固体物理习题解答

1、会计学1固体物理习题解答固体物理习题解答第1页/共104页1.2 为何金刚石结构是复式格子？为何金刚石结构是复式格子？答：金刚石晶胞答：金刚石晶胞位于立方体体内原子和立方体角或面心位于立方体体内原子和立方体角或面心原子价键的取向各不相同，所以是复式原子价键的取向各不相同，所以是复式格子格子这种复式格子实际上是两个面心立这种复式格子实际上是两个面心立方格子套构而成的。方格子套构而成的。第2页/共104页1.3 对于六角密堆积结构，试证明：对于六角密堆积结构，试证明： 。1/28( )1.6333ca底面原子及与体心原子之间均紧密接触底面原子及与体心原子之间均紧密接触222323caa1/281.

2、6333ca则红线的长度为则红线的长度为33ya2222cyac/2aac/2aa如果如果 ，则可认为是由原子密排面所组成，但这些平，则可认为是由原子密排面所组成，但这些平面之间是疏松堆积的。面之间是疏松堆积的。1.633ca第3页/共104页1.4 金属金属Na在在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数格常数ac =0.423nm，设六角密堆积结构相的，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值维持理想值，试求其晶格常数。，试求其晶格常数。 解：体

3、心立方每个晶胞包含解：体心立方每个晶胞包含2个原子，一个原子所占的体积为个原子，一个原子所占的体积为单位体积内原子数（即密度）为单位体积内原子数（即密度）为23ccaV 六角密堆积每个晶胞包含六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为个原子，一个原子所占的体积为1Vc即：即：32122223843436/323aaacacaaVs因为密度不变，所以因为密度不变，所以scVV1133222/aac16/20.377caanmnmacs615. 0633. 1第4页/共104页1.5 如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心立如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心立方、六角

4、密积以及金刚石结构，设方、六角密积以及金刚石结构，设x表示刚球体积与总体积表示刚球体积与总体积之比，试针对不同的结构求之比，试针对不同的结构求x 。解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题中的中的x设设n为一个晶胞中的刚性原子球数，为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度为表示晶胞体积，则致密度为343nrxV第5页/共104页(1) 简单立方简单立方任意一个原子球有任意一个

5、原子球有6个最近邻，若原子个最近邻，若原子以刚性球堆积，则有以刚性球堆积，则有a334( )326axa32 ,ar Va晶胞内包含一个原子，所以有：晶胞内包含一个原子，所以有：任意一个原子球有任意一个原子球有8个最近邻，若原子个最近邻，若原子以刚性球堆积，则体心原子与处在以刚性球堆积，则体心原子与处在8个个顶角位置处的原子球相切，因此，对顶角位置处的原子球相切，因此，对角线长度为角线长度为(2) 体心立方体心立方a34ar晶胞体积为晶胞体积为3Va34ra33432()3348axa晶胞内包含晶胞内包含2个原子，所以有：个原子，所以有：第6页/共104页(3) 面心立方面心立方(4) 六角密

6、积六角密积a任意一个原子球有任意一个原子球有12个最近邻，若原子个最近邻，若原子以刚性球堆积，则面心原子与面角处以刚性球堆积，则面心原子与面角处4个原子球相切，因此，面对角线长度为个原子球相切，因此，面对角线长度为24ar晶胞体积为晶胞体积为3Va33424()2346axa晶胞内包含晶胞内包含4个原子，所以有：个原子，所以有：任意一个原子球有任意一个原子球有12个最近邻，若原子个最近邻，若原子以刚性球堆积，则面心原子与面上其它以刚性球堆积，则面心原子与面上其它6个原子球相切，因此有个原子球相切，因此有2ar晶胞体积晶胞体积2213 3(6sin60 )22oVcaca 由第由第1题知题知82

7、433car晶胞内包含晶胞内包含6个原子，所以有：个原子，所以有：3246( )23263 32axca第7页/共104页(5) 金刚石结构金刚石结构任意一个原子球有任意一个原子球有4个最近邻，若原子个最近邻，若原子以刚性球堆积，则空间对角线四分之一以刚性球堆积，则空间对角线四分之一处的原子与三个面上的面心原子球及顶处的原子与三个面上的面心原子球及顶角处原子球相切，因此有角处原子球相切，因此有38ar晶胞体积为晶胞体积为3Va33438()33816axa晶胞内包含晶胞内包含8个原子，所以有：个原子，所以有：简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构简立方、体心立方、面心立方、六角密积

8、以及金刚石结构的致密度依次为的致密度依次为6382626316第8页/共104页1.61aai 2aaj 3()2aaijk 基矢为基矢为的晶体为何种结构？的晶体为何种结构？方法方法1：先计算出原胞体积：先计算出原胞体积31231()2Vaaaa由原胞体积可推断为体心结构由原胞体积可推断为体心结构方法方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢：由已知的三个基矢构造三个新的基矢1312323123()2()2()2aaaaijkaaaaijkaaaaaijk 由此可推断为体心结构由此可推断为体心结构第9页/共104页1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和和1.13见课见课件件1.11 已知三

