lingo多目标规划模型学习教案

1、会计学1lingo多目标规划多目标规划(guhu)模型模型第一页，共93页。l多目标决策多目标决策(juc)(juc)的基本概念的基本概念l多目标决策多目标决策(juc)(juc)的数学模型及其非劣解的数学模型及其非劣解l多目标决策多目标决策(juc)(juc)建模的应用实例建模的应用实例 第1页/共92页第二页，共93页。 用LINGO软件求解(qi ji)目标规划问题第2页/共92页第三页，共93页。第3页/共92页第四页，共93页。3 , 2 , 1, 0,710401510. .min2133222211121332211jddxxddxddxxddxxtsdPdPdPzjj第4页/共

2、92页第五页，共93页。0,401510. .min112111211ddxxddxxtsdz第5页/共92页第六页，共93页。图1 第6页/共92页第七页，共93页。1x2x1d1d第7页/共92页第八页，共93页。图2 第8页/共92页第九页，共93页。图3 第9页/共92页第十页，共93页。1d2 , 1, 0,010401510. .min211222111212jddxxdddxxddxxtsdzjj11dd62d用LINGO求解(qi ji)，得最优解 0 ， ，最优值为6。具体LINGO程序及输出信息如下：LINGO程序为（参见图4）： 第10页/共92页第十一页，共93页。第1

3、1页/共92页第十二页，共93页。图4第12页/共92页第十三页，共93页。图5 第13页/共92页第十四页，共93页。1d62d3 , 2 , 1, 0,6, 0710401510. .min2121332222111213jddxxddddxddxxddxxtsdzjj, 0, 421xx011dd7, 632dd第14页/共92页第十五页，共93页。第15页/共92页第十六页，共93页。图6 第16页/共92页第十七页，共93页。图7 第17页/共92页第十八页，共93页。, 0, 421xx11dd7, 632dd第18页/共92页第十九页，共93页。第19页/共92页第二十页，共93

4、页。第20页/共92页第二十一页，共93页。第21页/共92页第二十二页，共93页。第22页/共92页第二十三页，共93页。第23页/共92页第二十四页，共93页。第24页/共92页第二十五页，共93页。好信息。多目标决策问题不存在所谓的“最优”解，只存在满意解。满意解指决策者对于有关的所有目标值都认为满意。第25页/共92页第二十六页，共93页。第26页/共92页第二十七页，共93页。x( )F x( )F x第27页/共92页第二十八页，共93页。方案方案目标函数目标函数方案的性质方案的性质F1(x)F1(x)F2(x)F2(x)X1X110102121非劣非劣X2X214141818非劣

5、非劣X3X312121616劣劣X4X48 82020劣劣第28页/共92页第二十九页，共93页。23, 12, 13, 24xxxxxxxx1122( 1)( 4)108( 1)2120( 4)F xF xF xF x14xx第29页/共92页第三十页，共93页。 在图1中，max(f1, f2) .就方案和来说，的 f2 目标值比大，但其目标值 f1 比小，因此无法(wf)确定这两个方案的优与劣。 在各个方案之间，显然：比好，比好, 比好, 比好。 非劣性可以非劣性可以(ky)(ky)用下图说明用下图说明。图图 多目标多目标(mbio)规划的劣解与非劣解规划的劣解与非劣解第30页/共92页

6、第三十一页，共93页。第31页/共92页第三十二页，共93页。 一、多目标一、多目标(mbio)(mbio)决策的数学模型决策的数学模型（一）任何多目标(mbio)决策问题，都由两个基本部分组成： （1）两个以上的目标(mbio)函数； （2）若干个约束条件。 （二）对于多目标决策问题，可以(ky)将其数学模型一般地描写为如下形式： )(max(min)(max(min)(max(min)(XfXfXfXFZk21 mmgggGXXXX2121)()()()( s.t. 式中： 为决策变量向量。 TnxxxX,21 第32页/共92页第三十三页，共93页。)(max(min)XFZ GXts

