三角形四心向量表示

1、三角形四心的向量问题三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式知识点总结1) 0是ABC的重心OA OB 0C 0；ABC的重心，则S BOCS AOC S AOB1SS ABC3故!PGOA OB OC 0；3(PA PB PC)ABC的重心.2）0是ABC的垂心 OA OBOB OC 0C0A ；ABC（非直角三角形）的垂心,贝y S boc : S aoc : S aob tan A :tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23) O是 ABC 的外心 |OA| |OB | |OC |(或 OA OB OC )sin2A :

2、 sin2B : sin 2C若O是ABC的外心贝卩 S BOC: S AOC: S AOB sin BOC :sin AOC :sin AOB故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04） O是内心ABC的充要条件是OA(AB AC )|AB | ACOB (盘話)OC引进单位向量,使条件变得更简洁如果记则刚才0 是ABC 内心的充要条件可以写成OA(ei e3) OB (ei e2) OC (e2 e3)00是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0AB ,BC,CA的单位向量为 8(2(3 ,O若O是ABC的内心，贝卩S BOC : S AOC : S AOB a

3、： b : CBOCAOC -故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sin BOB sin COC 0； | AB| Pc | BC|PA |CA|PB 0 P ABC 的内心；向量0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角平分线所在直范例（一）.将平面向量与三角形内心结合考查例1. O是平面上的一定点，A,B,C是平面上 不共线的三个点，动点 P满足OP OA （AB AC）,0,则P点的轨迹一lAB lACl定通过ABC的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为AB是向量AB的单位向量设,IABI与Ac方向上的单位向量分别为ei和e , Ap （e e2）,由菱形

4、的基本性质知AP平分 则知选B.又OP OA AP ,则原式可化为BAC ,那么在ABC中，AP平分BAC ,陌生”,首先AB是什么没见过！想想,lABl一个非零向量除以它的模不就是单位向量 此题所用的都必须是简单的基本知识， 如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分 熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。点评：这道题给人的印象当然是“新颖、（二）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2.H是厶ABC所在平面内任一点，HA HB HB HC HC HA 点H是厶ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB A

5、C 0 HB AC,同理HC AB , HA BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA，贝y P是厶ABC的（D ）D.垂心A.外心B.内心C.重心解析：由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0 贝卩 PB CA,同理 PA BC,PC AB 所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、 三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”

6、等相关知识巧妙结合。（三）将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4.6是厶ABC所在平面内一点，GA GB GC =0 ABC的重心.证明作图如右，图中GB GC GE连结BE和CE则CE=GJBBE=GC BGC为平行四边形BC的中点，AD为BC边上的中线.将 GB GC GE 代入 GA GB GC =0,得GA EG =0 GA GE 2GD，故6是厶ABC的重心.（反之亦然（证略）例5.P是厶ABC所在平面内任一点.6是厶ABC的重心pg 1 (pa pb pc).3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)V 6是厶ABC

7、勺重心二 GA GB GC =0 AG BG CG =0, 即卩 3PG PA PB PC由此可得PG 1（PA PB PC）.（反之亦然（证略） 3 例6若O为ABC内一点，OA（ ）A.内心B .夕卜心心D .重心CABCOC 为相邻两边构作平行四边,如图以0B形，则 OB OC OD ，由平行四边形性质知OA 2OE，同理可证其它两解析：由 OA OB OC 0 得 OB OC OA边上的这个性质，所以是重心，选 D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心 性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为2。本题在解题的过程中将平面1向量的有关运算与平行四边形

8、的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧 妙结合（四）.将平面向量与三角形外心结合考查例7若0为ABC内一点，OA lOBI lOC，则0是ABC的（A .内心B .夕卜心D .重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心， 选B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。（五）将平面向量与三角形四心结合考查例 8.已知向量 OPi , OP2 , OP3 满足条件 OPi +OP2 +OP3 =0, | OPi | = | OP2 | = | OP3 |=1 ,求证 P1P2P3是正三角形（数学第一册（下），复习参考题五B组第6题