9、斜晶系的晶体中，三个基矢为已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为 ， 和和 , 现测现测知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为知该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为、和和，试，试求该晶面的面指数求该晶面的面指数1a 2a 3a 332211coscoscoshadhadhaddahdahdahcoscoscos332211晶面指数为晶面指数为 dadadacoscoscos321)cos,cos,cos(321sss其中其中 是保证是保证 为互质数的因子为互质数的因子,称为互质称为互质因子因子 321,sss321,hhh解：解：最靠近原点的晶面在三最靠近原点的晶面在三个基矢上的截距分别为个基矢

10、上的截距分别为312123aaahhh、第10页/共104页1.14 如图所示，如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求两点是面心立方晶胞上的两面心，求： （1）ABC面的密勒指数；面的密勒指数； （2）AC晶列的指数。晶列的指数。BCAabc矢量矢量 与矢量与矢量 的叉乘即是的叉乘即是ABC面的法线矢量面的法线矢量BA BC BAOAOB 11()()(2)22abbcabcBCOCOB 211(2)()(3)224aBA BCabcacijk ABC面的密勒指数为面的密勒指数为(131)（1）1(2)2aijk111()()()222cabbca ik第11页/共104页（2）AC

11、晶列的指数晶列的指数BCAabcACOCOA 11()()(2 )22cababa ijk 所以所以AC晶列的晶列指数为晶列的晶列指数为112第12页/共104页第二章第二章 习题习题2.1 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲格子，并给出其倒格子的晶格常数。菲格子，并给出其倒格子的晶格常数。解：在直角坐标系中，简单解：在直角坐标系中，简单六角布喇菲格子的基矢为：六角布喇菲格子的基矢为：zcayaxaaxaa232321相应的倒格子基矢为相应的倒格子基矢为：zccazaaaaaabyacayacaaaaabyxacayacxacaaaa

12、ab22323223322232221233322232123222232121323211322321321容易看出此倒格子为容易看出此倒格子为简单六角布喇菲格子简单六角布喇菲格子晶格常数为：晶格常数为： 1234 34 3233bbbaac第13页/共104页2.2 对正交简单晶格，假设沿三个基矢方向的周期分别为对正交简单晶格，假设沿三个基矢方向的周期分别为a、b和和c的，当入射的，当入射X射线方向沿射线方向沿100方向（其重复周期为方向（其重复周期为a）时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X射线射线波长才能观察到极大？波长才能观察到

13、极大？ zcbybbxabzcaybaxaa222321321解：解：zchybhxahbhbhbhGh232133221100kk x任意倒格矢任意倒格矢因入射因入射X射线方向沿射线方向沿100方向故有方向故有晶体衍射的布里渊表述晶体衍射的布里渊表述212hhkGG312222hxyzhhhkGkkkabc假定衍射极大出现在假定衍射极大出现在 方向方向(,)xyzkk kk2222231222212()2hhhhGabc第14页/共104页0hkkG31202 ()hhhk xxyzabc3120222()hhhkxyzabc212hhkGG22223312122222222()xyzhhh

14、hhhkkkabcabc3120222xyzhhhkkkkabc22222231122222222xhhhhkaabc2223122221xhhhakhabc第15页/共104页2223122221xhhhakhabc3222yzhhkkbc所以衍射极大出现在方向所以衍射极大出现在方向22233122222122(,)xyzhhhhhakk kkxyzhabcbc102xhkka102xhkka2223122221()hhhahabc 为观察到衍射极大要求入射波波长满足为观察到衍射极大要求入射波波长满足1222312022222()hhhhkaabc第16页/共104页2.3 证明：体心立方晶

15、格的倒格子是面心立方证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是体心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方 由倒格子定义由倒格子定义2311232aabaaa3121232aaba aa1231232aabaaa体心立方格体心立方格子原胞基矢子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa倒格子基矢倒格子基矢23112322()()22aaaabijkijka aa22() ()4aijkijk)(2kja同理同理)(22321132kiaaaaaab32()bija可见由可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子为基矢构成的格子为面心立方格子 321,bbb第17

16、页/共104页面心立方格面心立方格子原胞基矢子原胞基矢123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa)(21kjiab同理同理)(22kjiab)(23kjiab可见由可见由 为基矢构成的格子为体心立方格子为基矢构成的格子为体心立方格子 321,bbb 第18页/共104页2.4 证明倒格子原胞体积证明倒格子原胞体积3(2 ) 倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa倒格子体积倒格子体积123()bbb 32331123(2 )() () ()aaaaaa 3(2 ) 第19页

