数学建模的实验报告

1、 一、 问题路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？二、 数学模型已知P1为2kw的路灯，P2为3kw的路灯，以地面为X轴，路灯P1为Y轴，建立平面直角坐标系。其中，P1、P2高度分别为h1、h2，水平距离为S=20m。设有一点Q(x，0)，P1、P2分别与其相距R1、R2。如下图示。R1R2P2h2P1h11Q

2、2xSxyO经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。则，两个路灯在Q点的光照强度分别为： 其中：R12=h12+x2 R22=h22+(S-x)2则Q点的光照强度Ix=I1+I2分别按照题目中的不同要求，带入不同数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步分析对比，求得最值。三、 算法与编程1. 当h1=5m，h2=6m时:symptoms x yx=0:0.1:20;y=10./sqrt(25.+x.2)3)+18./sqrt(36.+(20-x).2).3);plot(x,y)grid on; 在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点 对Ix求导：syms xf=

3、10./sqrt(25.+x.2)3)+18./sqrt(36.+(20-x).2).3) 运用MATLAB求出极值点s=solve('(-30*x)/(25+x2)(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)2)(5/2)');s1=vpa(s,8) s1 = .28489970e-1 8.5383043+11.615790*i 19.976696 9.3382991 8.5383043-11.615790*i根据实际要求，x应为正实数，选择19.9767、9.3383、0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值：syms xI=10/(25+x2)(

4、3/2)+18/(36+(20-x)2)(3/2);subs(I,x,19.9767)subs(I,x,9.3383)subs(I,x,0.02849) ans = 0.0845ans = 0.0182ans =0.820 x0.028499.3382919.9766I0.0820 0.01820.0845综上，在19.3米时有最亮点；在9.33米时有最暗点2.当h1=5m，3m<h2<9m时： 对h2求偏导，并令其为0：运用MATLAB求出极值点solve('3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0') an

5、s = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 对x求偏导，并令其为0： 通过MATLAB，将步骤中计算出的关于h2的表达式带入上式，并求出h2的值；solve('-30*(20-2(1/2)*h)/(25+(20-2(1/2)*h)2)(5/2)+9*h*(20-(20-2(1/2)*h)/(h2+(20-(20-2(1/2)*h)2)(5/2)=0') ans = 7.4223928896768612557104509932965通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计算得到Ih=7.42239;x=20-2(1/2)*hI=10/(25+x2)(

6、3/2)+(3*h)/(h2+(20-x)2)(3/2) x = 9.5032I =0.0186 3当h1，h2均在3m-9m之间时:同上，通过MATLAB求解下面的方程组：solve('p1/(h12+x2)(3/2)-3*p1*h12/(h12+x2)(5/2)')solve('3/(h2+(20-x)2)(3/2)-3*(3*h2)/(h2+(20-x)2)(5/2)=0')ans = 2(1/2)*h1 -2(1/2)*h1ans = 20+2(1/2)*h 20-2(1/2)*h 根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：利用MATL

7、AB，求得x值：s=solve('1/(20-x)3)=2/(3*(x3)');s1=vpa(s,6)s1 = 9.32530 7.33738+17.0093*i 7.33738-17.0093*i 按照实际需求，选择x=9.32525 带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点h1=(1/sqrt(2)*9.32525h2=(1/sqrt(2)*(20-9.32525) h1 = 6.5939h2 = 7.5482 四、 计算结果1.当h1=5m，h2=6m时:x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.0

8、18243930.084476550.08447468x=9.33m时，为最暗点，I=0.01824393；x=19.97m时，为最亮点，I=0.08447655。2.当h1=5m，3m<h2<9m时：x=9.5032,h2=7.42239时，路面上最暗点的亮度最大，I=0.0186w。3.当h1，h2均在3m-9m之间时:h1=6.5939，h2=7.5482，x=9.32525时，路面上最暗点的亮度最大。2 火箭问题 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料的燃烧率为18kg/s，由此产生32 000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设

9、火箭上升时的空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m。求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。解析：火箭上总共携带燃料1080kg，燃料燃烧率为18kg/s，火箭上升时间t=60s时，燃料全部烧尽。阻力正比于速度的平方，比例系数0.4kg/m，可知阻力表达式为f=0.4v2。由于燃料燃烧，火箭的质量是时间的函数，m(t)=11400-18t火箭升空速度和加速度变化可分为两个阶段；第一阶段：燃料燃烧产生的推力恒定，随着燃料的不断消耗，火箭的质量m降低，可得出火箭的速度v以及加速度a是变化的，由牛顿第二定律，根据

10、速度与时间关系，建立微分方程组。第二阶段，燃料耗尽，此时火箭的质量m恒定。引擎关闭的瞬间，火箭剩余质量：m=1400-1080=320kg，由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。火箭将达到最高速度。五、 算法与编程由题目已知条件可设置变量：加速度a 质量m 时间t 速度v 合力f求出有关于v的微分方程第一阶段clearsyms a m t v fm=1400-18*tf=32000-0.4*v2-9.8*ma=f/mm = 1400-18*t f = 18280+882/5*t-2/5*v2 a = (18280+882/5*t-2/5*v2)/(1400-18*t)odefun=(

11、t,v)(18280+882/5*t-2/5*v2)/(1400-18*t); s = cumsum(v).*0.1; subplot(2,2,1) plot(t,s); grid on xlabel('时间');ylabel('高度')title('1.h/t') t,v=ode45(odefun,0:0.1:60,0); subplot(2,2,2) plot(t,v); grid on xlabel('时间');ylabel('速度')title('2.v/t') a=diff(v)/0.1;

12、 t2 = 0:0.1:59.9; subplot(2,2,3) plot(t2,a); grid on xlabel('时间');ylabel('加速度')title('3.a/t') 第二阶段火箭由重力作用上升，燃料耗尽后火箭质量为320kg。由牛顿第二定律可再次列出微分方程，t>60s.记y =(h, v)Tfunction dy = Rocket(t,y)dy=v;-9.8-0.4*v.2/320;ts=0:60x0=0,0;t,x=ode45(Rocket,ts,x0);t,xfor n=1:2000T=100-0.01*n;ts

13、s=60:0.02:T;y0=x(61,1),x(61,2);option=odeset('reltol',1e-3,'abstol',1e-6);t2,y=ode45(Rocket,tss,y0,option);t2,y;if y(:,2)>=0breakendendplot(t,x(:,1),'b',t2,y(:,1),'r'),grid,title('图1.高度-时间')xlabel('t/s')ylabel('h/m')pause plot(t,x(:,2),'b',t2,y(:,2),'r'),grid, title('图2.速度-时间') xlabel('t/s') ylabel('v/(m/s)')pausea=(32000-0.4*x(:,2).2)./(1400-18*t)-9.8;a2=-9.8-0.4*y(:,2).2/320;plot(t,a,'b',t2,a2,'r'),grid,title('图3.加速度-