matlab 在结构力学中的应用

1、Matlab在结构力学中的应用马晓光，于国清（白城师范学院机电系，白城师范学院土木系）摘要本文结合实例，介绍了Matlab在结构力学计算中的应用方法，展示了Matlab在结构有限元编程中的简捷性与高效性。本文介绍的方法，在结构有限元计算中具有普遍的适用性。关键词Matlab 有限元 编程APPLICATION OF MATLAB IN STRUCTURAL MECHANICSMa Xiaoguang，Yu Guoqing( Baicheng Normal College, Baicheng Jilin 137000, China )Abstract This paper introduces

2、a method of application of Matlab in structural FEM, taking a continuous beam as an example. The method indicates the neatness and high efficiency of Matlab in programming a structural FEM and can be applied to many kinds of structures.Keywords FEM; Matlab; programming; 引言Matlab既是强大的数学软件，又是一种简洁、高效的科

3、技编程语言，这一点在结构力学有限元计算中得到了充分的体现。Matlab最突出的特点就是处理矩阵的各种运算，而大量的矩阵运算正是结构有限元计算非常需要的。此外，利用Matlab的绘图功能，还可直接绘出结构的内力图。因此，Matlab对于结构力学计算是十分有利的工具。MATLAB编程实例单元编号节点i节点j12233410kN/m30kN3m3m2m2m图1 图1为三跨连续梁，设E=210Gpa, I=50×10-6m4。计算梁的内力，并画出梁的弯矩图。该结构可以用三弯矩方程求解，也可以用矩阵位移法求解。前者仅适用于连续梁结构，而后者除了适用于连续梁之外，还能适用于其他类型的结构，应用范

4、围很广，更具有普遍性。因此，以下根据矩阵位移法编写计算程序，以展示Matlab在结构力学中应用的一般方法。第一步，给整体各节点编号，如图1所示。各单元的编号及其连通性见表格。第二步，利用Matlab函数建立各单元的刚度阵。该函数为function y=BeamES(x)% x为梁的原始参数矩阵y = x(1)*x(2)/(x(3)*x(3)*x(3)*12 6*x(3) -12 6*x(3) ; 6*x(3) 4*x(3)*x(3) -6*x(3) 2*x(3)*x(3) ; -12 -6*x(3) 12 -6*x(3) ; 6*x(3) 2*x(3)*x(3) -6*x(3) 4*x(3)*

5、x(3);第三步，建立整体刚度阵。因为该结构有4个节点，每个节点有两个未知数（可考虑支座沉降），所以，整体刚度阵为8×8的方阵。首先利用下面的语句生成一个8×8的0矩阵：K=zeros(8),然后，反复调用下面的函数，便可由单元刚度阵生成整体刚度阵：function y = BeamAssemble(K,k,i,j)% 其中K为整体刚度阵，k为单元刚度阵， i，j为单元两端在整体节点上的编号。K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1);K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(1,2);K(2*i-1,2*j-1)

6、 = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3);K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1);K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3);K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,4);K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1);K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);K(2*j-1,2*j-1) = K

7、(2*j-1,2*j-1) + k(3,3);K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1);K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3);K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);y = K;第四步，计算等效节点载荷。按照结构力学的方法可以求得M1=0，M2=22.5, M3=-7.5。第五步，引入边界条件。该结构的已知条件为：U1=U2=U3=U4=0；4=0。M1=0, M

8、2=22.5, M3=-7.5。其中，U代表节点的横向位移，代表节点转角，M为连续梁的等效节点力偶。第六步，解方程。第七步，画弯矩图。画弯矩图需要用到下面的两个Matlab函数：function y=BM_P(Ma,Mb,x1,L,a,b,P)% 该函数绘出受集中力作用的梁单元的弯矩图。 Ma，Mb分别是单元两端的弯矩， x1是单元左端在整体中的坐标，% a,b是集中力到单元左、右端的距离， P是集中力大小。P向下为正。x0=x1+a;Mp=P*a*b/L;M0=-Ma+(Mb+Ma)*a/L+Mp;x=x1,x0,x1+L;M=-Ma,M0,Mb;hold on;title(' Be

