专题06空间几何体的面积与体积解析版

1、专题06空间几何体的面积与体积知识沃背J夯实基础知识，掌握基本技能/、柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧=2 nhV = Sh= n在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理. 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的 体积求出其体积 解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将

2、空间几何体的“面”展开后铺在一个 平面上，将问题转化为平面上的最值问题h圆锥S 侧=nlV = 3sh= 3 n2h = gn勺 l2- r2圆台S 侧=n（1 + r2）lV = （S 上+ S 下 + 寸S上S下）h= 右1 +r2+ r1r2）h直棱柱S 侧=ChV= Sh正棱锥1S 侧=Ch'1V=护正棱台1S 侧=2（C + C ' ）h 'V = 3（S 上 + S 下+ S 上 S下）h球S球面=4 dR2V=如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上如果是

3、圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图缺乏空间图形向平面图形的转化意识方法与技巧1. 棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决旋转体要抓住“旋转”忘特点，弄清底面、侧面及展开图形状2. 要注意将空间问题转化为平面问题.3. 求几何体的体积，要注意分割与补形将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解4. 一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决技能点狱】 融合知识方法，塑造解题能力2 n例1、（2018扬州期末）若圆锥的侧面展开图是面积为3n且圆心

4、角为 2的扇形，则此圆锥的体积为 【答案】.232 n312 n2 n【解析】：设圆锥的底面半径为 r，高为h，母线为I，则由 12= 3 n,得I = 3，又由 l = 2 n r,得 r= 1，从而有 h = * I2 r2= 22,所以 V =1 n r2 h= 2、3 2 n . 33变式1、（2017无锡期末） 积等于.已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3 n的扇形，则该圆锥的体12【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h,母线长为I则解得 r = 1，故 h = I2 r2=I = 3,2所以圆锥的体积 V= gx n2X h = gx nX 12x

5、2 = 22 n.解后反思 解决立体几何问题的基本思想是将空间问题转化为平面问题，在解题过程中要注意明确展开图中 各个元素和几何体中元素的对应关系变式2、（2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为n，侧面积为2 n，则该圆锥的体积为 【答案】3n3【解析】思路分析 先求出圆锥的底面半径和高.n r2 = n ,r = 1,设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r, h, I,则解得所以h = 3圆锥的体积 Vn rI = 2 n ,I = 2.例2、（2019南京学情调研）如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，AB = 2, AA 1= 3,则四棱锥 A1B1C1CB的体积是.【答案】2 3【

6、解析】如图，取BiCi的中点E,连结AiE,易证AiE丄平面BBiCiC,所以AiE为四棱锥A1B1C1CB的高,1i所以 V 四棱锥 AiBiCiCB = 3S矩形 BBiCiCX AiE = 3x （2 X 3）X 3= 2 3.变式I、（20I6南京、盐城、连云港、徐州二模）如图 ，正三棱柱 ABCAiBiCi中，AB= 4, AAi = 6.若E, F 分别是棱BBi, CCi上的点，则三棱锥AAiEF的体积是 .【答案】 8 3【解析】因为在正三棱柱ABCAiBiCi中，AAi/ BBi,AAi?平面AAiCiC,BBi?平面AAiCiC,所以BBi/平面AAiCiC,从而点E到平面

7、AAiCiC的距离就是点 B到平面AAiCiC的距离，作BH丄AC,垂足为点H,Li由于 ABC是正三角形且边长为 4,所以BH = 2 3,从而三棱锥 AAiEF的体积VAAiEF = VEAiAF = 3必AiAF BH = ；X；X 6 X 4X 2 3 = 8 3.解题反思 一般地，三棱锥的体积求解都需要通过换底来求解，基本原则是换底以后的三棱锥的底面积和高均容易求解.变式2、（20i9南京、盐城一模）如图， PA丄平面ABC , AC丄BC, PA= 4, AC = . 3, BC = i, E, F分别 为AB , PC的中点，则三棱锥 BEFC的体积为 .a【答案】6【解析】：V

8、BEFC = VFBEC = 2VpBEC = 2 - (1 - $ BE PA) = 1 X 3 呼X 4 羊变式3、（2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在正三棱柱棱CC，则三棱锥P ABA的体积为 .ABC ABiG 中，已知 ABAA3，点P在【答案】.12面 AAB1B , CC1 面 AA1B1B ,4P到平面AA1B1B的距【解析】：因为正三棱柱 ABC AB1C1中，AA/CC，因为AA所以CC1 /面AABB，因为点P在棱CC1上，所以点C到平面AABB的距离就是点离作CD AB，垂直为点 D，因为正三棱柱 ABC ABC1中，AA1 面ABC , CD 面ABC，所以CD

9、AA1，而 AB面AA1B1B ,AA1面AA1B1B ,ABAA1A1，所以 CD面AA1B1B 因为正3319三棱柱ABC ABG中，AB AA 3，所以CD , ABA的面积S 3 3,所以三棱锥2229 339.3P ABA的体积V S CD -33 224例3、（2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为【答案】.2讥【解析】：正三棱锥的底面正三角形的边长为a= 2 3,面积S= 43a2= 3 3,高h= 2所以正三椎锥的体积 V=；Sh= 2 3.变式1、

10、（2019苏州三市、苏北四市二调） 设P, A , B, C为球O表面上的四个点，PA, PB, PC两两垂直,且PA= 2 m, PB = 3 m, PC = 4 m,则球 O的表面积为 m2【答案】29 n【解析】:根据题意，可知三棱锥 PABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过C四点的球，因为 PA= 2, PB= 3, PC = 4,所以长方体的体对角线的长为PAS= 4 n R2= 4 n X '' 29即外接球的直径 2R= 29,可得R = ；9P,2+ PB2+ PC2= 29,22 =29变式2、（2018无锡期末）直三棱柱 ABCAiBiC