7、)(.缩写(suxi)形式：有n个决策变量(binling)，k个目标函数，m个约束方程，则： Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量； 第33页/共92页第三十四页，共93页。第34页/共92页第三十五页，共93页。如上例的各个(gg)方案之间，比好，比好, 比好, 比好。 图图 多目标多目标(mbio)规划的劣解与非规划的劣解与非劣解劣解第35页/共92页第三十六页，共93页。 而对于方案、之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为 多 目 标 规 划 问 题(wnt)的非劣解或有效解，其余方案都称为劣解。所有非劣解构成的集合称为

8、非劣解集。 当目标函数处于(chy)冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解。第36页/共92页第三十七页，共93页。 为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理(chl)。实现这种转化，有如下几种建模方法。第37页/共92页第三十八页，共93页。)(maxXZ GXts )(.是与各目标函数(hnsh)相关的效用函数(hnsh)的和函数(hnsh)。 方法一方法一 效用效用(xioyng)最优化模型（线性加权法）最优化模型（线性加权法） 思想：规划问题的各个目标函数可以(ky)通过一定的方式进行求和运算。

9、这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题： 但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。第38页/共92页第三十九页，共93页。在用效用函数(hnsh)作为规划目标时，需要确定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数(hnsh)在总体目标中的权重，即： kiii1max ), 2 , 1(),(21migxxxini kii11 T maxGXts )(.式中， i 应满足(mnz)：向量(xingling)形式：第39页/共92页第四十页，共93页。i 21)(min kiiiiffZ ), 2 ,

10、1(),(21migxxxini 或写成矩阵(j zhn)形式： )()(min FFAFFZTGX )(式中， 是与第i个目标函数相关的权重；A是由 (i=1,2,k )组成的mm对角矩阵。i 第40页/共92页第四十一页，共93页。理论依据 ：若规划问题(wnt)的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。假如，除第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题(wnt)就可以转化为单目标规划问题(wnt)： 方法三方法三 约束模型（极大约束模型（极大(j d)(j d)极小法）极小法） ),(max(min)2

11、11nxxxfZ ), 2 , 1(),(21migxxxini ), 3 , 2(maxminkjfffjjj 第41页/共92页第四十二页，共93页。方法四方法四 目标目标(mbio)(mbio)规划模型（目标规划模型（目标(mbio)(mbio)规划法）规划法） 需要(xyo)预先确定各个目标的期望值 fi* ，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级( LK)，目标规划模型的数学形式为： LlKkklkklklddpZ11)(min ),(),(migxxxini2121 ),(Kifddfiiii21 式中： di+ 和 di分别表示与 fi 相应(xin

12、gyng)的、与fi* 相比的目标超过值和不足值，即正、负偏差变量； pl表示第l个优先级； lk+、lk-表示在同一优先级 pl 中，不同目标的正、负偏差变量的权系数。 第42页/共92页第四十三页，共93页。第43页/共92页第四十四页，共93页。 KkLllkllklkddpZ11)(min njllljljLlgddxc1)(), 2 , 1( njijijmibxa1), 2 , 1(),(),2,1(0njxj ), 2 , 1(0,Llddll 2.2.目标规划目标规划(guhu)(guhu)模型的一般形式模型的一般形式 目标(mbio)函数目标约束绝对约束非负约束第44页/共9

13、2页第四十五页，共93页。在以上各式中，kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负偏差变量的权系数，gk为第 k个目标的预期(yq)值，xj为决策变量，dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量。目标目标(mbio)函数函数目标目标(mbio)约束约束绝对约束绝对约束非负约束非负约束 KkLllkllklkddpZ11)(min njllljljLlgddxc1)(), 2 , 1( njijijmibxa1), 2 , 1(),(),2,1(0njxj ), 2 , 1(0,Llddll 第45页/共92页第四十六页，共93页。目标规划数学模型中的有关目标规

