matlab函数的极值与优化学习教案

1、会计学1matlab函数函数(hnsh)的极值与优化的极值与优化第一页，共31页。上机目的上机目的(md)上机内容上机内容(nirng)MATLAB2、会使用、会使用(shyng)Matlab解决无约束最优化问题解决无约束最优化问题.上机软件上机软件1、会使用、会使用Matlab求函数的极值；求函数的极值；1、 Matlab中函数的输入与调用；中函数的输入与调用；2、函数极值的求法；、函数极值的求法；3、无约束最优化问题、无约束最优化问题. 第1页/共30页第二页，共31页。在在Matlab中，函数是采用中，函数是采用M文件文件(wnjin)的方式存储的。的方式存储的。具体步骤如下：具体步骤如

2、下： 1、新建一个、新建一个M文件文件(wnjin)：通过点击主窗口左上的新建按钮：通过点击主窗口左上的新建按钮。 2、输入函数内容：、输入函数内容： 例：函数例：函数 f(x1,x2)=exp(X12+X2) 应在应在M文件文件(wnjin)中输入如下：中输入如下：第一节第一节 Matlab中函数的输入中函数的输入(shr)与调用与调用第2页/共30页第三页，共31页。注意：注意：（1）、函数）、函数(hnsh)标识关键字：标识关键字：function（2）、函数）、函数(hnsh)名：名：f1=f1 自变量自变量: (x1,x2) （3）、函数表达式：）、函数表达式：a=exp(x12+x

3、2) 函数表达式可以由多个式子组成函数表达式可以由多个式子组成(z chn)。（4）、给函数结果赋值：）、给函数结果赋值：f1=a 第3页/共30页第四页，共31页。3、存储函数：点击编辑窗口的保存按钮。、存储函数：点击编辑窗口的保存按钮。 注意注意:不要改变保存路径，文件名称必须和函数名称一致。不要改变保存路径，文件名称必须和函数名称一致。4、函数的调用、函数的调用(dioyng)： 函数保存后，在命令窗口中即可调用函数保存后，在命令窗口中即可调用(dioyng)该函数。该函数。 如求上述函数在如求上述函数在x1=1,x2=2处的函数值，即可在命令窗口中输入处的函数值，即可在命令窗口中输入：

4、f1(1,2) 其中其中 f1 为刚才所输入的函数名。为刚才所输入的函数名。第4页/共30页第五页，共31页。例：函数例：函数(hnsh)f(x)=exp(x(1)2+x(2).其中其中x=(x(1),x(2),即即x为一个二维向量。为一个二维向量。此时的输入与调用方式与数量时不同。此时的输入与调用方式与数量时不同。1、输入、输入(shr)：第5页/共30页第六页，共31页。2、调用：、调用： 此时自变量为向量，调用格式为：此时自变量为向量，调用格式为：f2(1,2) 或或 x=1 2; f2(x) 即，自变量需采用即，自变量需采用(ciyng)向量形式向量形式输入。输入。3、实际、实际(sh

5、j)运行结果如下：运行结果如下： f2(1,2)ans = 20.0855 x=1,2; f2(x)ans = 20.0855第6页/共30页第七页，共31页。Matlab中，求一元函数极值的函数为中，求一元函数极值的函数为 fminbnd 1、此函数最简输入格式为：、此函数最简输入格式为：x=fminbnd(f,a,b)含义为：求函数含义为：求函数f在区间在区间a,b上的最小值点上的最小值点(自变量值自变量值).2、对于最大值问题，需转化、对于最大值问题，需转化(zhunhu)为最小值问题来处为最小值问题来处理。理。 ( -f(x)在区间在区间a,b上的最小值就是上的最小值就是f(x)在在a