17、/共104页2.5正格子中晶面指数为正格子中晶面指数为 的晶面和倒格矢正交的晶面和倒格矢正交1 2 3hhh（）hK 1 12233hKh bh bh b 其其中中hK 倒格矢倒格矢 是晶面指数为是晶面指数为 所对应的晶面族的法线所对应的晶面族的法线1 2 3hhh（）意味着意味着1 2 3h h hK 证明证明3113aaCAhh 1 2 31 12233h h hKh bh bh b 1 2 3311 1223313() ()h h haaKCAh bh bh bhh 311 133130aah bh bhh 2ijijab 1 2 30h h hKCB 所以晶面族与和倒格矢正交所以晶面族

18、与和倒格矢正交1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 同理可证同理可证第20页/共104页2.6 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系见课件见课件2.8 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第二布里渊区。二布里渊区。2.9 试画出边长为的二维正方格子的第一和第二布试画出边长为的二维正方格子的第一和第二布里渊区。里渊区。第21页/共104页 2.7 如果基矢如果基矢 构成简单正交系构成简单正交系 证明晶面族证明晶面族 的面间距为的面间距为 说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理说明面指数简单的晶面，其面

19、密度比较大，容易解理c,b,a)(hkl2221/ ( )( )( )hkldabc简单正交系简单正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa第22页/共104页kcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhG222hikjlkabc晶面族晶面族 的面间距的面间距)(hklGd22221/ ( )( )( )hklabc 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容

20、易解理倒格子基矢倒格子基矢第23页/共104页2.10 假设具有立方对称、由同种原子构成的某种晶体，在假设具有立方对称、由同种原子构成的某种晶体，在对其进行对其进行x射线分析时，在衍射谱图中只观察到（射线分析时，在衍射谱图中只观察到（110）、）、（200）、（）、（220）或（）或（222）等衍射峰，但没有观察到（）等衍射峰，但没有观察到（100）、（）、（300）、（）、（111）或（）或（221）等衍射峰，试通过分）等衍射峰，试通过分析说明该晶体具有何种类型的晶体结构。析说明该晶体具有何种类型的晶体结构。 解：对立方对称晶体，有简单立方、体心立方和面心立方三解：对立方对称晶体，有简单立方

21、、体心立方和面心立方三种典型的晶体结构。种典型的晶体结构。对同种原子组成的面心立方晶体，衍射指数全偶或全奇时，对同种原子组成的面心立方晶体，衍射指数全偶或全奇时，衍射强度最强，而衍射指数中部分为奇或部分为偶的衍射峰衍射强度最强，而衍射指数中部分为奇或部分为偶的衍射峰消失。（消失。（200）、（）、（220）或（）或（222）衍射峰的的衍射指数全）衍射峰的的衍射指数全为偶数，但同时出现（为偶数，但同时出现（110）衍射峰，这是部分为奇和部分）衍射峰，这是部分为奇和部分为偶的情况，故可判断该晶体并非面心立方结构。为偶的情况，故可判断该晶体并非面心立方结构。对简单立方，只能出现偶数指数的衍射峰，由于

22、（对简单立方，只能出现偶数指数的衍射峰，由于（110）衍）衍射峰的出现，可判断该晶体并非简单立方结构。射峰的出现，可判断该晶体并非简单立方结构。第24页/共104页对同种原子组成的体心立方晶体，晶胞中包含对同种原子组成的体心立方晶体，晶胞中包含2个原子，其中个原子，其中一个在立方体顶角，另一个在立方体体心，它们的坐标分别一个在立方体顶角，另一个在立方体体心，它们的坐标分别为（为（000）和（）和（1/2，1/2，1/2），得到衍射强度为），得到衍射强度为2201cos()sin() hklIfn hkln hkl可见，当衍射指数之和为奇数时，反射消失，而对于衍射可见，当衍射指数之和为奇数时，反

23、射消失，而对于衍射指数之和为偶数时，衍射加强指数之和为偶数时，衍射加强（110）、（）、（200）、（）、（220）或（）或（222）等衍射峰符合衍射）等衍射峰符合衍射指数之和为偶数的条件（衍射加强），而（指数之和为偶数的条件（衍射加强），而（100）、（）、（300）、（）、（111）或（）或（221）等衍射峰符合衍射指数之和为奇数）等衍射峰符合衍射指数之和为奇数的条件（反射消失）的条件（反射消失）因此，根据观察到的衍射峰特征可判断该晶体具有体心立因此，根据观察到的衍射峰特征可判断该晶体具有体心立方结构。方结构。第25页/共104页2.11 对面心立方的对面心立方的KBr晶体，其中晶体，其中