14、划数学模型中的有关(yugun)(yugun)概念。概念。 (1) 偏差变量偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、在目标规划模型中，除了决策变量外，还需要引入正、负偏差变量负偏差变量 d +、d - 。其中，正偏差变量表示决策值超过。其中，正偏差变量表示决策值超过(chogu)目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。值的部分。 因为决策值不可能既超过因为决策值不可能既超过(chogu)目标值同时又未达到目标值同时又未达到目标值，故有目标值，故有d +d - =0成立。成立。 (2) 绝对约束和目标约束绝对约束和目标约

15、束 绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规绝对约束，必须严格满足的等式约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行为非可行(kxng)解，所以它们是硬约束。解，所以它们是硬约束。 第46页/共92页第四十七页，共93页。第47页/共92页第四十八页，共93页。(3)优先因子（优先等级）与权系数优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑考虑,往往是有主次的。凡要求往往是有主次

16、的。凡要求(yoqi)第一位达到的目标赋予第一位达到的目标赋予优先因子优先因子 p1 ，次位的目标赋予优先因子，次位的目标赋予优先因子 p2 ，并规定，并规定plpl+1 (l=1,2,.)表示表示 pl 比比 pl+1 有更大的优先权。即有更大的优先权。即:首先保首先保证证 p1 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而p2级目标级目标是在实现是在实现p1 级目标的基础上考虑的；依此类推。级目标的基础上考虑的；依此类推。第48页/共92页第四十九页，共93页。(4)(4)目标函数目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负目标规划的

17、目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离可能缩小与目标值的偏离(pinl)(pinl)。因此，目标规划的目标函数只。因此，目标规划的目标函数只能是：能是：),(min ddfZa) 要求(yoqi)恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小,即 min()Zf ddb) 要求不超过(chogu)目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即)(min dfZ c) 要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即 )(min d

18、fZ基本形式有三种：对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标函数。第49页/共92页第五十页，共93页。（1）目标规划数学模型的形式有：线性模型、非线性模型、整数(zhngsh)模型、交互作用模型等；（2）一个目标中的两个偏差变量di-、di+至少一个等于零，偏差变量向量的叉积等于零：dd=0； （3）一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成）一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构成的函数求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级的函数求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级(dngj)，顺序求最小值；顺序求最小值； （4）按决策者的意

19、愿，事先给定所要达到的目标值。）按决策者的意愿，事先给定所要达到的目标值。当期望结果不超过目标值时，目标函数求正偏差变量最小；当期望结果不超过目标值时，目标函数求正偏差变量最小；当期望结果不低于目标值时，目标函数求负偏差变量最小；当期望结果不低于目标值时，目标函数求负偏差变量最小；当期望结果恰好当期望结果恰好(qiho)等于目标值时，目标函数求正负偏差变等于目标值时，目标函数求正负偏差变量之和最小。量之和最小。评注评注：第50页/共92页第五十一页，共93页。（5）由目标构成的约束称为目标约束，目标约束具有更大的弹性，允许结果与所制定的目标值存在(cnzi)正或负的偏差；如果决策者要求结果一定

20、不能有正或负的偏差，这种约束称为系统约束；（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者首先必须(bx)对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标，如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予(fy)不同的权系数，按系数大小再排序。第51页/共92页第五十二页，共93页。（8）多目标决策问题多目标决策研究的范围比较广泛，在决策中，可能同时要求多个目标达到最优例如，企业在对多个项目投资时期望收益率尽可能最大，投资风险(fngx

21、in)尽可能最小，属于多目标决策问题，本章的目标规划尽管包含有多个目标，但还是按单个目标求偏差变量的最小值，目标函数中不含有决策变量，目标规划只是多目标决策的一种特殊情形本章不讨论多目标规划的求解方法，只给出利用lingo软件求解线性多目标规划的简单程序。第52页/共92页第五十三页，共93页。引例引例1 生产计划问题 甲 乙 资源限额 材料 2 3 24 工时 3 2 26 单位利润 4 3 现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素，提出如下目标：（1）根据市场信息，甲产品的销量有下降的趋势，而乙产品的销量有上升的趋势，故考虑乙产品的产量应大于甲产品的产量。（2）尽可能充分利用工时，不希望加班

