北京市海淀区届高三上学期期中考试数学理试题版

1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理科)本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1集合-卩=仃|乳-2-2荃町，必=一1，也3,耳，那么集合PrM中元素的个数为A. 1 B . 2 C . 3 D . 42以下函数中为偶函数的是3在 ABCK “二册，|詞沁，AC= 1 -那么乔走的值为11A.1 B . - 1 C .-D.-224.数列碍的前n项和为耳.誉& -鼠_广2弁T 5刁2r且尿"，那么

2、口1 +勺的值为A.D. 65.函数，以下结论错误的选项是A.f = cos2xB.函数 /V) 的图象关于直线x = 0对称c.6.A.C.的最小正周期为“x>0 是“ 充分不必要条件 充分必要条件D . /(工)的值域为z-i-anz > 0B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件的7.如图，点O为坐标原点，点A( 1,1 ).假设函数I 丨 匸J “ I 且_ ) 的图象与线段OA分别交于点M, N,且M N恰好是线段OA勺两个三等分点，那么a, b满足11 a荃-1 ,& 函数/(x)- 1函数風-E .假设函数y =- 恰好有2个不同1,兀£1,零点，

3、那么实数a的取值范围是二、填空题(共6小题，每题5分，共30分)9. ：2矗=10. 在AABC中，角A, B, C勺对边分别为a , b, c.假设c = 4,吐nO=sin吕=兰一，那么uuu r12向量讣=人1，点A 3,0 ，点B为直线y = 2x上的一个动点假设 AB pa，那么点B的坐标为13函数 丁耳=血阿呦"0，假设兀的图象向左平移孑个单位所得的图象与 防的图象向右平移:个单位所得的图象重合，那么,的最小值为 14.对于数列仏.假设审加，丹e矿胡*艸，都有 心刃"为常数成立，那么称数列1 J皓一曲I和具有性质.:.假设数列%的通项公式为兔二尸，且具有性质po

4、，那么t的最大值为；假设数列的通项公式为T并，且具有性质氏0)，那么实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分解容许写出文字说明、演算步骤或证明过程.15.本小题总分值13分等比数列心的公比，其n前项和为£,假设4劭殆町I求公比q和a5的值;n求证： <2.16 本小题总分值13分函数.I求扌的值；n求函数的最小正周期和单调递增区间.17.本小题总分值13分如图，在四边形 ABC中，AB= 8, BC= 3, CD= 5, - -I ':.37I求BD勺长；n求证： 上忍?C +厶420 = n -18 本小题总分值13分函数 牛卡+宀臥+ 1，曲线在点0,1 处的

5、切线为II假设直线I的斜率为一3,求函数*1：的单调区间；n假设函数是T柑区间2, a上的单调函数，求 a的取值范围.19 本小题总分值14分由整数组成的数列%各项均不为0,其前n项和为，且曲疚，2& 鸟$+1"(I)求的值；(n)求(川)假设=15时，Sn取得最小值，求a的值.20.(本小题总分值14分)x为实数，用表示不超过 x的最大整数，例如2卜1. -L.2 = -2 . L = K 对于函数f(x)，假设存在応r且讥Z，使得/()= 亦)，那么称函数加)是口函数.(I)判断函数- +厂ein-itr是否是G函数；(只需写出结论)(n)设函数f(x)是定义F在上的周期

6、函数，其最小正周期为T,假设f(x)不是。函数，求T的最小值.(皿)假设函数是辺函数，求a的取值范围.海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数 学(理科)阅卷须知：1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2. 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9. 310.2 ； 1511. 512.( 3, 6)13. 414. 2;36,)说明；第10，14题第一空3分，第二空2分三、解答题:本大题共6

7、小题，共80分.15解：(I)法一：因为aj为等比数列，且4a3 a2d，所以4a3 a3 ，所以4，因为q2334，所以qa112.因为an0，所以q0，即 卩 q所以 a5 a1q416.法二：因为an为等比数列，且4a3a2a4 ,所以4ag242a1q，所以q4，所以q 2,因为an 0，所以q0，即所以a5 a1q4 16.分H法一:因为q 2，所以an因为Snai(1 qn)2n 1,10所以爼昭an 2n 11因为尹0 ,所以Sn13法二：因为q 2，所以ann 1所以S晋2n 1,0,所以鱼an2.S所以rn 2an13法三：因为q 2，所以anaiq所以S"驾q2n

8、i.io要证爼2,只需Snan2an,只需2n 1 2n上式显然成立，得证.13(I)因为f (x)3sin(2xnn)cos(2x ),33所以f ( 2)63sin(2 n6nn n)cos(2)36 3、3sin(2n)3/2 n3 1cos()32 24分(H)因为 f (X)3sin(2 xnn)cos(2x ),33所以f(x)2晅 s in(2x ) 1cos(2x23216.解:1n2sin (2x -)2cos2x ,所以周期T2nn.211令 2k n n 2x 2k n,12所以f(x)的单调递增区间为(k n <kn, k Z .213法二：因为 f (x)3si

