平面向量的坐标运算及共线坐标表示

1、2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示复习引入复习引入 如果如果 是同一平面内的是同一平面内的两个不共线向量两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 , 使使1 12 2aee12, 12,e e a对于确定的一组基底对于确定的一组基底, ,平面内的任一向量会和平面内的任一向量会和一对实数对应一对实数对应平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使使 成立成立

2、aaxiy j则称（则称（x，y）是向量）是向量 的坐标的坐标aji 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x轴、轴、y轴正方向轴正方向同向的两个同向的两个单位向量单位向量 作基底作基底.i j 、记作：记作：( , )ax yaaa(4)如图以原点如图以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置的位置 被被 唯一确定唯一确定.aOA a Oxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示aaji(x, y)A此时点此时点A的坐标即为的坐标即为 的坐标的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的相等向量的坐标是相同的,

3、但起点、终点的坐标可以不同但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij （1）与）与 相等的向量的坐标均为（相等的向量的坐标均为（x, y)a注意：注意：（3）两个向量）两个向量 相等的充要条件：相等的充要条件：1122( ,),(,)ax ybxy(6)22axy请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则 =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量

4、坐标若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) ABa b a b ( , )(,)ax yxy =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)a b 2. 如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的等价条件的等价条件? 会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论?1. 向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的等价条件是有且的等价条件是有且 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得abba设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得),(11yxa ),(22yx

5、b ba0,b22, yx01221yxyx01221yxyx这就是说这就是说: 的等价条件是的等价条件是 )0(/bba 新课新课a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)3、 其中其中 ,a0有且只有一个实数有且只有一个实数，使得，使得ab=即：即：（x2 , y2) =(x1 , y1) =(x1 , y1)所以所以x2=x1y2=y1消去消去得：得： x1y2- x2 y1=0a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)其中其中x1y2- x2 y1=0abab(0)a 平面向量平面向量共线共线的坐标表示的坐标表示向量共线的充要条件向量共线的充要条件的两种表示形式的两种表示形式:x1y2

6、- x2 y1=0(2)a b(a0) a=(x1 ,y1)，b=(x2 ,y2)有且只有一个实数有且只有一个实数,使得使得ab=(1)a b(a0) 例例1 1 已知已知 a = =（4 4，2 2）,b=,b=（6 6，y y） 且且a b b，求，求y y的值的值. .解：解： a b b 4y-2 4y-26=06=0 解得解得y=3y=3典型例题典型例题), 1(xa)2 ,( xb例例2 已知点已知点A(1，3)， B(3，13)，C(6，28) 求证：求证：A、B、C三点共线三点共线.证明：证明：AB=(3-1,13-3)=(2,10)AB=(3-1,13-3)=(2,10) B

7、C=(6-3,28-13)=(3,15) BC=(6-3,28-13)=(3,15) 2 225=525=51010 ABBC ABBC 又又 直线直线ABAB、直线、直线BCBC有公共点有公共点B B A A、B B、C C三点共线三点共线 典型例题典型例题例例3:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标；的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标。的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2P(1)(1

8、)M1212121()2(,)22 OPOPOPxxyy 解解: (1)所以，点所以，点P的坐标为的坐标为1212(,)22xxyyxyOP1P2P(2)(2)xyOP1P2P例例4:设点设点P是线段是线段P1P2上的一点，上的一点，P1、P2的坐标分别是的坐标分别是 。（1）当点）当点P是线段是线段P1P2的中点时，求点的中点时，求点P的坐标的坐标；（2）当点）当点P是线段是线段P1P2的一个三等分点时，求点的一个三等分点时，求点P的坐标的坐标。1122( ,),(,)x yxyxyOP1P2PxyOP1P2P. 221153 . 22212121PPPPPPPPPPP或有两种情况，即，的一

9、个三等分点时，是线段，当点）如图（xyOP1P2P32,323132)(3131212121211212111121yyxxOPOPOPOPOPPPOPPPOPOPPPPP，那么如果），的坐标是（即点32322121yyxxP 直线直线l上两点上两点 p1 、 p2，在，在l上取不同于上取不同于 p1 、p 2的任一点的任一点P，则则P点与点与p1 p2的位置有哪几种情形？的位置有哪几种情形？ P在之在之 间间21PP1P2PPP在在 的延长线上，的延长线上，21PP1P2PPP在在 的延长线上的延长线上. . 12PP1P2PP 能根据能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量点的三种

10、不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定方向确定的取值范围吗？的取值范围吗？ 0 1 01 存在一个实数存在一个实数，使，使 ，叫做点叫做点P分有向线分有向线段段 所成的比所成的比21PPPP 21PP 设设 ， ，P分分 所成的比为所成的比为 ，如何，如何求求P点的坐标呢？点的坐标呢？ ),(111yxP),(222yxP 21PP),(111yyxxPP ),(),(2211yyxxyyxx ),(222yyxxPP 21PPPP )()(2121yyyyxxxx 112121yyyxxx 112121yyyxxx有向线段有向线段 的的定比分点坐标公式定比分点坐标公式21PP有向线段 的中点坐标公式21PP 222121yyyxxx小 结1.熟悉平面向量共线