2017-2018学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式第2节一般形式的柯西不等式创新应用

1、I第 2 节一般形式的柯西不等式创新应用孩心必知问题思考核心必知1. 三维形式的柯西不等式设ai，a2，a3,bi,b2,b3是实数，则(a1+a2+a2)(b2+b2+b2) (aibi+a?b2+a3b3)2,当且仅当b= 0(i= 1, 2, 3)或存在一个 数k,使得ai=kbi(i= 1, 2, 3)时，等号成立.2. 一般形式的柯西不等式设ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是实数，则(a2+a2+a2)(b2+b2+ +b2) (aib+ +anbn)2，当且仅当b= 0(i= i, 2,， 9 或存在一个数k,使得ai=kbi(i= i, 2,，n)时，等号成立.

2、问题思考i .在一般形式的柯西不等式的右端中，表达式写成ab(i= i, 2, 3，n)，可以吗？提示：不可以，ab的顺序要与左侧a：,b的顺序一致.2.在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai=kbi(i= i, 2, 3,，n),可以吗？提示：不可以.若bi= 0 而aiM0，贝Uk不存在.究破考点I高考为标 把握热点靑向总结规律提炼技法贵在掌有所悟预习导引区预习导引区课堂互动区课堂互动区2利用柯西不等式证明不等式求证：2229a+b b+c c+a a+b+c精讲详析 本题考查三维形式的柯西不等式的应用解答本题需要构造两组数据_ _ _ 1 1 1a+b,b+c,c+a； -,

3、- , - ，然后利用柯西不等式解决.v v v寸a+b Qb+c寸c+ac+a+b ,b+J ,c+a，则由柯西不等式得.,.,A(1 + i +1)2,b+cc+a1 1b+c c+a是丄+丄+丄a+b b+c c+a a+b+c由柯西不等式知,因题设，a,b,c不全相等，故中等号不成立,2,2,2.9于是 Z + Z +-.a+b b+c c+a a+b+c方法规襌柯西不等式的结构特征可以记为(a+aa+an)(b1+b2+bn)A(一ab+：Ja?b2+anbn)2，其中ai,b R+(i= 1, 2，n)，在使用柯西不等式时(要注意从整体上 把握柯西不设a,b,c为构造两组数-a+b

4、,b+c, 1 1 1即 2(a+b+c)中有等号成立a+b b+c c+aa+b=b+c=c+a?a=b=c.(a+b+b+c+c+a)+丄+二3等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键.II專氏训练42 . 2 2a b c1.设a,b,c为正数，求证： 匸-1Aa+b+c.b c ab+c-2=(a+b+c),z2 ,2 2a b c2即匚+ + (a+b+c) (a+b+c),b c a /又a,b,cR+,a+b+c0,2 , 2 2a b c匸+ + Aa+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立。b c a设 2x+ 3y+ 5z= 29,求函数u=p2x+ 1

5、 + p3y+ 4+ Q5z+ 6 的最大值.精讲详析本题考查三维柯西不等式的应用，解答本题需要利用好特定条件，设法去掉根号.根据柯西不等式120= 3(2x+ 1) + (3y+ 4) + (5z+ 6)A(1X2x+1+1X3y+4+1X5z+6)2,故l/2x+1+“-J3y+4+5z+6W2, 30.当且仅当 2x+ 1= 3y+ 4= 5z+ 6,372822即x=37y=石，z= 时，等号成立，此时6915利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时,要注意等号成立的条件.证明:聞+渤心）如考点2利用柯西不等式求最值LSZJUmax= 2 30.5

6、|輕训练2.已知a,b,cR+，且a+b+c= 1,求 ；4a+ 1 + “4b+ 1 + ；.：4c+ 1 的最大值.解：由柯西不等式，得(4a+ 1+ 4b+ 1 + 4c+ 1)2=(1x4a+1+1x4b+1+1x4c+1)22 2 2w(1+1+1 )(4a+1+4b+1+4c+1)=34(a+b+c) + 3 = 21.1当且仅当a=b=c= 3 时，取等号.故，4a+ 1 + 4b+ 1+ 4c+ 1 的最大值为.21.利用柯西不等式处理综合问题设f(x) = lgx x“、1+2+( n1)n,若 0waw1,n N+且n2,求证:f(2x) 2f(x).精讲详析本题考查柯西不

7、等式、 综合法、分析法在证明不等式中的应用,解答本题的关键是将f(2x) 2f(x)具体化，然后再根据式子的结构特点选择合适的证明方法.2x 2xr1 + 2 +(n 1) f(2x) = lg2x2x+an要证f(2x) 22(x),只要证 22x1 + 2 +(n 1)+alg2xnn.x xxx1 + 2 +(n 1)+ a -n2lg“2x 2x2x2x即证1+2+-+(n1)+an4 x x1+2+( n1)士2(*)6也即证n12x+ 22x+-+ (n 1)2x+an2x 1x+ 2x+ + (n 1)x+anx2,72 0Waw1,.aa,根据柯西不等式得2x 2x2x2x,n