22、。（3）应尽可能达到(d do)并超过计划利润30元。现在的问题是：在原材料不能超计划使用的前提下，如何安排生产才能使上述目标依次实现？第53页/共92页第五十四页，共93页。解：（1）决策变量：设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2 偏差变量：对于每一目标，我们引进正、负偏差变量。 如对于目标1，设d1-表示乙产品的产量低于甲产品产量的数，d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1，可将它表示为等式约束的形式 -x1+x2+ d1- d1+ =0 (目标约束) 同样设d2-和d2+分别表示安排(npi)生产时，低于可利用工时和高于可利

23、用工时，即加班工时的偏差变量，则对目标2，有 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 对于目标3，设d3-和d3+分别表示安排(npi)生产时，低于计划利润30元和高于计划利润30元的偏差变量，有： 第54页/共92页第五十五页，共93页。 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 （2）约束条件：有资源(zyun)约束和目标约束 资源(zyun)约束：2x1+3x224 目标约束：为上述各目标中得出的约束 （3）目标函数：三个目标依次为： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2- ，minZ3=d3- 因而该问题的数学模型可表述如下： minZ1=d1- ，minZ2=d2+d2-，mi

24、nZ3=d3- 2x1+3x224 st -x1+x2+ d1- d1+ =0 3x1+2x2+ d2-d2+ =26 4x1+3x2+ d3-d3+ =30 第55页/共92页第五十六页，共93页。甲乙设备的生产能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515赢利（元/件）200300第56页/共92页第五十七页，共93页。甲乙设备的生产能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515赢利（元/件）200300第57页/共92页第五十八页，共93页。12,x x第58页/共92页第五十九页，共93页。112223334min()(33)zPdP d

25、dPddd1212111222133244122212,2003001500,20,416,515,0,1,2,3,4.iistxxxxddxxddxddxddx x ddi第59页/共92页第六十页，共93页。第60页/共92页第六十一页，共93页。第61页/共92页第六十二页，共93页。第62页/共92页第六十三页，共93页。1212,4,100 xxd*(2,4)x 第63页/共92页第六十四页，共93页。第64页/共92页第六十五页，共93页。122,4xx第65页/共92页第六十六页，共93页。第66页/共92页第六十七页，共93页。例考虑资源例考虑资源(zyun)消耗如表消耗如表1

26、所示。所示。x1、x2、x3分别为甲、乙分别为甲、乙、丙的产量。、丙的产量。使企业在计划期内总利润最大的线性规划使企业在计划期内总利润最大的线性规划(xin xn u hu)模型为：模型为： 产品产品 资源资源甲甲乙乙丙丙现有资源现有资源设备设备A312200设备设备B224200材料材料C451360材料材料D235300利润（元利润（元/件）件）403050表表1第67页/共92页第六十八页，共93页。321503040maxxxxZ0003005323605420042220023321321321321321xxxxxxxxxxxxxxx，最优解最优解X（50，30，10），），Z34

27、00第68页/共92页第六十九页，共93页。 现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制定经营目标，其目标的优先顺序是：（1）利润不少于3200元；（2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过；（3）提高产品丙的产量使之达到30件；（4）设备加工能力不足可以加班(ji bn)解决，能不加班(ji bn)最好不加班(ji bn)；（5）受到资金的限制，只能使用现有材料不能再购进。解：设甲、乙、丙产品的产量分别解：设甲、乙、丙产品的产量分别(fnbi)为为x1、x2、x3。如果按线性规划。如果按线性规划建模思路，最优解实质是求下列一组不等式的解建模思路，最优解实质是求下列一组不等式的解第69页

