(完整word版)圆周运动中的临界问题和周期性问题

1、101圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤:1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律Fnman2小V2/22m m r m()rrT二、 临界问题常见类型：1、 按力的种类分类：（1 ）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无，或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦2、 按轨道所在平面分类：（1 ）、竖直面内的圆周运动（2）、水平面内的圆周运动三、 竖直面内的圆周运动的临界问题1、单

2、向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力1临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R 宀 v临界=.Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力2能过最高点的条件：vRg，当 v. Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.3不能过最高点的条件： vv V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）例 1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量 m=0.5kg，绳子长度为 求：（g 取 10m/s2）A、最高点水不留出的最小速度？B、设水在最高点速度为 V=3m/s，求

3、水对桶底的压力？列方程求解l=60cm,102答案：（1） 、6m/s（2） 2.5N103变式 1、如图所示，一质量为 m 的小球，用长为 L 细绳系住，使其在竖 直面内作圆周运动.（1）若过小球恰好能通过最高点， 则小球在最高点和最低点 的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？（2）若小球在最低点受到绳子的拉力为 10mg,则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题:汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度Vgr时，汽车对弧顶的压力 FN=O,此时汽车将脱离桥面做平抛运动, 因为桥面不能对汽车产生拉力.

4、例 2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。今给小物体一个水平初速度Rg，则小物体将（A.沿球面下滑至 M 点B.先沿球面下滑至某点 N,然后便离开斜面做斜下抛运动C .按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动D.立即离开半圆球做平抛运动3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题物体（如小球）在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与 轻绳的模型不同因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又 可以提供支持力；在管道中运动

5、，物体速度较大时可对上壁产生压力，而速度较小时可对下壁 产生压力.在弹力为零时即出现临界状态.（一）轻杆模型如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动.（1）能过最高点的临界条件是：v 0这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力N mg.当0 v Rg时，0 Nmg, N 仍为支持力，且 N 随 v 的增大而减小,104当v.Rg 时，N = 0，此为轻杆不受弹力的临界条件.(4)当v.：Rg时，N 随v的增大而增大，且 N 为拉力指向圆心,例 3、如图所示，有一长为 L 的细线，细线的一端固定在 0 点，另一端拴一质量为 m 的小球， 现使小球恰好能在竖直面内做完整

6、的圆周运动。已知水平地面上的 C 点位于 0 点正下方，且到 0 点的距离为 1.9L。不计空气阻力。(1)求小球通过最高点 A 时的速度VA；(2)若小球通过 最低点 B 时，细线对小球的拉力 T 恰好为小球重力的 6 倍，且小球经过 B 点的瞬间让细线断 裂，求小球落地点到 C 点的距离。解：(1)小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过 A 点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有:2VAEAm-mg=L/IX解得:VA厲。(0 (2)小球在 B 点时根据牛顿第二定律有2VBT-mg=mLc其中 T=6mg解得小球在 B 点的速度大小为 vB 八5gL细线断裂后,小球从B 点开始做平抛运动

7、，则由平抛运动的规律得1.2；gt1.9L-L=2(2 分)竖直方向上水平方向上x=vBt(2 分)解得:x=3L(2 分)即小球落地点到 C 点的距离为 3L。答案：(1)gL(2)3L管道质点(小球)在光滑、竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径 r 远小于球的圆周运动的半径 R)，如图所示小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为v、Rg当v Rg时，对下管壁有压力，此时2VN mg m，故0 N mg。1052（3）当v Rg时，对上管壁有压力，此时N mVmg。R实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型.

8、例 4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量为 mi, B 球的质量为 m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为vo。设 A 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 mi,m2,R 与vo应满足关系式是 _ c解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1 所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力Ni，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力 N2,且 Ni=N2。据牛顿第二定律 A 球在圆管的最低点有：22v0v1N1m

9、g m1同理 m2在最高点有：N2mg m2-RR1212m2球由最高点到最低点机械能守恒：2m2gR口2山mzV。2 2N1N2! （5m2mJgR由上述方程可得：V。2”m2 g【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会 变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。四、水平面内圆周运动中的临界问题： 解决圆周运动中临界问题的一般方法1、对物体进行受力分析2、找到其中可以变化的力以及它的临界值3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值 例 5、水平转盘上放有质量为 m的物快，当