24、K和和Br离子各自组成一离子各自组成一套面心格子，试通过分析论证该晶体的衍射谱图有何特征套面心格子，试通过分析论证该晶体的衍射谱图有何特征？解：对面心立方结构的晶体，晶胞中共包含解：对面心立方结构的晶体，晶胞中共包含4个原子，其中个原子，其中一个在立方体顶角，另三个在立方体面心，它们的坐标分一个在立方体顶角，另三个在立方体面心，它们的坐标分别为（别为（000）、（）、（1/2，0，1/2）、（）、（1/2，1/2，0）和（）和（0，1/2，1/2），由此得到衍射强度为），由此得到衍射强度为20121cos()cos()cos()sin()sin()sin()hklIffn hkn hln kl

25、fn hkn hln kl可见，对于衍射指数中部分为奇可见，对于衍射指数中部分为奇或部分为偶时，或部分为偶时，而对衍射指数全偶或全奇时而对衍射指数全偶或全奇时201hklIff此时衍射强度最小此时衍射强度最小201hklIff衍射强度最强衍射强度最强第26页/共104页2.12 从形式上看，从形式上看，KCl非常相似非常相似KBr，但对，但对KCl进行衍射分析进行衍射分析时，实验上观察到和时，实验上观察到和KBr相似的面指数全为偶数的衍射峰，但相似的面指数全为偶数的衍射峰，但没有观察到面指数全为奇数的衍射峰，为什么？没有观察到面指数全为奇数的衍射峰，为什么？答：实验上观察到和答：实验上观察到和

26、KBr相似的面指数全为偶数的衍射峰，说相似的面指数全为偶数的衍射峰，说明明KCl晶体具有和晶体具有和KBr相似的面心立方结构，但没有观察到面相似的面心立方结构，但没有观察到面指数全为奇数的衍射峰，说明两者又不完全相同。这是因为指数全为奇数的衍射峰，说明两者又不完全相同。这是因为KCl中两种离子的电子数目相等，散射振幅几乎相同，因此，中两种离子的电子数目相等，散射振幅几乎相同，因此，对对X-射线来说，就好似一个晶格常数为射线来说，就好似一个晶格常数为a/2的单原子简单立方的单原子简单立方晶格，对简单立方晶格，只出现偶数指数的衍射峰。晶格，对简单立方晶格，只出现偶数指数的衍射峰。第27页/共104

27、页2.13 对由同种原子（碳）构成的金刚石晶体，试求出衍射对由同种原子（碳）构成的金刚石晶体，试求出衍射强度不为零的条件。强度不为零的条件。1 1 1( , )4 4 41 3 3( , )4 4 43 3 1( , )4 4 43 1 3( , )4 4 4(0,0,0)对于金刚石晶体，选择立方体作为晶胞，则每个晶胞中对于金刚石晶体，选择立方体作为晶胞，则每个晶胞中共有共有8个原子，一个在立方体顶角上，坐标为个原子，一个在立方体顶角上，坐标为1 1( ,0)2 211( ,0, )221 1(0, )2 2三个在立方体的面心位置，坐标分别为三个在立方体的面心位置，坐标分别为另外四个在立方体对

28、角线的另外四个在立方体对角线的1/4位置处，坐标分别位置处，坐标分别将这些原子坐标代入式得到衍射强度为将这些原子坐标代入式得到衍射强度为2221 cos()cos()cos()1111cos()cos(33 )cos(33)cos(33 )22221 sin()sin()sin()111sin()sin(33 )sin(33)si222hklIfn hkn kln hln hkln hklnhklnhklfn hkn kln hln hkln hklnhkl21n(33 )2nhkl第28页/共104页2221 cos()cos()cos()1111cos()cos(33 )cos(33)co

29、s(33 )22221 sin()sin()sin()111sin()sin(33 )sin(33)si222hklIfn hkn kln hln hkln hklnhklnhklfn hkn kln hln hkln hklnhkl21n(33 )2nhkl由上式很容易求出衍射强度不为零的条件是：由上式很容易求出衍射强度不为零的条件是：衍射面指数衍射面指数nh、nk和和nl均为奇数；均为奇数；衍射面指数衍射面指数nh、nk和和nl均为偶数且均为偶数且 也为偶数也为偶数。如果衍射面指数不满足上述两条件，则衍射消失。如果衍射面指数不满足上述两条件，则衍射消失。1()2n hkl第29页/共104

30、页3.1 证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数证明两种一价离子组成一维晶格的马德隆常数2ln2M 假设参考离子带负电荷，则正离子取假设参考离子带负电荷，则正离子取“+”、负离子取、负离子取“-”R参考离参考离子子11112.234MRRRRR则有则有2源于参考离子左右各源于参考离子左右各有两个距离相等的离子有两个距离相等的离子11121.234M 利用利用234ln(1).234xxxxx2ln2M 第三章习题第三章习题第30页/共104页3.2 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为nmrrru)(计算计算1) 平衡间距平衡间距r02) 结合