6、,b的最大值的最大值） 一、一元函数极值一、一元函数极值(j zh)的求法的求法第7页/共30页第八页，共31页。3、常用、常用(chn yn)格式格式x,fval=fminbnd(f,a,b). 结果中，结果中，fval为最小值，为最小值，x为取到最小值的点。为取到最小值的点。例：例：Matlab命令：命令：x,fval=fminbnd(x.2+3*x+1,-2,3)含义是：求函数含义是：求函数f(x)=x2+3*x+1在在-2,3内的最小值。内的最小值。结果为结果为x = -1.5000 fval = -1.2500注：此时函数很简单，故没有使用注：此时函数很简单，故没有使用M文件。文件。

7、第8页/共30页第九页，共31页。 注意：注意： （1）、在使用这两个函数时，必须首先）、在使用这两个函数时，必须首先(shuxin)用用M文件的形式存储待求最值的函数，并且需以向量函数的文件的形式存储待求最值的函数，并且需以向量函数的形式表达；形式表达； （ 2）、最大值问题需转化为最小值问题。）、最大值问题需转化为最小值问题。二、多元函数二、多元函数(hnsh)极值的求法极值的求法第9页/共30页第十页，共31页。（1）、此函数使用单纯型法搜索最值；）、此函数使用单纯型法搜索最值；（2）、使用格式：）、使用格式： x,fval= fminsearch(f,x0) 其中其中f为待求最值的向量

8、函数，为待求最值的向量函数，x0为搜索过程开始时为搜索过程开始时自变量的初始值。自变量的初始值。例：例：fminsearch(f,1,2) 含义含义(hny)为：在为：在x=1,2附近附近搜寻函数搜寻函数f的最小值。的最小值。 第10页/共30页第十一页，共31页。第11页/共30页第十二页，共31页。（1）、此函数与）、此函数与fminsearch不同的地方在于使用的搜索方法不同的地方在于使用的搜索方法不同，它使用牛顿法搜索最值，在效率上有所提高；不同，它使用牛顿法搜索最值，在效率上有所提高；（2）、使用格式与）、使用格式与fminsearch类似：类似： x,fval= fminunc(f

9、,x0) 其中其中f为待求最值的向量为待求最值的向量(xingling)函数，函数，x0为搜索过程为搜索过程开始时自变量的初始值。开始时自变量的初始值。例：例：fminunc(f,1,2) 含义为：在含义为：在x=1,2附近搜寻函数附近搜寻函数f的最的最小值。小值。 第12页/共30页第十三页，共31页。 第三节第三节 无约束最优化问题无约束最优化问题(wnt)(wnt)求解无约束最优化问题求解无约束最优化问题(wnt)的的基本思想的的基本思想* Matlab优化工具箱简介优化工具箱简介(jin ji)第13页/共30页第十四页，共31页。标准标准(biozhn)(biozhn)形形式：式：一

10、、求解无约束最优化问题的基本一、求解无约束最优化问题的基本(jbn)思思想想求解的基本思想求解的基本思想(sxing) ( 以二元函数为例以二元函数为例 )531连续可微第14页/共30页第十五页，共31页。第15页/共30页第十六页，共31页。多局部(jb)极小298.0f 唯一(wi y)极小(全局极小)第16页/共30页第十七页，共31页。搜索搜索(su su)过程过程最优点(yudin) (1 1)初始点 (-1 1)1x2x-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.

11、200.800.630.050.950.900.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.99970.99981E-8第17页/共30页第十八页，共31页。二、用二、用Matlab解无约束优化问题解无约束优化问题(wnt)（举例说明（举例说明） 其中（3）、（4）、（5）的等式(dngsh)右边可选用（1）或（2）的等式(dngsh)右边。 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解。常用格式常用格式(g shi)如下：如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,

12、x1,x2 ，options)（3）x，fval= fminbnd（.）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（.）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）第18页/共30页第十九页，共31页。 解解 在在matlab命令窗口命令窗口(chungku)中输入：中输入： f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作图语句作图语句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)第19页/共30页第二十页，共31页