10、物块到转轴的距离为 r 时,若物块始终相对转盘静止,物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的倍，求转盘转动的最大角速度是多 大？2解：由mgm rg，r得:凰41106点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值变式 5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为卩，圆筒的半径为 R,若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少?例 6、如图所示，两绳系一质量为m= 0.1kg 的小球，上面绳长 L = 2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与 45问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为下两绳拉力分别为多大？解：当 3 渐大，AC 绳与杆夹角变大，但 BC 绳还没拉直。当 AC 绳与杆夹角为 30

11、时，BC 绳处在虚直状态。之后 3再增大，BC 绳上也会有拉力。所以 BC 绳虚直为临界状态。o2omg tan 30 m0L sin 300, BC 绳上有拉力。变式 6-1:如图，长为 L 的绳子，下端连着质量为 m 的小球,上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角 B =60 。此时小球静止于光滑水平面上。解:FNm2r得FNmg分析小球，由牛顿第二定律:TACcos30oTBCcos45omgTACsin30oTBCsin45om2Lsin30oTAC乎TBCmg2 2102TACBC丄m2L217 2卫202.4rad/sCo107一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿

12、竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 30。，一条长度为 L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点另一端拴着一个质量为 m 的小物体（物体可看质点），物体以速率 速圆周运动。当 v= ;fgL 时，求绳对物体的拉力；当 V :；gL 时，求绳对物体的拉力。解：物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力G、拉力 T、支持力很小时，物体在圆锥体上运动。N 减少。.当 3 大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。N=0 ,9=30 ）时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛T sin N cosv2m LsinT cos N sinmg(1)T由（2）得：mg N sincosm

13、g tan代入（1）得：N (tan sincos )2vLsin(1)当小球以gL做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大?(2)当小球以4gL做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大?答案:(1) T=mg1FN2mg(2)T=4mgFN0变式 6-2、如图所示,v 绕圆锥体的轴线做水平匀由此可得，当 v 增大时,显然当球与锥面虚接触（即N 提供向心力，当角速度 3108顿第二定律:由( 2)2TV02m L23Tmg2、3TmgVo、3gLV0，所以 N0。V1当得:代入（1）得:2V。mg T cossinT (sin cotcosT sinN cosmL sin(1)T c

14、osN sinmg2mg cotm-L sinmT L sin sincot cosmg cotm旦6L1212331mg1.03mgV2当浮V0此时 N=0 ,T sin2V mL sin(5)T cosmg但夹角变大, 不为 30由（6）得:2sincosT 2mg2VgLmgcos3gL2gL（7）,代入（5）得:sinmgcosv2m-L sin1.5o60代入（7）得:例 7、如图所示，细绳一端系着质量M = 0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m= 0.3kg 的物体，M的中与圆孔距离为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中

15、心轴线转动，问角速度 3在什么范围m 会处于静止状态？ （ g= 10m/s2）10955-.；3rad/s -15rad/s(3 的范围是：33即2.9 rad/sw/的蹈离的两倍.现让该装% 从静止丿F始裁动，使转連逐渐增大,在从编f处于自然民廈到两物块A.B即将滞 动的过程巾卜列说法正确的是（）2A.%受到的静障掠力不可能为零11 B受到的靜摩擦力先增大后保持不变CDU A受到的静樺擦力先增大后减小AD A受到的合外力一宜在增大0I(BD )10130,24、在质量为 M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为R，如图所示, 为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转

16、动的最大角速度不能超过（M m gmRM mgmRMgD.mR5、在光滑的水平面上钉有两个钉子A 和 B.相距 20cm.用一根长度为量为 0.4kg 的小球另一端栓在钉子 A 上使小球开始位于 A 的左边.并以 2m/s 的速率在水平面上绕 A 做匀速圆周运动.若绳子承受 4N 的拉力就会断.那么从开始运动到绳被拉断.小球转的半圆周数（ B ）A.2B.3C.4D.56.如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为1kg的 A、B 两个物块，物块用长为 0.25m 的细线与固定在转盘中心处的力 传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计.细线能承受的最大拉力为 8N. A、B 间的动摩擦因数为 0.4, B 与转盘间的动摩擦因