31、能结合能W（单个原子的）（单个原子的）3) 体弹性模量体弹性模量4) 若取若取 计算计算 的值的值 ,eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20第31页/共104页1) 平衡间距平衡间距r0的计算的计算平衡条件平衡条件)(2)(nmrrNrU00rrdrdU01010nmrnrm2) 单个原子的结合能单个原子的结合能01( )2Wu r 1(1)()2mn mmnWnmmnmnr10)(晶体内能晶体内能00( )()mnr ru rrr 第32页/共104页3) 体弹性模量体弹性模量0220)(VVUKV晶体的体积晶体的体积3NArV A为常数，为常数，N为原胞数目为原胞数目VrrUVU11

32、21()23mnNmnrrNAr221121()23mnUNrmnVVrrrNAr)(2)(nmrrNrU晶体内能晶体内能第33页/共104页91200020220220nmnmVVrnrmrnrmVNVU031)(22010100NArrnrmNVUnmVVnmrnrm00体弹性模量体弹性模量0220)(VVUKV由平衡条件由平衡条件912020220220nmVVrnrmVNVU第34页/共104页9120020220nmVVrnnrmmVNVU920020nmrrVnmNnmrnrm00)(2000nmrrNU)(9020220UVmnVUVV009VmnUK 体弹性模量体弹性模量022

33、0)(VVUKV912020220220nmVVrnrmVNVU第35页/共104页4) 若取若取 计算计算 的值的值eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20,mnmnr10)(1(1)()2mn mmnWnm1002rW210020Wrr95101.18 10eV m1929.0 10eV mnmrnrm00第36页/共104页3.3 设若一晶体平衡时体积为设若一晶体平衡时体积为V0，原子间总的相互作用，原子间总的相互作用能为能为U0，如果原子间相互作用能由式，如果原子间相互作用能由式所表述，试证明压缩系数为所表述，试证明压缩系数为( )nmU rrr 009nm UV证明：体弹性模量证

34、明：体弹性模量晶体体积晶体体积0202()VUKVV因此，体弹性模量可表示为因此，体弹性模量可表示为 3VNr02201()9r rUKN rr211222(1)(1)(),()22mnmnUNmnUNm mn nrrrrrr0222000222222000000001(1)(1)21122r rmnmnmnmnUNm mn nrrrrNmnmnNmnrrrrrrrr00mnmnrr0002 9mnN nmKVrr0000( )()2mnNU rUrr009nmUV第37页/共104页 3.4 已知有已知有N个离子组成的个离子组成的NaCl晶体，其结合能为晶体，其结合能为 现以现以 来代替排斥

35、项来代替排斥项 ，且当晶体处于平衡时，且当晶体处于平衡时， 这两者对互作用势能的贡献相同，试求这两者对互作用势能的贡献相同，试求n和和 的关系。的关系。 20( )()24nNeU rrrrcenr 将结合能在平衡位置处展开将结合能在平衡位置处展开)()()()(000rrrUrUrUrr第38页/共104页)4(2)( 02rcereNrU以以 代替代替 后后rce0nr)()()( )( 000rrrUrUrUrr根据题意根据题意)( )(00rUrU结合能结合能0)()(00rrrrrUrU00rncer010rnncer第39页/共104页00rncer010rnncernr 01()

36、nen c两式相比两式相比n和和 的关系的关系第40页/共104页3.5计算面心立方简单格子的计算面心立方简单格子的A6和和A12(1) 只计最近邻；（只计最近邻；（2）计算到次近邻。）计算到次近邻。o111角顶角顶o原子周围有原子周围有8个这样的晶胞个这样的晶胞标号为标号为1的原子是原子的原子是原子o的最近邻，总共有的最近邻，总共有12个最近邻，以最近邻距离度量，则个最近邻，以最近邻距离度量，则aj=122212121jjAa 661jjAa 0 jjra R R为最近邻距离为最近邻距离若只计最近邻则若只计最近邻则661(1)12 ( )121A12121(1)12 ( )121A标号为标号

37、为2的原子是原子的原子是原子o的次近邻，总共有的次近邻，总共有6个次近邻，以最近邻距离度量，则个次近邻，以最近邻距离度量，则aj=21/2若计算到次近邻则若计算到次近邻则66611(2)12 ( )6 ()12.7512A 12121211(2)12 ( )6 ()12.09412A 第41页/共104页4.1对一维双原子分子链，原子质量均为对一维双原子分子链，原子质量均为m，原子统一编号，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为任一原子与两最近邻的间距不同，力常数分别为 1和和 2，晶，晶格常数为格常数为a，求原子的运动方程以及色散关系，求原子的运动方程以及色散关系。1 2

