Lanczos方法学习教案

1、会计学1Lanczos方法方法(fngf)第一页，共22页。一第1页/共21页第二页，共22页。 数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具(gngj)。 工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析。 第2页/共21页第三页，共22页。结构无阻尼自由振动结构无阻尼自由振动(zhndng)(zhndng)方程方程. 0M yK y将简谐运动将简谐运动(jin xi yn (jin xi yn dndn) ) sin()yt代入上式可得代入上式可得 MK 0)(2MK或写成或写成（1）（2）（3）（4）其

2、中，其中， = = ； K K，M M分别分别(fnbi)(fnbi)为结构的刚度矩阵和质量为结构的刚度矩阵和质量矩阵。矩阵。 第3页/共21页第四页，共22页。（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数(shsh)，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数(shsh)。 第4页/共21页第五页，共22页。（2） 特征向量(xingling)（或模态向量(xingling)）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即： )( 0)( TjijimiijiM )( 0)( TjijikiijiK在式在式 中将中将(zhngjing)(zh

3、ngjing)特征向量归一化，即：特征向量归一化，即： MK（5）（6）第5页/共21页第六页，共22页。上式称为上式称为(chn(chn wi) wi)归一化特征向量。归一化特征向量。 )( 0)( 1TjijijiM )( 0)( TjijiijiK1iiiim则式（则式（5），（），（6）有）有（7）（8）（9）第6页/共21页第七页，共22页。Lanczos法法 Lanczos Lanczos方法利用三项递推关系产生一组正交规范的方法利用三项递推关系产生一组正交规范的特征向量，同时将原矩阵约化成三对角阵，将问题转化为特征向量，同时将原矩阵约化成三对角阵，将问题转化为三对角阵的特征问题的

4、求解。以三对角阵的特征问题的求解。以2020世纪匈牙利数学家世纪匈牙利数学家Cornelius LanczosCornelius Lanczos命名命名(mng mng)(mng mng)。 Lanczos Lanczos方法实际上是方法实际上是ArnoldiArnoldi算法对于对称矩阵的特算法对于对称矩阵的特殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解的殊形式，可应用于对称矩阵线性方程组求解的KrylovKrylov子空子空间方法以及对称矩阵的特征值问题。间方法以及对称矩阵的特征值问题。第7页/共21页第八页，共22页。 Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题(wnt)的最有效方法

5、，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。 Lanczos Lanczos方法用于标准方法用于标准(biozhn)(biozhn)特征值问题称为标准特征值问题称为标准(biozhn)Lanczos(biozhn)Lanczos法，用于广义特征值问题称为广义法，用于广义特征值问题称为广义LanczosLanczos法。法。 第8页/共21页第九页，共22页。第9页/共21页第十页，共22页。第10页/共21页第十一页，共22页。第11页/共21页第十二页，共22页。第12页/共21页第十三页，共22页。第13页/共21页第十四页，共22页。矩阵A 的低阶特征值, 这样大规模矩阵A 的特征值问题就转

6、化为中小规模对称三对角矩阵T 的特征值问题。第14页/共21页第十五页，共22页。 （1）标准）标准(biozhn)Lanczos法法 设标准设标准(biozhn)(biozhn)特征值问题特征值问题 Kxx其中：其中：K为为nn阶矩阵。阶矩阵。 首先首先(shuxin),给出给出K一对称或广义对称矩阵的一对称或广义对称矩阵的定义定义: 设矩阵设矩阵K 对称正定对称正定, 则则 成为一个成为一个内积内积, 如如果对任何果对任何u , ,矩阵矩阵A满足满足（10）( , )TKKx yxynVk则称则称A A是是K K 一对称或广义对称矩阵一对称或广义对称矩阵, , 类似的还有类似的还有K K

7、一范数一范数 。读者不难验证。读者不难验证, , 矩阵矩阵 都是都是M M一对称矩阵。一对称矩阵。(,)( ,)KKAu Vu AV11MKKMM和（）( , )BBxx x第15页/共21页第十六页，共22页。111/)(kkkkkkkKUUUU其中其中(qzhng)(qzhng)，01kTkkK UU211kkkkkkKUUU（11）（12）（13）（14）任何初始向量任何初始向量U， 设向量设向量U = 0 , 用三项递用三项递推公式推公式(gngsh)进行迭代进行迭代:1KU0第16页/共21页第十七页，共22页。这里这里(zhl)，k = 1, 2, , m -1n； 2为为2范数。

8、于是得范数。于是得1222333411.mmmmmmT求解求解(qi ji)(qi ji)此矩阵的特征值，就是此矩阵的特征值，就是K K的的m m个最高阶特征值。个最高阶特征值。（15）第17页/共21页第十八页，共22页。 （2）广义）广义(gungy)逆逆Lanczos法法 广义逆Lanczos法的运算过程，基本上与标准方法相同(xin tn)。设广义特征值问题xxMK其中其中K为为nn阶实对称阶实对称(duchn)正定阵，正定阵，M为对称为对称(duchn)阵。阵。选取适当的选取适当的初始向量U1，且，且U1TMU1=1，计算，计算令令1=1，作，作TkkkUM UkkkkUUw1kTk

9、kM ww（1）（2）（3）（16）（17）（18）（19）第18页/共21页第十九页，共22页。11/kkkwU1111kkkkUK MUU这里，这里，k = 1, 2, , m。当。当km时，作完第（时，作完第（1）步，即求出）步，即求出m就停止迭代就停止迭代，于是得到，于是得到(d do)全部的全部的k和和k就构成式（就构成式（6-68）的）的m阶三对角矩阵阶三对角矩阵Tm。1mmmXXT式（式（61）的全部）的全部(qunb)特征值特征值i(k = 1, 2, , m )就是广义特征值式（就是广义特征值式（68）的最小特征值组的近似值。当）的最小特征值组的近似值。当mn时，就是截断广义逆时，就是截断广义逆Lanczos法。法。（4）（5）求解求解(qi ji)(qi ji)此矩阵对应的标准特征值问题：此矩阵对应的标准特征值问题：（21）（22）（20）第19页/共21页第二十页，共22页。第20页/共21页第二十一页，共22页。NoImage内容(nirng)总结会计学。第1页/共21页。第2页/共21页。K，M分别为结构的刚度(n d)矩阵和质量矩阵。Lanczos方法目前被认为是求解大型