高中数学概念教学策略实践研究

1、高中数学概念教学策略实践研究i摘要概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基木技能教学的核心，止 确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环，本文就如何进行新课 标下的数学概念的教学提出一些看法。关键词：数学概念，概念教学，教学策略，数学索养u目录i摘要1ii目录21问题的提出12研究的意义22.1理论意义22.2实践意义23核心词语的界定23.1什么是“概念”23.2什么是“概念教学”34概念教学的基本要求34.1经历数学概念的探索过程，感知数学概念的形成342例举丰富的实例，积累认识数学概念的经验44.3寻找新旧知识之间的联系，在辨析中掌握数学概念44.4阅读数

2、学概念，培养学生学习数学概念的能力44.5关注数学的文化价值，提高学生的文化素养55概念教学的基本环节55.1理解概念55.2教学设计65.3后继课程86概念教学实践应注意的问题96.1注意直观教学96.2准确给出含义96.3克服形式主义106.4灵活运用各种数学语言106.5帮助学生明确概念学习的意义106.6切勿让学生死记硬背10参考文献10致谢111问题的提出中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念的，不 是玩技巧。技巧不足道也！高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本 思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生

3、逐 步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基木概念的来龙去脉。在教学中要引导 学生经历从具体实例抽象岀数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。然而， 在教学实践中，很多教师不注重概念教学，1教学内容增多新课标下高中数学内容的增加，给高中数学教师带来挑战。另一方面，模块教学的要 求，几乎每一节课都是新课，使教师没有更多的时间上习题课，讲评作业，甚至做检测， 这对于课堂教学的耍求大大提高了。面对新的挑战，如杲我们还想以往那样上课，显然不 行。以往的课堂的不足，教师还可以冇课时以大量的解题操练作为弥补，曲于内容的相对 少，时间充裕，能有一些成效。但新课改后，内容的增多，没有课时给学生大

4、量的操练， 如何让学生学会数学呢？2. 教学层面的问题以往的教学，课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想 主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必 要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中 效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。3. 教师的问题对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；冇些 老师不知如何教概念.概念教学走过场，常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概 念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括木质特征的机

5、会，以解题教学代替 概念教学，认为让学生多做几道题目更实惠。i大i此，我和同事们针对高中数学概念教学开始了新的探索，经过半年的实践反思再 实践再反思，有了一些初步的成果。2研究的意义2.1理论意义本课题的理论基础是建构主义理论。建构主义理论的内容很丰富，但英核心只用一句 话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义 的主动建构（而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑屮传送到学生的笔记本上）。建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背 景卜，借助学习是获取知识的过程其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必耍的学 习资料，通过

6、意义建构的方式而获得。建构主义捉倡在教师指导下的、以学习者为屮心的学习，也就是说，既强调学习者的 认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知 识的传授者与灌输者。学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的 被动接受者和被灌输的对彖。2.2实践意义随着新课改的深入，对教师的要求越來越高。本课题的研究，使教师站在高起点上认 识数学，理解数学。围绕数学核心概念、思想方法进行教学；在挖掘知识所蕴含的价值观 资源上狠卜功夫。并能进行有效的教学设计，使学生的数学思维能力得到发展。3核心词语的界定31什么是“概念”概念是反映事物本质属性的思维形式。正确的概

7、念是科学抽象的结果。人们在实践的 基础上得到了丰富的感性认识材料，经过“透过现象看本质”的过程，舍掉事物的次要属 性，保留事物的木质属性，进而形成了概念。任何概念都有含义、意义。概念的内涵就是 指反映在概念中的对象的木质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象。概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的；概念的外延式概 念的量的方面，通常说的概念的适应范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是那些事 物。概念的内涵和外延式来那个个密切联系、互相依赖的因素。每一个科学概念都有其确 定的内涵和外延。32什么是“概念教学”原来，我们对概念教学的理解，通常是指概念课的教学，即

8、学习新概念的这一节课的 教学。经过探索，我们发现，这样的认识很狭隘。学生掌握一个数学概念，不是一节课或 几节课就已完成的，有的需要一段吋间，才能真正掌握。例如函数的概念，极限的概念等 等。因此，概念教学包描概念课以及后继课，只是重点不同罢了。概念教学的目标是让学生能够明确概念的内涵和外延，即明确概念所反映的对象具有 什么木质特征，明确概念所指的是哪些对象。4概念教学的基本要求本课题主耍采用案例分析、研讨交流等研究方法。高中数学每个概念的教学都经历了 对概念的理解一教学设计一课堂观察一反思一后继跟进的过程，使得我们对于这些概念的 教学有了一定的认识，并形成概念的基本环节，具体操作如下：41经历数