38、3n-1 n n+1N-2 N-1 N12第第n-1与第与第n+1个原子属于同一种原子个原子属于同一种原子n+2 n+3 第第n与第与第n+2个原子属于同一种原子个原子属于同一种原子于是于是 第第n个原子受的力为个原子受的力为第第n+1个原子受的力为个原子受的力为2111()()nnnnnfxxxx 112121()()nnnnnfxxxx 第四章习题第四章习题第42页/共104页对每种原子，可写出其运动方程对每种原子，可写出其运动方程221112()()nnnnnd xmxxxxdt21121212()()nnnnnd xmxxxxdt 将方程的解写成角频率为将方程的解写成角频率为 的简谐振

39、动的形式，即的简谐振动的形式，即第43页/共104页2122122112()()0()()0iqaiqamAeBeAmB 2122122112()0()iqaiqameem 22221/21212221221/212122121624sin ()2()2411sin ()()2mqammmqam 色散关系色散关系得到得到A、B非非0解的条件是系解的条件是系数行列式必须为数行列式必须为0，即，即由此得到由此得到代入代入221112()()nnnnnd xmxxxxdt21121212()()nnnnnd xmxxxxdt 第44页/共104页4.2 问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？

40、问长光学支格波与长声学支格波在本质上有何区别？长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频率较高，包含了晶格振动频率最高的振动模式。，振动频率较高，包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体振动，振动频率较低，包含了晶格振动频率最原胞做整体振动，振动频率较低，包含了晶格振动频率最低的振动模式。低的振动模式。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格晶体不存在光学支格波。支格波。第45页/

41、共104页4.3 按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温和按德拜模型试计算晶体中的声子数目，并对高温和很低温度两种情况分别进行讨论。很低温度两种情况分别进行讨论。频率为频率为 的格波的声子数的格波的声子数/1( )1kTne对德拜模型，模式密对德拜模型，模式密度或频率分布函数为度或频率分布函数为2233( )2VgC则总的声子数则总的声子数0( ) ( )DNngd/20231312DkTVdeC高温高温/0kT/1/kTekT /1( )/1kTnkTe所以高温时声子数为所以高温时声子数为22334DVkNTC第46页/共104页/23021312DkTVNdeC很低温度很低温度/ kT

42、 作变量变换作变量变换/xkT 332233032(1)xVk T x dxCe2/2301312DkTVNdeC3AT332233032(1)xVkT x dxAconstCe第47页/共104页4.4 设一长度为设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为的一维简单晶格，原子质量为m，原子间，原子间距距为为a，原子间的相互作用势可表示成，原子间的相互作用势可表示成试由简谐近似求试由简谐近似求（1）色散关系；）色散关系；（2）模式密度）模式密度D（ ）；）；（3）晶格比热。）晶格比热。()cos( )U aAa （1）色散关系）色散关系()cos( )U aAa 22022()()ad Ud Ud

43、rd 恢复力常数恢复力常数2022()d UAda 代入代入得到色散关系为得到色散关系为第48页/共104页设单原子链长度设单原子链长度波矢取值波矢取值hNaq2每个波矢的宽度每个波矢的宽度2Na状态密度状态密度Na2dq间隔内的状态数间隔内的状态数dqNa2 对应对应 q， 取值相同，取值相同， d 间隔内的状态数目间隔内的状态数目dqNad22)(LNa（2）模式密度）模式密度D（ ）第49页/共104页dqNad22)(一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系)2(sin422aqmm40)2sin(0aq令令两边微分得到两边微分得到dqaqad)2cos(202021)2cos(aqd

44、qad2202d 间隔内的状态数目间隔内的状态数目第50页/共104页2202dadqdN2201222012)(Ndqad2202代入代入dqNad22)( 一维单原子链的频率分布函数一维单原子链的频率分布函数第51页/共104页（3）晶格比热）晶格比热频率为频率为 的格波的热振动能为的格波的热振动能为/1Bk Te整个晶格的热振动能为整个晶格的热振动能为0/0( )1Bk TEde VdECdT22012)(N02/222002()(1)BVBk TBLdCkak Te 第52页/共104页4.5 设晶体中每个振子的零点振动能为设晶体中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜，试用德拜模型求晶体

45、的零点振动能模型求晶体的零点振动能 12根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故故T=0K时振动能时振动能E0就是各振动模零点能之和就是各振动模零点能之和 000mEEgd 012E 22332sVgv42339168mmsVNv第53页/共104页4.6 如果原子离开平衡位置位移后的势能为如果原子离开平衡位置位移后的势能为如用经典理论，试证明比热为：如用经典理论，试证明比热为： 234( )Ucgf2233151()28VBBfgCkk Tcc第54页/共104页4.7 假设晶体总的自由能可表示为假设晶体总的自由能可表示为其中其中 表