9、） 证明由已知OPi +OP2 =- OP3，两边平方得 OPi OP2 = * ,同理 OP2 OP3 =OP3 OPi =丄，2，二I葩|=| PP31=|両|= '-3，从而 RF2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形 PP2P3的中心，则显然有OPi + Op2 + OP3 =0且| OP11=| OP21=| OP31.即0是4 ABC所在平面内一点，op1+op2 +op3 =0 且 | op； |=| op； |=| 0p3 |点 0是正 PP2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：QG H三点共线，且 QG:GH=1:2

10、【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A（0,0）、B（xi,0 ）、Cgy 2），D E、F分别为ABBC AC的中点，则有:D（X1,0）、E（X_1,Z）、F（工约2 2 2 2 2 由题设可设Q（号皿）、H（x；,y4）, G（X_1,Z）33府（x2,y4）,QF*BC （X； Xi,y；）:aH BCAH?BC x2（xx； Xi y； y ）32 y3）（2Xi）y；y40y4"qF Ac T T QF ?ACx；（x Xi）y；/X2 x；（-2x；（x； Xi）y 32y 2x；）2y；（¥ y3） 02qH（2x2 x；

11、23x 2（x 22y 2Xi）Xi y；2 ' 33x；（x； Xi）6y；V3）（笫6Xi y； x；（xJ3匹）；（2x； x；QG （宁（2x； Xi （6=；qH3即Q=3qG，故Q G H三点共线，且QG2 Xi）2y；3x；（x； Xi）2y；GHH: 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当外心、重心、垂心的位麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明, 都可转化为熟练的代数运算的论证。例10.若O H分别是 ABC勺外心和垂心.求证 OH

12、OA OB OC .证明 若厶ABC的垂心为H,外心为O,如图. 连BO并延长交外接圆于D,连结AD CD二 AD AB , CD BC .又垂心为 H, AH BC ,CH AB , AH/ CD CH/ AD四边形AHC为平行四边形，AH Dc do Oc，故 OH Oa aH Oa Ob Oc .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”置关系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2) 三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重 心到垂心的距离是重心到外心距离的 2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11.设O GH

13、分别是锐角 ABC勺外心、重心、垂心.求证1OG 丄 OH3证明按重心定理6是厶ABC的重心 OG - (OA OB3OC)按垂心疋理OH OA OB OC由此可得og 3oh.补充练习1已知A B、C是平面上不共线的三点，0是三角形ABC勺重心，动点P满足0P=1 ( 10A + 10b+2OC),则点 P一定为三角形 ABC的(B )322边中线的中点边中线的三等分点(非重心)C.重心边的中点t t F L1. B取AB边的中点 M 则OA OB 20M，由OP 二丄( OA +丄OB+2OC)可得 3223OP 3OM 2MC i丽 餌即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等后 + B?

14、 = OB + CA =O为ABC的分点，且点P不过重心，故选B.2.在同一个平面上有 ABC及一点O满足关系式:OC +AB，则A 夕卜心B 内心2.已知 ABC的三个顶点C 重心 D 垂心A、BC及平面内一点P满足:PA pB PC0，则P为ABC的( C )A 夕卜心B 内心 C 重心 D 垂心3.已知O是平面上一定点，A B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:OP OA (AB AC),贝卩P 的轨迹一定 通 过 ABC的(C)A 夕卜心B 内心 C重心 D垂心4.已知 ABC P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：PA?pC pA?Pb pB?PC 0,贝SP点为三角形的A

15、外心 B 内心 C 重心 D 垂心5. 已知 ABC P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：a pA b pB c?pC 0,则P点为三角形的(B )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2 26. 在三角形ABC中，动点P满足：CA CB 2AB?CP，则P点轨迹一定通过厶ABC 的：(B )A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心7. 已知非零向量 AB与AC满足(-AB +-AC ) BC=0 且-AB -AC ,则厶 ABC为|AB| |AC|AB| |AC| 2()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(召昌)-=0,即角A的平分线垂直于BC /. AB=AC又cosA 圭-鼻二1，/人匚，所以 ABC为等边三角形，选D.|AB|AC| 238. ABC的外接圆的圆心为 Q 两条边上的高的交点为 H, OH m(OA OB OC)，贝卩实数m = 19点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ,则点O 是ABC的(B)(A)