l的r歹i对于i=t+l, r+2, , nairk=/求u的r+1行 1r+1 对于i=l, 1+1,，n/-iaii j aii -伙 k=第二步：求解ly二b （解存储在b中）对