46、示晶格振动对系统自由能的贡献，表示晶格振动对系统自由能的贡献， 是绝对零是绝对零度时系统的内能，若度时系统的内能，若 可表示可表示其中其中 是德拜温度，试证明：是德拜温度，试证明：（1）压力）压力 ， 为格林爱森常为格林爱森常数；数；（2）线膨胀系数）线膨胀系数 0( )( , )vFU VF T VvF0( )U VvF()DvFTfTD0(/)(1/)DUfTPVVT lnlnDddV 3VCVK第55页/共104页4.8（1）温度一定时，问一个光学波的声子数目和一个）温度一定时，问一个光学波的声子数目和一个 声学波的声子数目哪个多？声学波的声子数目哪个多？ （2）对同一个振动模式，问温度

47、高时的声子数目和）对同一个振动模式，问温度高时的声子数目和 温度低时的声子数目哪个多？温度低时的声子数目哪个多？频率为频率为 的格波的平均声子数为的格波的平均声子数为/1( )1kTne（1）光学波的频率总是比声学波的频率高，所以，温度一）光学波的频率总是比声学波的频率高，所以，温度一定时，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目定时，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目（2）温度高时的声子数目多于温度时的声子数目）温度高时的声子数目多于温度时的声子数目/1()1HHkTn Te/1()1LLkTn Te第56页/共104页5.1 试问绝对零度时价电子与晶格是否交换能量？试问绝对零

48、度时价电子与晶格是否交换能量？晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际上是晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际上是价电子与格波交换能量，格波的能量子称为声子，因此，价电子与格波交换能量，格波的能量子称为声子，因此，价电子与格波交换能量可看成是价电子与声子交换能量。价电子与格波交换能量可看成是价电子与声子交换能量。频率为频率为 的格波的声子数的格波的声子数/1( )1kTne绝对零度时，任何频率的格波的声子全部消失，因此，绝绝对零度时，任何频率的格波的声子全部消失，因此，绝对零度时价电子与晶格不再交换能量。对零度时价电子与晶格不再交换能量。第五章习题第五章习题第57页/共104页

49、5.2 试问晶体膨胀时费米能级如何变化？试问晶体膨胀时费米能级如何变化？费米能级费米能级202/3(3)2FEnm晶体膨胀时，体积变大，但晶体膨胀时，体积变大，但电子数目不变，故电子数目不变，故n变小，变小，因此，费米能级降低。因此，费米能级降低。第58页/共104页5.3 试问为什么价电子的浓度越高，电导率越高？试问为什么价电子的浓度越高，电导率越高？2nem从公式看，电导率正比于价电子的浓度，从公式看，电导率正比于价电子的浓度，因此，价电子浓度越高，电导率就越高因此，价电子浓度越高，电导率就越高然而，并非所有价电子都参与导电，仅仅费米面附近然而，并非所有价电子都参与导电，仅仅费米面附近的电

50、子才参与对导电的贡献，因此，费米球越大，对的电子才参与对导电的贡献，因此，费米球越大，对导电有贡献的电子数目就越多，而费米球的半径导电有贡献的电子数目就越多，而费米球的半径021/3(3)Fkn可见，电子浓度越高，费米球就越大，对导电有贡献可见，电子浓度越高，费米球就越大，对导电有贡献的电子什么也就越多，因此，电导率就越高的电子什么也就越多，因此，电导率就越高第59页/共104页5.4 假设二维电子气的能态密度假设二维电子气的能态密度 试证明费米能为试证明费米能为 其中其中n为单位面积的电子数。为单位面积的电子数。2( )mN E2/ln1Bnmk TFBEk Te单位面积金属的电子总数为单位

51、面积金属的电子总数为0( ) ( )nN E f E dE2( )mN E()/1( )1FBE Ek Tf Ee()/2011FBE Ek TmndEe/2ln(1)FBEk TBmk Te2/1FBBnEk Tmk Tee2/ln1Bnmk TFBEk Te第60页/共104页5.5 试求一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电试求一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子平均动能以及一个电子对比热的贡献。子平均动能以及一个电子对比热的贡献。设一维金属中有设一维金属中有N个导电电子，个导电电子，晶格常数为晶格常数为a，则状态密度为，则状态密度为2222km dEdkmE2再由E得到1/

52、22( )dzNamg EEdE能态密度能态密度222Nadzdk则在则在kk+dk范围内电子数为范围内电子数为2Na1/22NamdzEdE在在EE+dE内电子数为内电子数为第61页/共104页绝对零度时费米能级以下所有态被电子占据，故有绝对零度时费米能级以下所有态被电子占据，故有0001/200222( )FFEEFNamENamNg E dEEdE202()8FEma平均一个电子所具有的能量平均一个电子所具有的能量00( ) ( )NEdzEf E g E dEENN1/202( )amf E EdE23/2222() 38FBFamEEk TE第62页/共104页平均一个电子对比热的贡