28、/共92页第七十页，共93页。00030053236054200422200233005 . 13200503040321321321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，通过计算不等式无解，即使设备加班通过计算不等式无解，即使设备加班10小时仍然无解在实际小时仍然无解在实际生产过程中生产方案总是存在的，无解只能说明在现有资源条生产过程中生产方案总是存在的，无解只能说明在现有资源条件下，不可能完全满足所有经营件下，不可能完全满足所有经营(jngyng)目标目标这种情形是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽可能使得结果达到预定目这种情形是按事先制定的目标顺序逐项检查，尽

29、可能使得结果达到预定目标，即使不能达到目标也使得离目标的差距最小，这就是目标规划标，即使不能达到目标也使得离目标的差距最小，这就是目标规划(guhu)的求解思路，对应的解称为满意解下面建立例的求解思路，对应的解称为满意解下面建立例1的目标规划的目标规划(guhu)数学数学模型模型 第70页/共92页第七十一页，共93页。设设d为未达到为未达到(d do)目标值的差值，称为负偏差变量，目标值的差值，称为负偏差变量，d +为超过目标值的为超过目标值的差值，称为正偏差变量，差值，称为正偏差变量， d0、d0(1)设设d1未达到未达到(d do)利润目标的差值利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差为

30、超过目标的差值值当利润小于当利润小于3200时时,d1且且d10,有有40 x1+30 x2+50 x3+d1=3200成立成立当利润大于当利润大于3200时，时，d1且且d1，有，有40 x1+30 x2+50 x3-d1+=3200成立成立当利润恰好当利润恰好(qiho)等于等于3200时，时，d1=且且d1+=0,有有40 x1+30 x2+50 x3=3200成立成立实际利润只有上述三种情形之一发生，因而可以将三个等式写成一个实际利润只有上述三种情形之一发生，因而可以将三个等式写成一个等式等式40 x1+30 x2+50 x3+d1d1+=3200第71页/共92页第七十二页，共93页

31、。3200503040min113211ddxxxd（2）设）设 分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量,则产量比例尽则产量比例尽 量不超过量不超过1.5的数学表达式为的数学表达式为：22dd 、05 . 1min22212ddxxd （3）设）设d3、d3分别为产品丙的产量未达到和超过分别为产品丙的产量未达到和超过30件的偏差件的偏差(pinch)变量，则产量丙的产量尽可能达到变量，则产量丙的产量尽可能达到30件的数学表达式为：件的数学表达式为： 30min3333ddxd利润不少于利润不少于3200理解为达到或超过理解为达到或超过3200，即使不能

32、达到也要尽可能，即使不能达到也要尽可能接近接近(jijn)3200,可以表达成目标函数可以表达成目标函数d1取最小值，则有取最小值，则有第72页/共92页第七十三页，共93页。（4） 设设d4 、d4+为设备为设备A的使用时间的使用时间(shjin)偏差变量偏差变量, d5、d5+为设备为设备B的使用时间的使用时间(shjin)偏差变量，最好不偏差变量，最好不加班的含义是加班的含义是 d4+ 和和d5+同时取最小值，等价同时取最小值，等价 于于d4+ + d5+取最小值，则设备的目标函数和约束为：取最小值，则设备的目标函数和约束为： 451234412355min()32200224200dd

33、xxxddxxxdd（5）材料不能购进表示不允许有正偏差，约束条件为小于等于）材料不能购进表示不允许有正偏差，约束条件为小于等于(dngy)约束约束由于目标是有序的并且四个目标函数由于目标是有序的并且四个目标函数(hnsh)非负，因此目标函数非负，因此目标函数(hnsh)可以表达成一个函数可以表达成一个函数(hnsh)：第73页/共92页第七十四页，共93页。)(min544332211ddPdPdPdPz式中：式中：Pj（j=1,2,3,4）称为目标的优先因子，第一目标优于第二目标，第二目）称为目标的优先因子，第一目标优于第二目标，第二目标优于第三目标等等，其含义是按标优于第三目标等等，其含