8、1 + 2 + (n 1) +an (12+ 12+12), s do4(n 个)(1x)2+ (2x)2+-+ (n 1)x2+(anx)2 1x+2xxx 2+ + (n 1) +an,即(*)式显然成立，故原不等式成立.方沽9.a2b3c命题立意 本题考查一般形式的柯西不等式在证明中的应用.解(1)因为f(x+ 2) =n |x| ,所以f(x+2)o等价于|x| m由|x| o,且其解集为x| me x0的解集为1, 1，故m=1.1 1 1(2)证明：由(1)知首+ 2+ 3C= 1 又a,b,c R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)a+ 2L+3c ,aa+2b；

9、b+3c3； 9- an 1_ 1+anX-X舟=(ai+a2+-+an)2x卜 2 =右边.原不等式成anXan+ai好层练习国本提能exccnf(iani：i j irenj训练提能区训练提能区10、选择题1 .已知a,b, R+,且a+ 2b= 10,则a2+b2的最小值为（）A. 5 B . 10 C . 20 D . 30解析：选 C 根据柯西不等式有（a2+b2）（1 + 22） （a+ 2b）2= 100.22b a +b20,当且仅当a=2= 2 时取等旦大小关系为（号2 .设ai,a2，an为实P=a1+a2+aa1+a2+an,Q=-,则P与Q的11A.PQB.PQC .P

10、ai+a2+ +an,a2+a2+a；n, na1+a2+an.222a1+a2+ana+ + an亠PQ即得3.已知x,y,zR+且x+y+z= 1,贝 Ux2+y2+z2的最小值是()A. 1解析:1 1根据柯西不等式，x2+y2+z2= 3(12+ 12+ 12) (x2+y2+z2) (1xx+1xy+1Xz)2=3(x+y+z)2=3.4.若 2ab0,则a+（2ab）.b的最小值为（）A. 1 B . 3 C . 8 D . 12解析：选 BT2ab0,.2ab0.17a+( 2a-b)b =R(2ab)+b+(2ab)bi3 3(2ab2abb=3.当且仅当2a-b=b=（2ab

11、，124即a=b= 2 时等号成立.当a=b= 2 时，a+有最小值 3.(2ab)b二、填空题5.已知a?+a2+a2=1,x?+xi+x?= 1，贝Uaixi+a2X2+anxn的最大值为2解析：(ax+a2X2+anxn)z2 2 2、，2 2 2、w(a1+比+十an)(X1+X2+ +Xn) = 1.答案：1解析：由柯西不等式可知,149所以一 + -+36.x y z1 当且仅当x= y149 -+ + -的最小值为 36.x y z答案：366.若a,b,c为正数，则ab+r-+a、也+b+a的最小值为c a a b ca b c b+c+ab c aa+b+c=32= 9.答案

12、：97.已知x,y,zR+.149x+y+z= J 则-+y+z的最小值为解析：利用柯西不等式.由于(X+y+z)x+2.y+z3z2= 36,21212=6z，即x= 6y= 3,z= *时，等号成立.ab+bcb+ac13nnn& (湖南高考)已知a,b,c R,a+ 2b+ 3c= 6,贝 Ua+ 4b+ 9c的最小值为 _解析：由柯西不等式，得(a2+ 4b2+ 9c2) (12+ 12+ 12) (a 1 + 2b 1+ 3c 1)2= 36,142 2 2 2 2 2故a+ 4b+ 9c 12,从而a+ 4b+ 9c的最小值为 12.答案：12三、解答题_ . . 2 2

13、2 2 2 29设a,b,c,x,y,z都是正数，且a+b+c= 25,x+y+z= 36,ax+by+cz解：由柯西不等式知:25x36=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=25x36,a b c当且仅当-=- = -=k时取“=”.x y z所以k2(x2+y2+z2)2= 25x36,解得k= 6.a+b+c5-k x+y+z6,.OQQ解：由柯西不等式得(2 + 1 )(x+ 2y- 1) + (3x-y+ 3) 2(x+ 2y- 1) + (3x-y+3)2 (5x+ 3y+ 1)2 9. /(x+ 2y- 1)2+ (3x-y+ 3)25. 当且仅当x+ 2y- 1 2(3x-y+ 3)即 5x- 4y+ 7 0 时取等号.r 13x-35, 得9y7.故所求点的坐标为-篇,9.111且不等式xy+yrz+z+x三入恒成立,求入