53、献为平均一个电子对比热的贡献为23/2222() 38FBFamEEk TE2222()()3124eVVBBBFFEamTCk TkkTTE第63页/共104页5.6 试求二维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电试求二维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子平均动能以及一个电子对比热的贡献。子平均动能以及一个电子对比热的贡献。设二维金属的面积为设二维金属的面积为S，则状态密度为，则状态密度为222kmkdkdEm2再由E得到2( )dzmSg EdE能态密度能态密度222(2 )Sdzkdk则在则在kk+dk范围内电子数为范围内电子数为2(2 )S2222(2 )SmdEdz在在EE+d

54、E内电子数为内电子数为第64页/共104页绝对零度时费米能级以下所有态被电子占据，故有绝对零度时费米能级以下所有态被电子占据，故有0002200( )FFEEFmSmSNg E dEdEE20FnEm平均一个电子所具有的能量平均一个电子所具有的能量00( ) ( )NEdzEf E g E dEENN20( )mf E EdEn2222() 23FBmEEk TnNnS平均一个电子对比热的贡献为平均一个电子对比热的贡献为2()()3eVVBFETCkTT第65页/共104页5.7 证明，当证明，当 时，电子数目每增加一个时，电子数目每增加一个， 则费米能变化为则费米能变化为 其中其中 为费米能

55、级处的能态密度。为费米能级处的能态密度。0BFk TE001()FFEg E0()Fg E222/30(3)2FnEm2/3AN222/3(3/)2VAm电子数目每增加一个，费米能的变化电子数目每增加一个，费米能的变化02/32/3(1)FEA NAN2/32/3(1 1/)1ANN2/32(1) 13ANN1/323AN02/31/32/32233FEANNNN03/22()3FNC E003/20011()()FFFFEC Eg ECE第66页/共104页5.8 每个原子占据的体积为每个原子占据的体积为a3，绝对零度时价电子的费米半，绝对零度时价电子的费米半 径为径为 ，计算每个原子的价电

56、子数目，计算每个原子的价电子数目02 1/3(6)/Fka021/3(3)Fkn根据自由电子气模型，根据自由电子气模型，绝对零度时费米半径为绝对零度时费米半径为而已知金属绝对零度而已知金属绝对零度时费米半径为时费米半径为02 1/3(6)/Fka23 1/3(6/)a21/332(3)a两者比较可知电子密度为两者比较可知电子密度为32na因此该金属的原子具有两个价电子因此该金属的原子具有两个价电子第67页/共104页310.5/mg cm661.61 10(295)0.038 10(20)cm TKcm TK 银的质量密度银的质量密度 原子量原子量 电阻率电阻率 107.875.9 若将银看成

57、具有球形费米面的单价金属若将银看成具有球形费米面的单价金属 计算以下各量计算以下各量1) 费密能量和费密温度费密能量和费密温度2) 费密球半径费密球半径3) 费密速度费密速度4) 在室温以及低温时电子的平均自由程在室温以及低温时电子的平均自由程第68页/共104页 1) 费密能量和费密温度费密能量和费密温度2022/3(3)2FEnm6293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AAmNnNmmkgJ sM0198.82 105.5FEJeV046.4 10FFBETKk费密能量费密能量费密温度费密温度210/3(3)Fkn第69页/共104页2) 费密

58、球半径费密球半径020()2FFkEm0022FFmEk 01011.2 10Fkm0198.82 10FEJ3) 费密速度费密速度0FFkvm61.38 10/Fvm s第70页/共104页4) 在室温以及低温时电子的平均自由程在室温以及低温时电子的平均自由程120()1FneEm02()FmEne0()FFlvE2Fkne01011.2 10FFkkm电导率电导率驰豫时间驰豫时间平均自由程平均自由程2Fmvlne0 K到室温之间的费密半径变化很小到室温之间的费密半径变化很小第71页/共104页02Fklne平均自由程平均自由程1929334010162956201.6 100.586 10

59、/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKeCnmJ skmcmcm829563205.24 1052.42.2 102.210TKTKlmnmlmnm第72页/共104页6.1 电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222 且且a=4b， 是常数。是常数。1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；画出此势能曲线，并计算势能的平均值；2) 用近自由电子模型用近自由电子模型 计算晶体的第一个和第二个带隙宽度计算晶体的第一个和第二个带隙宽度 第六章习题第六章习题第73页/共104页bnaxbanbn

60、axbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222( )V x2a-b2a2a+b(n-1)a-b(n-1)a+b(n-1)ana-bna+bna(n+1)a-b(n+1)a+b(n+1)a-b0b第74页/共104页 势能的平均值势能的平均值LikxikxdxeLxVeLV01)(1222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLLLNa第75页/共104页势能的平均值势能的平均值222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLL222() 2na bna bNVmbxnadxL令令nax 2221()2bbVmbda2296aVm第76