常州市外国语学校2015届九年级上期中数学试卷含答案解析版

1、2014-2015学年江苏省常州市外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1一元二次方程x22x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是( )Am1Bm=1Cm1Dm12用下列同一种图形，不能密铺的是( )A三角形B正五边形C四边形D正六边形3如图所示，在O中，A=30°，则B=( )A150°B75°C60°D15°4在RtABC中，C=90°，sinA=，则tanB的值为( )ABCD5一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A1.5B2C2.5D36如图，ABC中，

2、AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为( )A1B2C126D667如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是( )AOxBxC1x1Dx8如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是( )A2B3C4D5二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）9一元二

3、次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，则a=_10已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2cm，则此扇形的圆心角等于_度，扇形的面积是_（结果保留）11如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是_12如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为_m13若、是方程x22x3=0的两个实数根，则2+2=_14如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都在格点上，那么ABC的外接圆半径是_15如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若A

4、B=2cm，BCD=22°30，则圆O的半径为_cm16如图，在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为_17如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为_三、解答题（共9小题，满分0分）18计算：（1）2sin60°+|；（2）（2）3+×0|+tan260°19解方程：（1）x2+2x3=0； （2）3x（x2）=2x（x2）20如图，在平面

5、直角坐标系xOy中，ABC三个顶点坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1（2）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出A2B2C2（3）求A1B1C1与A2B2C2的面积比，即：=_（不写解答过程，直接写出结果）21电动自行车已成为市民日常出行的首选工具据某市品牌电动自行车经销商1至3月份的统计，该品牌电动车一月份销售150辆，三月销售216辆（1）求该电动车销售量的月平均增长率；（2）若13月份每月销售量的增长率相同，该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月

6、共盈利多少元？22如图，AB是O的直径，C是O上的一点，过点A作ADCD于点D，交O于点E，且=（1）求证：CD是O的切线；（2）若tanCAB=，BC=3，求DE的长23如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：1.41，2.45）24如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E（1）求证：AC平分DAB

7、；（2）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sinE的值25如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在RtABC中，C=90°，tanA=，求证：ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，ABC=2，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线ABBC和ADDC向终点C运动，记点P经过的路程为s当=45°时，若APQ是“好玩三角形”，试求的值26如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC

8、=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当APCG时，求弦EF的长；（3）当AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长2014-2015学年江苏省常州市外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1一元二次方程x22x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是( )Am1Bm=1Cm1Dm1【考点】根的判别式 【分析】根据根的判别式，令0，建立关于m的不等式，解答即可【解答】解：方程x22x+m=0总有实数根，0，即44m0，4m4

9、，m1故选：D【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2用下列同一种图形，不能密铺的是( )A三角形B正五边形C四边形D正六边形【考点】平面镶嵌（密铺） 【分析】先求出任意多边形的内角和，正多边形的每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；正五边形每个内角是180°360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺利用排除法可知应选B故选B【点评】

10、本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°3如图所示，在O中，A=30°，则B=( )A150°B75°C60°D15°【考点】圆心角、弧、弦的关系 【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出B=C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可【解答】解：在O中，AB=AC，ABC是等腰三角形，B=C；又A=30°，B=75°（三角形内角和定理）故选B【点评】本题综合考查了圆

11、心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质解题的关键是根据等弧对等弦推知ABC是等腰三角形4在RtABC中，C=90°，sinA=，则tanB的值为( )ABCD【考点】互余两角三角函数的关系 【专题】计算题【分析】根据题意作出直角ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tanB【解答】解：sinA=，设BC=5x，AB=13x，则AC=12x，故tanB=故选：D【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用5一个圆锥的侧面展开图是半

12、径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )A1.5B2C2.5D3【考点】圆锥的计算 【专题】计算题【分析】半径为6的半圆的弧长是6，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是6，然后利用弧长公式计算【解答】解：设圆锥的底面半径是r，半径为6的半圆的弧长是6，则得到2r=6，解得：r=3，这个圆锥的底面半径是3故选：D【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键6如图，ABC中，AB=AC=18，B

13、C=12，正方形DEFG的顶点E，F在ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为( )A1B2C126D66【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质 【专题】几何图形问题【分析】首先过点A作AMBC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，易证得ADGABC，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案【解答】解：过点A作AMBC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H，AB=AC，AD=AG，AD：AB=AG：AC，BAC=DAG，ADGABC，ADG=B，DGBC，四边形DEFG是正方形，FGDG，FH

14、BC，ANDG，AB=AC=18，BC=12，BM=BC=6，AM=12，AN=6，MN=AMAN=6，FH=MNGF=66故选：D【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用7如图，已知O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是( )AOxBxC1x1Dx【考点】直线与圆的位置关系 【专题】综合题；压轴题【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交相切时，设切点为C，连接OC根

15、据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是所以x的取值范围是0x【解答】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC=1，OCPC，AOB=45°，OAPC，OPC=45°，PC=OC=1，OP=，同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数所以x的取值范围是0x故选A【点评】此题注意求出相切的时候的X值，即可分析出X的取值范围8如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），圆P与y轴相切于点O若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是( )A2B3C4D5【考点】直线与圆的位置关系；一次函数综合题 【专题】压轴题【分析】根