9、nding Moment Diagram ');plot(x,-M,' b ');z=0,0,0;plot(x,z,' m ');function y=BeamM_q(M1,M2,x1,L,q)% 该函数绘制均布载荷作用下的梁单元的弯矩图。 M1，M2是单元两端的弯矩， x1是单元左端在整体中的坐标，% L是单元长度，q是均布载荷集度，向下为正。M0=q*L2/8+(M2-M1)/2;x=x1,x1+L/2,x1+L;m=-M1,M0,M2;a=polyfit(x,m,2);b=linspace(x1,x1+L);c=polyval(a,b);plot(

10、b,-c,' b ')hold on;title(' Bending Moment Diagram ');z=0,0,0;plot(x,z,' m ');把以上四个Matlab函数写入Matlab的M文件编辑器并保存，然后再将下面的数据及命令输入到Matlab的命令窗内，就可以完成全部的计算及绘图工作。以下是需要输入的数据及命令：E=210e6;I=50e-6;L1=4;L2=3;L3=3;orig=E E E;I I I;4 3 3;for i=1:3k(:,:,i)=BeamES(orig(:,i);end,K=zeros(8);for i=

11、1:3K=BeamAssemble(K,k(:,:,i),i,i+1);endk0=K(2,4,6,2,4,6);f=0;22.5;-7.5;u=k0f;U=0;u(1);0;u(2);0;u(3);0;0,F=K*U,u1=0;u(1);0;u(2);u2=0;u(2);0;u(3);u3=0;u(3);0;0;v=u1,u2,u3;for i=1:3f1(:,i)=k(:,:,i)*v(:,i);end,f01=9.375;0;20.625;-22.5;f02=0;0;0;0;f03=15;7.5;15;-7.5;f0=f01,f02,f03;f12=f1+f0,BM_P(f12(2,1)

12、,f12(4,1),0,4,2,2,30);BeamM_q(f12(2,2),f12(4,2),4,3,0);BeamM_q(f12(2,3),f12(4,3),7,3,10);grid;图2是运行程序后自动生成的图形，即连续梁的弯矩图。程序中，矩阵f1表示由节点载荷引起的各单元的杆端力，f0表示由非节点载荷引起的各单元的固端力，f12表示实际结构各单元的杆端力。如果要进一步计算连续梁的支座反力，只要将向量F中的相关元素与非节点载荷引起的支座反力相叠加就可以了。结束语通过该例可以看到，用Matlab编写的程序简洁、易读、易修改，编程效率很高。目前，Matlab已经成为国际上最为流行的科学计算软

13、件。更多地了解和掌握Matlab，对于我们的教学和科研工作将是十分有益的。参考文献图21P.I.Kattan著，韩来彬 译，MATLAB有限元分析与应用，北京：清华大学出版社，2004.2陈怀琛，MATLAB及其在理工课程中的应用指南，西安：西安电子科技大学出版社，2004.3陈永春，MATLAB 语言高级编程，北京：清华大学出版社，2004.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen，从玄从爻。天地万物的信息产生出来的现象、纹路、轨迹，描绘出了阴阳二气在事物中的运行轨迹和原理。故文即为符。上古之时，符文一体。古者伏羲氏之王天下也，始画八卦，造书契，以代结绳(爻)之政，由是文籍生焉。-尚书序依类象形

14、，故谓之文。其后形声相益，即谓之字。-说文序仓颉造书，形立谓之文，声具谓之字。-古今通论(1) 象形。甲骨文此字象纹理纵横交错形。"文"是汉字的一个部首。本义:花纹;纹理。(2) 同本义 figure;veins文，英语念为:text、article等，从字面意思上就可以理解为文章、文字，与古今中外的各个文学著作中出现的各种文字字形密不可分。古有甲骨文、金文、小篆等，今有宋体、楷体等，都在这一方面突出了"文"的重要性。古今中外，人们对于"文"都有自己不同的认知，从大的方面来讲，它可以用于表示一个民族的文化历史，从小的方面来说它可用于用