9、n(2xn-)3ncos(2x ),3所以f (x) 3(sin2 x cos3ncos2xsin )3nn(cos2x cossin 2 xs in )33所以周期T 2n211令 2k n n 2x12解得kn x2cos2x2k n,所以f (x)的单调递增区间为13Z,(knn,kn, k Z .217.解:(I)法一:在ABD中，因为cos ADBADB (0, n ,4/3所以 sin ADB 根据正弦定理，有BDABsin A sin ADB6分代入 AB 8, A -,3解得BD 7.7分法二：作BE AD于E .因为AB 8, A n，所以在ABD 中，BE AB sin -

10、4 3.33分1在BDE中，因为cos ADB ,7adb (0, n,所以sin ADB4、376分所以BDBEsin BDE7分(H)法一：在 BCD中，根据余弦定理10BC2 CD2 BD2cos C -2BC CD1 代入BC 3,CD 5，得22 nc (0,n,所以 c 25.312分ADC 2 n所以 A C n，而在四边形ABCD中 A ABC C + 所以 ABC ADC n13分115 3法二：在 ABD中，cosABD,所以sinABD1414 '1 4、3cosADB，所以sinADB778分115.3在 BCD 中，cos DBC,所以 sin ABD1414

11、 ,13 3 3 cos BDC 13,所以 sin ADB14 14-9分所以cosABCcos(ABDDBC)cosABD cosDBCsinABD sinDBC2398-11分cosADCcos(ADBBDC)cosADB cos BDCsinADB sinBDC2398-12分即cosABCcosADC,所以ABCADCn.13分18.解(i)因为f(0)1，所以曲线y f(x)经过点(0,1),又 f '(x) x2 2x a,2分所以 f'(0)a3,3分所以 f'(x) x2 2x 3.当x变化时，f '(x) , f (x)的变化情况如下表：00

12、极大值极小值5分所以函数f(x)的单调递增区间为(，3)，(1,+ ),单调递减区间为(3,1).7分(n)因为函数f(x)在区间2,a上单调当函数f (x)在区间2,a 上单调递减时，f '(x)0 对 x2,a成立,即 f '(x)x2 2xa 0对x 2,a 成立，f '( 2)0根据二次函数的性质，只需要， 解得 3a 0.f '(a)0又 2 a ，所以 2a 0.9分当函数f (x)在区间2,a 上单调递增时，f '(x)0 对 x2,a成立,2只要f'(x) x 2x a在2,a上的最小值大于等于o即可，2因为函数 f '(

13、x) x2 2x a o 的对称轴为 x1，当2 a 1时，f'(x)在2,a上的最小值为f'(a)，2解f'(a)=a 3a 0，得a 0或a3，所以此种情形不成立11 分当1 a时，f'(x)在2,a上的最小值为f'( 1)，解 f'( 1)12 a 0得 a 1,所以 a 1，综上，实数a的取值范围是2 a 0或a 1.13分19解：(I)因为 2Sn anan 1，所以 2S a1a2，即 2a1 a1a2,因为 a1 a 0，所以 a22,2 分(n)因为 2Sn anan 1 ，所以 2Sn 1 anQn(n 2)，两式相减,得到 2

14、an an(an 1 an 1) ，4 分因为 an 0，所以 an 1 an 12，所以a2k 1, a2k都是公差为2的等差数列,当 n 2k 1 时，an a12(k 1) n a 1 ,6分当n 2k时,an 2 2(k 1) 2k n,所以ann a 1, n为奇数, n ,n为偶数.8皿因为2Sn a.an !，由n知道ann a 1, n为奇数, n ,n为偶数,1(n a 1)(n 1), n为奇数,所以Sn2n1 n(n a) ,n为偶数，210分注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的,当n为偶数时,an 0，所以:此时SnSn 1所

15、以S15为最小、值等价于Si3S15,S15S17，-12分所以a14a150, a16a仃0，所以1415a 10,1617a 10，解得32a28.13分因为数列an是由整数组成的，所以a 32, 31, 30, 29, 28.又因为an 0，所以对所有的奇数n，an n a 1 0，所以a不能取偶数，所以 a 31, a 29.14分法二：因为2Sn a.an 1 ,由(n)知道 ann a 1, n为奇数,1(n a 1)(n 1), n为奇数, 所以Sn2n1n(n a) ,n为偶数,10分因为S15为最小值，此时n为奇数,1当n为奇数时，Sn -(n a 1)(n 1),根据二次函

16、数的性质知道，有14分a16，解得 32 a 28，212因为数列an是由整数组成的，所以 a 32, 31, 30, 29, 28.又因为an 0，所以对所有的奇数n，an n a 1 0，所以a不能取偶数，所以 a 31, a 29.13分经检验，此时Sn为最小值，所以a 31, a 29.-14分20.解：(I)f(x)2x1曰 x是3函数，2分g(x)sinn不是函数.-4分(n) T 的最小值为 1.6因为f(x)是以 T为最小正周期的周期函数，所以f(T) f(0).假设 T 1，那么T0，所以 f(T) f (0)，矛盾.8所以必有T 1，而函数l(x) x x的周期为1,且显然不是是函数,分(皿)当函数f(x)x a是函数时，x假设a0,那么 f(x)x显然不是函数，矛盾.-10分假设a0，那么 f '(x)a1 2 0，x所以f(x)在(，0),(0,)上单调递增，此时不存在 m (,0)，使得 f(m)