11、i中，已知AB丄BC, AB = 3, BC = 4, AA 1= 5,若三棱柱 的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 【答案】.50 n【解析】： 根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥Bi ABC的外接球，也就是以 BA , BC, BBi为棱的长方体的外接球，设其半径为R,贝U 2R= BA2+ BC2+ BB2= 32 + 42 + 52，得R=笃2,故该球的表面积为 S= 4 n R2= 50 n .实跌演练同步即学即练，实时巩固新知1、（2019扬州期末）底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是 【答案】2 |n 【解析】圆锥的高为 h = 3丁 = 2勺2，圆锥的体积 V =

12、 1 X nX 12X 2於髻卫.33cm3.2、（2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm的正三角形，则该圆锥的体积为【答案】j n3【解析】圆锥的底面半径 R = 1，高h = 22- 12= 3，故圆锥的体积为 V = 1X n X 12X 3 = 33 n .3、（2019泰州期末）如图，在直三棱柱ABCA 1B1C1中，点M为棱AA 1的中点，记三棱锥 A1MBC的体积V1V1,四棱锥A1BB1C1C的体积为V2,则;7的值是V 2a【答案】*【解析】：解法1（割补法） 设厶ABC的面积为S,三棱柱的高为h，则Vi = VAiABC Vmabc = Ish-331 11

13、2Vi Sh 3 1?h= 6Sh, V2= VABCA 1B1C1 VA1ABC = Sh sSh= gSh,所以 = 6 ° 2Sh= 4.11解法 2（等积转换）V1 = VBA 1MC = 2VBA 1AC = 2VA1ABC ,V2= 2VA1BC1B1 = 2VBA 1BQ1= 2VA1ABC ,所以V1= 1V24.4、（2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是 7,则该圆台的高为.【答案】.31【解析】：设截得的小圆锥的高为 h1,底面半径为1,体积为V1 = 3兀r1h1;大圆锥的高为h = 6，底面半径为r,体

14、积为12r1h1V1V = 3 n r2h= 8.依题意有-=,V1= 1, =1 n r2h11 23 n rhh1 31 18，得h1 = 3，所以圆台的高为 h h1= 3.5、（2018苏锡常镇调研） 在棱长为2的正四面体P ABC中，M , N分别为PA , BC的中点，点D是 线段PN上一点，且PD 2DN，则三棱锥 D MBC的体积为 .【答案】 9【解析】：思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一 种是利用等体积转化的思想进行计算 .解题过程：连结MB , MC , MN，过点D作DH MN于H，因为BA BP , M为PA勺中点，所

15、以PA BM，同理PA CM，又因为BM CM M，所以PA 面MBC，又因为MN 面MBC , 所以PA MN ,又因为DH MN ,所以DH / PA，从而DH 面MBC ,故DH为点D到平面MBC 的高.在 MBC中，MB MC , N为BC勺中点，则MN MB2 NB2 . 2 , MBC的面积1 1 _ _ 1 1S BC MN 222，在 NPM 中，因为 DH / PM , PD 2DN 所以 DH - PM -,2 2'33f从而三棱锥 D MBC的体积V1 S DH 1 n -2 .VD MBCS MBC DH引 23 3396、（2017南京三模）如图，在直三棱柱A

16、BC A1B1C1 中，AB= 1 , BC= 2,BB1= 3,Z ABC= 90° 点D为侧棱BBi上的动点.当AD+ DC1最小时，三棱锥 D ABCi的体积为 一一Ci【解析】：将侧面展开如下图，所以由平面几何性质可得:AD DCi ACi，当且仅当A,DQ三点共线取到此时BD i,所以Svabd 丄AB2BD1 一.在直三棱柱 ABC Ai Bi Ci中有2BBi CB，又 ABCB，易得CB 平面ABD，所以CiBi平面ABD，即CiBi是三棱锥G ABDABDC1 B1SVABD的高，所以Vd ABCi7、（20i9苏北四市、苏中三市三调）已知直角梯形 ABCD中，AB

17、/ CD, AB丄 BC, AB=3 cm, BC=i cm, CD=2cm 将此直角梯形绕 AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 cm3.【答案】7_3【解析】：所求几何体的体积为 V V圆锥+V圆柱=3 i2 七8、（ 2016无锡期末）如图，在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA丄OB,且OA = VO = 1,贝U O到平面VAB的距离为【答案】333【解析】思路分析在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径:（1）利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；（2）利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算.解法1因为VO丄平面 AOB , OA?平面AOB,所以VO丄OA

18、,同理VO丄OB ,又因为 OA丄OB ,_1r 3VO = OB = 1,所以 VA= VB= AB= 2,所以 Gvab= ?VAX ABsin60 =设 O 到平面 VAB 的距离为11133Vvaob= Vovab,得3$aobX VO = 3G vabX h,得？OAX OB X VO= ? h,解得 h = 3 .解法2取AB中点M ,连结VM,过点O作OH丄VM于H.因为OA= OB, M是AB中点，所以OA =h,由OM丄vox OMVMAB ,因为VO丄平面 AOB, AB?平面AOB ,所以VO丄AB,又因为 OM丄AB, VOA OM = O ,所以AB丄平 面VOM ,又因为 AB?平面VAB,所以面 VAB丄平面 VOM,又因为 OH丄VM , OH?平面VOM ,平面VAB A 平面VOM = VH,所以OH丄平面VAB,所以OH为点