34、义是按P1、P2、的次序的次序(cx)分别求后面函数的分别求后面函数的最小值最小值.则问题的目标规划数学模型为：则问题的目标规划数学模型为：5, 2 , 1, 0,0, 0, 030053236054200422200233005 .(min3213213215532144321333222111321544332211jddxxxxxxxxxddxxxddxxxddxddxxddxxxddPdPdPdPzjj、且为整数第74页/共92页第七十五页，共93页。约束约束实际实际 偏差偏差目标目标1 1 C1C132203220= =320032002 2 C2C22 2

35、= =0 03 3 C3C33030= =30304 4 C4C4164164= =2002005 5 C5C5216216= =2002006 6 C6C6242242118118=3603607 7 C7C72662663434=3003001 1 X1X128282 2 X2X220203 3 X3X330304 4 d1-d1-0 05 5 d1+d1+20206 6 d2-d2-2 27 7 d2+d2+0 08 8 d3-d3-0 09 9 d3+d3+0 01010 d4-d4-36361111 d4+d4+0 01212 d5-d5-0 01313 d5+d5+1616满意满意

36、(mny)解：解：约束约束(yush)分析：分析：120d22d436d516d第75页/共92页第七十六页，共93页。例例2 车间计划生产车间计划生产I、II 两种产品，每种产品均需经过两种产品，每种产品均需经过A、B、 C三道三道(sn do)工序加工工艺资料如表工序加工工艺资料如表2所示所示 产品产品工序工序产品甲产品甲产品乙产品乙每天加工能力每天加工能力(小时小时)A22120B12100C2.20.890产品售价产品售价(元元/件件)5070产品利润产品利润(元元/件件)108（1）车间如何安排）车间如何安排(npi)生产计划，使产值和利润都尽可能高生产计划，使产值和利润都尽可能高;

37、（2）如果认为利润比产值重要，怎样决策。）如果认为利润比产值重要，怎样决策。表表2第76页/共92页第七十七页，共93页。解：设解：设x1、x2分别为产品甲和产品乙的日产量，得到线性多目标分别为产品甲和产品乙的日产量，得到线性多目标(mbio)规划模型：规划模型：0908 . 02 . 2100212022810max7050max21212121212211xxxxxxxxxxZxxZ、第77页/共92页第七十八页，共93页。（1）将模型化为目标规划问题首先，通过分别求产值最大和利润最）将模型化为目标规划问题首先，通过分别求产值最大和利润最大的线性规划大的线性规划(xin xn u hu)最

38、优解最优解产值最大的最优解：产值最大的最优解：X(1)（20，40），），Z13800利润最大的最优解：利润最大的最优解：X (2) （30，30），），Z2540目标确定为产值和利润尽可能达到目标确定为产值和利润尽可能达到3800和和540，得到目标规划数学模型，得到目标规划数学模型：2 , 1, 0908 . 02 . 210021202254081038007050min2121212221112121jddxxxxxxxddxxddxxddZjjj、第78页/共92页第七十九页，共93页。,等价于等价于213minddZ1221mindpdpZ（2）给）给 d2- 赋予一个比赋予一个比

39、d1-的系数大的权系数的系数大的权系数,如如 ，约束条件不变，约束条件不变.权系数的大小依据重要权系数的大小依据重要程度给定，或者根据同一优先级的偏差变量的关系给定，例如程度给定，或者根据同一优先级的偏差变量的关系给定，例如，当利润，当利润d2-减少一个单位时，产值减少一个单位时，产值d1-减少减少3个单位，则赋予个单位，则赋予d2-权系数权系数3，则目标函数为，则目标函数为 12min3Zdd第79页/共92页第八十页，共93页。例例3 3 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守以下规定：遵守以下规定：(1)(1)不超过年工资总额