13、。例例2 对边长为对边长为3米的正方形铁板米的正方形铁板(ti bn)，在四个角剪去相等的正方形，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解解先编写先编写M文件文件(wnjin)fun0.m如下如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序为：主程序为： x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval运算结果运算结果(ji gu)为为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长即剪掉的正方形的边长为为0

14、.5米时水槽的容积最大米时水槽的容积最大,最大容积为最大容积为2立方米立方米.第20页/共30页第二十一页，共31页。 命令命令(mng lng)格式为格式为:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；）； 或或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）x，fval= fminunc（.）；）； 或或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag= fminse

15、arch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2、多元函数、多元函数(hnsh)无约束优化问题无约束优化问题标准型为：标准型为：min F(X)第21页/共30页第二十二页，共31页。3 fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数中参数(cnsh)LineSearchType控制：控制： LineSearchType=quadcubic(缺省值缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；，混合的

16、二次和三次多项式插值； LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插，三次多项式插使用使用(shyng)fminunc和和 fminsearch可能会得到局部最优解可能会得到局部最优解.说明说明(shumng):fminsearch是用单纯形法寻优是用单纯形法寻优. fminunc的算法见以下几点说明：的算法见以下几点说明：1 fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中中 的参数的参数LargeScale控制：控制：LargeScale=on(默认值默认值),使用大型算法使用大型算法LargeScal

17、e=off(默认值默认值),使用中型算法使用中型算法2 fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法，由种算法，由 options中的参数中的参数HessUpdate控制：控制：HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；公式；HessUpdate=dfp，拟牛顿法的，拟牛顿法的DFP公式；公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法，最速下降法第22页/共30页第二十三页，共31页。例例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1、编写、编写M-文件文件

18、(wnjin) fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、输入命令窗口中输入、输入命令窗口中输入: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x) 3、运行、运行(ynxng)结果结果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10第23页/共30页第二十四页，共31页。例例4 产销量的最佳安排产销量的最佳安排 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡

19、的情况下如何下如何(rh)确定各自的产量，使总利润最大确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量厂的产量等于市场上的销量.第24页/共30页第二十五页，共31页。2、基本、基本(jbn)假设假设（1）价格）价格(jig)与销量成线性关系与销量成线性关系（2）成本）成本(chngbn)与产量成负指数关系与产量成负指数关系第25页/共30页第二十六页，共31页。 3、模型、模型(mxng)建立建立 若根据大量若根据大量(dling)的统计数据的统计数据,求出系数求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,

20、r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,则则问题转化为无约束优化问题：求甲问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量乙两个牌号的产量x1，x2，使，使总利润总利润z最大最大. 为简化模型为简化模型,先忽略成本先忽略成本,并令并令a12=0,a21=0,问题问题(wnt)转化为求转化为求: z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的极值的极值. 显然其解为显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题我们把它作为原问题(wnt)的初始值的初始值.总

21、利润为：总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2第26页/共30页第二十七页，共31页。 4、模型、模型(mxng)求解求解 （1）. 建立建立(jinl)M-文件文件fun.m: function f = fun(x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2; （2）. 输入输入(shr)命令命令: x0=50,70; x=fminunc(fun,x0), z=fun(x) （3）. 计算结果计算结果: x=23.9025 62.4977 z=-6.4135e+003 即甲的产量为即甲的产量为23.9025,乙的产量为乙的产量为62.4977,最大利润为最大利润为6413.5.第27页/共30页第二十八页，共31页。1、求函数、求函数 在区间在区间-10,10内的最值？内的最值？2、求函数、求函数 在区间在区间-1,3内的最值？内的最值？3、某工厂要制作一个容积为、某工厂要制作一个容积为100立方米的无盖长方体容器立方米的无盖长方体容器(rngq)，问：怎样制作材料最省？，问：怎样制作材料最省？4、要制作一表面积为、要制作一表