15、于表示单独的一个"文"字，可用于表示一段话，也可用于人物的姓氏。折叠编辑本段基本字义1事物错综所造成的纹理或形象：灿若锦。2.刺画花纹：身。3记录语言的符号：字。盲。以害辞。4用文字记下来以及与之有关的：凭。艺。体。典。苑。献（指有历史价值和参考价值的图书资料）。采（a文辞、文艺方面的才华；b错杂艳丽的色彩）。5人类劳动成果的总结：化。物。6自然界的某些现象：天。水。7旧时指礼节仪式：虚。繁缛节（过多的礼节仪式）。8文华辞采，与“质”、“情”相对：质彬彬。9温和：火。静。雅。10指非军事的：职。治武功（指礼乐教化和军事功绩）。11指以古汉语为基础的书面语：552言。白间杂。

16、12专指社会科学：科。13掩饰：过饰非。14量词，指旧时小铜钱：一不名。15姓。16 皇帝谥号，经纬天地曰文；道德博闻曰文；慈惠爱民曰文；愍民惠礼曰文；赐民爵位曰文；勤学好问曰文；博闻多见曰文；忠信接礼曰文；能定典礼曰文；经邦定誉曰文；敏而好学曰文；施而中礼曰文；修德来远曰文；刚柔相济曰文；修治班制曰文；德美才秀曰文；万邦为宪、帝德运广曰文；坚强不暴曰文；徽柔懿恭曰文；圣谟丕显曰文；化成天下曰文；纯穆不已曰文；克嗣徽音曰文；敬直慈惠曰文；与贤同升曰文；绍修圣绪曰文；声教四讫曰文。如汉文帝。折叠编辑本段字源字形字源演变与字形比较折叠编辑本段详细字义名1右图是“文”字的甲骨文图片，资料来源：徐无闻

17、主编：甲金篆隶大字典，四川辞书出版社。1991年7月第一版。“文”字的甲骨文字绘画的像一个正面的“大人”，寓意“大象有形”、“象形”；特别放大了胸部，并在胸部画了“心”，含义是“外界客体在心里面的整体影像、整体写真、整体素描、整体速写”。许慎说文解字把“文”解释为“错画也”，意思是“对事物形象进行整体素描，笔画交错，相联相络，不可解构”，这与他说的独体为文、合体为字的话的意思是一致的。“说文解字”这个书名就表示了“文”只能“说”，而“字”则可“解”的意思。“文”是客观事物外在形象的速写，是人类进一步了解事物内在性质的基础，所以它是“字”的父母，“字”是“文”的孩子。“文”生“字”举例（以“哲”

18、为例）：先对人手摩画，其文为“手”；又对斧子摩画，其文为“斤”。以手、斤为父母，结合、生子，其子就是“折”（手和斤各代表父母的基因）。这个“折”就是许慎所谓的“字”。“字”从宀从子，“宀”表示“独立的房子”，子在其中，有“自立门户”的意思。故“字”还能与“文”或其他“字”结合，生出新“字”来。在本例，作为字的“折”与作为文的“口”结合，就生出了新的字“哲”。2同本义 figure;veins文，错画也。象交文。今字作纹。东汉·许慎说文五章以奉五色。春秋·左丘明左传·昭公二十五年。注：“青与赤谓之文，赤与白谓之章，白与黑谓之黼，黑与青谓之黻。”美于黼黼文章。荀子&#

19、183;非相茵席雕文。韩非子·十过织文鸟章，白旆央央。诗·小雅·六月斑文小鱼。明· 刘基诚意伯刘文成公文集3又如：文驾（彩车）；文斑（杂色的斑纹）；文旆（有文彩的旗帜）；文绣（绣有彩色花纹的丝织品；刺花图案）；文织（有彩色花纹的丝织品）；文鳞（鱼鳞形花纹）。4字，文字（“文”，在先秦时期就有文字的意思，“字”，到了秦朝才有此意。分别讲，“文”指独体字；“字”指合体字。笼统地说，都泛指文字。） character饰以篆文。南朝宋·范晔后汉书·张衡传分文析字。东汉·班固汉书·刘歆传夫文，止戈为武。左传·宣公十