16、据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标【解答】解：直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），A点的坐标为：0=x+，x=3，A（3，0），B点的坐标为：（0，），AB=2，将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1，根据AP1C1ABO，=，AP1=2，P1的坐标为：（1，0），将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1，根据AP2C2ABO，=，AP2=2，P2的坐标为：（5，0），从1到5，整数点有2，3，4，故横坐标为整数的点P的个数是3个故选：B【点评】此题主要

17、考查了直线与圆的位置关系，以及相似三角形的判定，题目综合性较强，注意特殊点的求法是解决问题的关键二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）9一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，则a=1【考点】一元二次方程的定义 【专题】计算题；待定系数法【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+10且a21=0，然后解不等式和方程即可得到a的值【解答】解：一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一个根为0，a+10且a21=0，a=1故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2

18、+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定义10已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2cm，则此扇形的圆心角等于120度，扇形的面积是3cm2（结果保留）【考点】扇形面积的计算；弧长的计算 【专题】计算题【分析】设扇形的圆心角的度数是n°，根据弧长公式即可列方程求得n的值，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积【解答】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则=2，解得：n=120，扇形的面积是：=3（cm2）故答案是：120，3cm2【点评】本题考查弧长公式和扇形的面积公式，正确记忆公式是关键11如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是【考

19、点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义 【专题】网格型【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到ABC=AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cosABC的值，即为cosAED的值【解答】解：AED与ABC都对，AED=ABC，在RtABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cosAED=cosABC=故答案为：【点评】此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键12如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB的高为9m【考点】相似三角形的应用 【专

20、题】几何图形问题【分析】根据OCD和OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】解：由题意得，CDAB，OCDOAB，=，即=，解得AB=9故答案为：9【点评】本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键13若、是方程x22x3=0的两个实数根，则2+2=10【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系求得+=2，=3，则将所求的代数式变形为（+）22，将其整体代入即可求值【解答】解：，是方程x22x3=0的两个实数根，+=2，=3，2+2=（+）22=222×（3）=10故答案是：10【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系

21、数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法14如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都在格点上，那么ABC的外接圆半径是【考点】三角形的外接圆与外心 【专题】压轴题；网格型【分析】根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径=【解答】解：由图可知：ABC的外接圆半径=【点评】此题能够结合图形确定其外接圆的圆心，再根据勾股定理计算其外接圆的半径15如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，BCD=22°30，则圆O的半径为2cm【考点】垂径定理；等腰直角三角

22、形；圆周角定理 【专题】计算题【分析】连接OB，如图，根据圆周角定理得到BOD=2BCD=45°，再根据垂径定理，由CD是直径，弦ABCD得到BE=AB=，然后判断OBE为等腰直角三角形，则OB=BE=2【解答】解：连接OB，如图，BCD=22°30，BOD=2BCD=45°，CD是直径，弦ABCD，AE=BE=AB=×2=，在OBE中，BOE=45°，OBE为等腰直角三角形，OB=BE=2，即圆O的半径为2cm答案为2【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的性质16如图，在

23、RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，点D在AC上，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果ADED，那么线段DE的长为【考点】翻折变换（折叠问题） 【专题】压轴题【分析】由在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得EDB与CDB的度数，继而可得BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得答案【解答】解：在RtABC中，C=90°，A=30°，BC=1，AC=，将ADB沿直线BD翻折

24、后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD，ADED，CDE=ADE=90°，EDB=ADB=135°，CDB=EDBCDE=135°90°=45°，C=90°，CBD=CDB=45°，CD=BC=1，DE=AD=ACCD=1故答案为：1【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系17如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处当CEB为直角三角形时，BE的长为或3【考点】翻折变

25、换（折叠问题） 【专题】压轴题【分析】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得ABE=B=90°，而当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90°，所以点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，则EB=EB，AB=AB=3，可计算出CB=2，设BE=x，则EB=x，CE=4x，然后在RtCEB中运用勾股定理可计算出x当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形【解答】解：当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如答图1所示连结AC，在Rt

26、ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90°，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90°，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=53=2，设BE=x，则EB=x，CE=4x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4x）2，解得x=，BE=；当点B落在AD边上时，如答图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故答案为：或3【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等也考查了矩形的性质以及勾股定理

27、注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解三、解答题（共9小题，满分0分）18计算：（1）2sin60°+|；（2）（2）3+×0|+tan260°【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【专题】计算题【分析】（1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简即可；（2）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：（1）原式=32×+=3；（2）原式=8+3=5【点评】此题考查了实数的运算，

28、熟练掌握运算法则是解本题的关键19解方程：（1）x2+2x3=0； （2）3x（x2）=2x（x2）【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】（1）将3分解成1×3，从而得出两个一元一次方程，求解即可（2）先移项，然后对等式的左边利用提取公因式法对其因式分解【解答】解：（1）移项，得x2+2x3=0，（x1）（x+3）=0，x1=0或x+3=0，解得x1=1，x2=3（2）由原方程，得（3x2x）（x2）=0，即x（x2）=0，x=0或x2=0，解得x1=0，x2=2【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，此种方法比较简单，一定要掌握20如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC

29、三个顶点坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1（2）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出A2B2C2（3）求A1B1C1与A2B2C2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换 【专题】作图题【分析】（1）根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得出各点坐标，进而得出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1即为所

30、求；（2）如图所示：A2B2C2即为所求；（3）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，A1B1C1与A2B2C2的相似比为：1：2，：=1：4故答案为：1：4【点评】此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，得出对应点位置是解题关键21电动自行车已成为市民日常出行的首选工具据某市品牌电动自行车经销商1至3月份的统计，该品牌电动车一月份销售150辆，三月销售216辆（1）求该电动车销售量的月平均增长率；（2）若13月份每月销售量的增长率相同，该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元？【考点】一元二次方程的应用 【

31、专题】增长率问题【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2=216，解得x1=220%（不合题意，舍去），x2=20%答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）所以该经销商1至3月共盈利：（28002300）×（150+180+216）=500×

32、546=273000（元）【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键22如图，AB是O的直径，C是O上的一点，过点A作ADCD于点D，交O于点E，且=（1）求证：CD是O的切线；（2）若tanCAB=，BC=3，求DE的长【考点】切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题【分析】（1）连接OC，由=，根据圆周角定理得1=2，而1=OCA，则2=OCA，则可判断OCAD，由于ADCD，所以OCCD，然后根据切线的判定定理得到CD是O的切线；（2）连接BE交OC于F，由AB是O

33、的直径得ACB=90°，在RtACB中，根据正切的定义得AC=4，再利用勾股定理计算出AB=5，然后证明RtABCRtACD，利用相似比先计算出AD=，再计算出CD=；根据垂径定理的推论由=得OCBE，BF=EF，于是可判断四边形DEFC为矩形，所以EF=CD=，则BE=2EF=，然后在RtABE中，利用勾股定理计算出AE=，再利用DE=ADAE求解【解答】（1）证明：连接OC，如图，=，1=2，OC=OA，1=OCA，2=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，CD是O的切线；（2）解：连接BE交OC于F，如图，AB是O的直径，ACB=90°，在RtACB中，tanCAB=

34、，而BC=3，AC=4，AB=5，1=2，RtABCRtACD，=，即=，解得AD=，=，即=，解得CD=，=，OCBE，BF=EF，四边形DEFC为矩形，EF=CD=，BE=2EF=，AB为直径，BEA=90°，在RtABE中，AE=，DE=ADAE=【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质23如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方

35、向求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：1.41，2.45）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【专题】几何图形问题【分析】先过点C作CPAB于P，根据已知条件求出PCB=PBC=45°，CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在RtPCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案【解答】解：过点C作CPAB于P，BCF=45°，ACE=60°，ABEF，PCB=PBC=45°，CAP=60°，轮船的速度是45km/h，轮船航行2

36、小时，BC=90，BC2=BP2+CP2，BP=CP=45，CAP=60°，tan60°=，AP=15，AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41100（km）答：小岛A与小岛B之间的距离约100km【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键24如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CFAB，垂足为点F，求CF的长；（3）如

37、图2，连接OD交AC于点G，若=，求sinE的值【考点】圆的综合题；平行线的性质；含30度角的直角三角形；切线的性质；锐角三角函数的定义 【专题】几何综合题【分析】（1）连结OC，如图1，根据切线的性质得OCDE，而ADDE，根据平行线的性质得OCAD，所以2=3，加上1=3，则1=2，所以AC平分DAB；（2）如图1，由B为OE的中点，AB为直径得到OB=BE=2，OC=2，在RtOCE中，由于OE=2OC，根据含30度的直角三角形三边的关系得OEC=30°，则COE=60°，由CFAB得OFC=90°，所以OCF=30°，再根据含30度的直角三角形三

38、边的关系得OF=OC=1，CF=OF=；（3）连结OC，如图2，先证明OCGDAG，利用相似的性质得=，再证明ECOEDA，利用相似比得到=，设O的半径为R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在RtOCE中，根据正弦的定义求解【解答】（1）证明：连结OC，如图1，DE与O切于点C，OCDE，ADDE，OCAD，2=3，OA=OC，1=3，1=2，即AC平分DAB；（2）解：如图1，直径AB=4，B为OE的中点，OB=BE=2，OC=2，在RtOCE中，OE=2OC，OEC=30°，COE=60°，CFAB，OFC=90°，OCF=30°，OF=OC=1，

39、CF=OF=；（3）解：连结OC，如图2，OCAD，OCGDAG，=，OCAD，ECOEDA，=，设O的半径为R，OE=x，=，解得OE=3R，在RtOCE中，sinE=【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义；会根据含30度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算25如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在RtABC中，C=90°，tanA=，求证：ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，ABC=2，点P，Q从点A同时出发，

40、以相同速度分别沿折线ABBC和ADDC向终点C运动，记点P经过的路程为s当=45°时，若APQ是“好玩三角形”，试求的值【考点】四边形综合题 【分析】（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则ABC是所求作的三角形；（2）取AC的中点D，连接BD，设BC=x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；（3）当=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出=，