40、不超过年工资总额6000060000；(2)(2)每级的人数不超过定编规定的人数；每级的人数不超过定编规定的人数；(3),(3),级的升级面尽可能达到现有人数的级的升级面尽可能达到现有人数的2020，且无越级提，且无越级提升；升；(4)(4)级不足编制的人数可录用新职工，又级不足编制的人数可录用新职工，又级的职工有级的职工有1010要退休。要退休。有关资料汇总下表有关资料汇总下表3 3，问如何，问如何(rh)(rh)拟定满意的方案？拟定满意的方案？第80页/共92页第八十一页，共93页。等级工资额（元/年）现有人数编制人数200010121500121510001515合计3742表表3第81

41、页/共92页第八十二页，共93页。解：解： 1 1）设定决策变量。假设）设定决策变量。假设x1x1，x2 x2 ， x3 x3分别表示提升到分别表示提升到、级和录用到级和录用到级的新职工人数。级的新职工人数。 2 2）确定所需考虑的各个目标的优先级及权系数。）确定所需考虑的各个目标的优先级及权系数。对各目标的优先因子确定为：对各目标的优先因子确定为： P1 P1：不超过年工资总额：不超过年工资总额6000060000元；元； P2: P2: 每级的人数不超过定编每级的人数不超过定编(dn(dn bin) bin)规定的人数；规定的人数； P3 P3：、级升级面尽可能达到现有人数的级升级面尽可能

42、达到现有人数的2020；3 3）将各个目标写入目标规划的约束条件。）将各个目标写入目标规划的约束条件。第82页/共92页第八十三页，共93页。年工资总额年工资总额(n z zn )不超过不超过60000元；元；11223112000 10 10 0.11500(12)1000 1560000 xxxxxdd每级的人数每级的人数(rn sh)不超过定编规定的人数不超过定编规定的人数(rn sh)1221233234410 1 0.11212151515xddxxddxxdd、级的升级面尽可能达到现有级的升级面尽可能达到现有(xin yu)人数的人数的20，但尽可能多提，但尽可能多提；155266

43、12 0.215 0.2xddxdd第83页/共92页第八十四页，共93页。4 4）确定各个）确定各个(gg)(gg)目标约束对于各自正负偏差量的的要目标约束对于各自正负偏差量的的要求。求。 P1 P1：不超过：不超过(chogu)(chogu)年工资总额年工资总额6000060000元元 d1+ d1+尽量小尽量小 P2: P2: 每级的人数不超过每级的人数不超过(chogu)(chogu)定编规定的人数定编规定的人数 d2+ d2+，d3+d3+，d4+ d4+ 尽量小尽量小 P3 P3：、级升级面尽可能达到现有人数的级升级面尽可能达到现有人数的2020 d5-, d6- d5-, d6-

44、 尽量小尽量小1 12234356minzPdP dddP dd第84页/共92页第八十五页，共93页。112234356min zPdP dddP dd11223112000 10 10 0.11500(12)1000 1560000 xxxxxdd1221233234410 1 0.11212151515xddxxddxxdd15526612 0.215 0.2xddxdd)61( 0 , 031jddxjj第85页/共92页第八十六页，共93页。例例4 企业计划生产企业计划生产(shngchn)I 、 II 两种产品，这些产品需要使用两种两种产品，这些产品需要使用两种材料，要在两种不同设

45、备上加工工艺资料如表材料，要在两种不同设备上加工工艺资料如表4所示所示产品产品 资源资源产品甲产品甲产品乙产品乙现有资源现有资源材料材料I3012(kg)材料材料II0414(kg)设备设备A2212(h)设备设备B5315(h)产品利润产品利润(元元/件件)2040表表4第86页/共92页第八十七页，共93页。解：设解：设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量分别为产品甲和产品乙的产量(chnling)，目标规划数学，目标规划数学模型为：模型为：企业怎样安排生产计划，尽可能满足企业怎样安排生产计划，尽可能满足(mnz)下列目标：下列目标：(1)力求使利润指标不低于力求使利润指标不低于80元；元；(2)考虑到市场需求考虑到市场需求,、II两种产品的生产量需保持两种产品的生产量需保持1:1的比例；的比例；(3)设备设备A既要求充分利用，又尽可能不加班；既要求充分利用，又尽可