20、二年距洞数百步，有碑仆道，其文漫灭。王安石游褒禅山记文曰“天启壬戌秋日”。明· 魏学洢核舟记文曰“初平山尺”。5又如：甲骨文；金文；汉文；英文；文迹（文字所记载的事迹）；文书爻（有关文字、文凭之类的卦象）；文异（文字相异）；文轨（文字和车轨）；文狱（文字狱）；文钱（钱。因钱有文字，故称）；文状（字据，军令状）；文引（通行证；路凭）；文定（定婚）。6文章（遣造的词句叫做“文”，结构段落叫做 “章”。） literary composition故说诗者不以文害辞。孟子·万章上好古文。唐· 韩愈师说属予作文以记之。宋· 范仲淹岳阳楼记能述以文。宋·

21、欧阳修醉翁亭记摘其诗文。清· 纪昀阅微草堂笔记7又如：文价（文章的声誉）；文魔（书呆子）；文会（旧时读书人为了准备应试，在一起写文章、互相观摩的集会）；文移（旧时官府文书的代称）；文雄（擅长写文章的大作家）；文意（文章的旨趣）；文义（文章的义理）；文情（文章的词句和情思）；本文（所指的这篇文章）；作文（写文章；学习练习所写的文章）；文魁（文章魁首）；文价（文章的声价）；文什（文章与诗篇）。8美德；文德 virtue圣云继之神，神乃用文治。杜牧感怀诗一首9又如：文丈（对才高德韶的老者的敬称）；文母（文德之母）；文武（文德与武功）；文命（文德教命）；文惠（文德恩惠）；文德（写文章的道德）

22、；文薄（谓文德浅薄）；文昭（文德昭著）。10.文才；才华。亦谓有文才，有才华 literary talent而文采不表于后世也。汉· 司马迁报任安书11又如：文业（才学）；文英（文才出众的人）；文采风流（横溢的才华与潇洒的风度）；文郎（有才华的青少年）；文彦（有文才德行的人）；文通残锦（比喻剩下不多的才华）。12文献，经典；韵文 document;classics;verse儒以文乱法。韩非子·五蠹言必遵修旧文而不穿凿。说文解字·叙13辞词句。亦指文字记载 writings;record。如：文几（旧时书信中开头常用的套语。意为将书信呈献于几前）；文倒（文句颠倒）

23、；文过其实（文辞浮夸，不切实际）；文义（文辞）；文辞（言词动听的辞令）；文绣（辞藻华丽）。14自然界的某些现象 natural phenomenon经纬天地曰文。左传·昭公二十八年15又如：天文；地文；水文；文象（日月星辰变化的迹象）；文曜（指日月星辰；文星）；文昌（星座名）。16文治；文事；文职。与“武”相对。 achievements in culture and education；civilian post文能取胜。史记·平原君虞卿列传文不能取胜。文武并用。唐· 魏征谏太宗十思疏精神折冲于千里，文武为宪于万邦。明袁可立晋秩兵部右侍郎诰17又如：文臣，文吏（

24、文职官吏）；文席（教书先生的几席）；文品（文官的品阶）；文帅（文职官员出任或兼领统帅）；文烈（文治显赫）；文员（文职吏员）；文阶（文职官阶）；文道（文治之道）；文业（文事）；文僚（文职官吏）。18法令条文 articles of decree而刀笔吏专深文巧诋，陷人于罪。史记·汲黯列传19又如：文劾（根据律令弹劾）；文法吏（通晓法令、执法严峻的官吏）；文丈（规矩；制度）；文移（官府文书）；文牓（布告；文告）；文宪（礼法；法制）。20文言。古代散文文体之一；别于白话的古汉语书面语 literary language。如：半文半白；文语；文白（文言文和白话文）。21文教；礼节仪式 rites则修文德。论语·季氏22又如：文丈(崇尚礼文仪节)；文俗(拘守礼法而安于习俗)；文致(指礼乐)；文貌(礼文仪节)；文绪（文教礼乐之事）；文仪(礼节仪式)23指表现形式；外表 form;appearance。如：文服(表面服从)；文榜(告示、布告之类)；文诰(诰令)24指鼓乐，泛指曲调 music;tune。如：文曲(指乐曲)；文始(舞乐名)25谥号，谥法：勤学好问叫文 study deligently何以谓之文。论语是以谓之文。26姓动1在肌肤上刺画花纹或图案 tatto (the skin)被发文身。