9、学概念的探索过程，感知数学概念的形成在数学概念教学中教师往往善于讲“一个定义三个注意”等，忽略了创设让学生感知 数学概念形成的情境，这样学生不但记不住概念，也很难理解概念的实质，更谈不上准确、 灵活运用了。所以教师在教学屮要创设条件，让学生经历数学概念的探索过程，感知数学 概念的形成。如在椭圆概念的教学中教师可设计这样的教学活动：课前让每个学生准备一 条细绳（无弹力），课上学生分组进行如下操作，在一块纸板上取两个定点，将一条细绳 的两端分别固定在两个定点上，用笔尖将细绳拉紧并使笔尖在纸板上慢慢移动一周。这吋 讣学生观察在纸版上得到的图形（即椭圆），学生在操作过程中体会椭圆概念的形成过程。 在学

10、生得到椭圆概念后，教师可进一步提问：如果调整两个定点的相对位置而细绳的长度 保持不变，图形还会是椭圆吗？如果是，现在的椭圆图形和原来的椭圆图形比较有怎样的变化？学生在操作时思维往往只停留在问题的表面，通过上面问题的设计，能够引导学生 深入思考，发现椭圆概念的木质特征。学生经历了椭圆定义的探索过程，真实地感知了数 学概念的形成，对概念的理解会更加准确而深刻，为后面研究椭圆的几何性质打下了基础。4.2例举丰富的实例，积累认识数学概念的经验数学知识在生活实践屮有着重要的作用。让学生从实际情境屮发现问题，积累认识数 学概念的经验，学生不仅更易理解抽彖的数学概念，而且能认识到数学是有用的，我要用 数学，

11、我能用数学。如在导数概念的教学中，可通过实例让学生经丿力从平均变化率到瞬时 变化率的过程，进而了解导数概念的实际背景以及瞬吋变化率就是导数，体会导数的思想 和内涵。再如，集合虽是一个不加定义的概念，但在教学中更要结合学生的生活经验和已 有的数学知识，通过丰富的实例使学生了解集合的含义。可举例：班级高个了男生可否构 成-个集合？（2）班级个子最高的男生可否构成一个集合？通过对上面两个例子的判断， 让学生明口集合概念的特征，即集合中的元素是确定的。如果时间允许，也可以让学生自 己举例。在丰富的实例中，学生能够积累认识数学概念的经验，从而达到理解概念木质的 口的。4.3寻找新旧知识之间的联系，在辨析

12、中掌握数学概念.数学屮有许多概念都有着密切的联系，如映射与函数、平而角与空间角、函数与方程、 对立事件与互斥事件等，教师在教学屮应善于寻找、分析其联系与区别，这样有利于学生 掌握概念的本质。例如函数概念的学习和理解可以说贯穿高中数学学习的始终。在函数概 念的教学中，教师可引导学生先回顾初屮学过的函数概念，在尝试列举各种各样的函数后, 构建函数的一般概念。在学完映射的概念后，对比、辨析映射与函数概念的联系，进一步 弄清高中阶段函数的定义。在后来对指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等具体函数 的研究屮，加深对函数概念本质的理解。像函数等核心概念需要多次接触、反复体会、逐 步加深理解，才能真正掌握

13、。而新旧知识的联系与辨析可以使新的概念在原有知识的基础 上达到同化、进而内化。4.4阅读数学概念，培养学生学习数学概念的能力许多学生在学习数学知识时往往重课堂轻课本，缺乏阅读数学概念的习惯。数学课木 是数学知识的载体，教师的讲授无论水平多高，也不及教材小概念、定理等内容表述得准确和清楚。在课堂上教师引导学生阅读课本中关于概念的论述并进行适时、适当点拨，不 仅可以发挥概念、符号的规范作用，提高学生的文字表达能力和自学能力，还可以引发学 生对概念更深层次的挖掘和理解。例如在讲授解析几何这一章节吋有一个重耍概念“曲线 与方程”，由于教材中对此，概念的表述较为抽象，学生理解起來有困难，导致解题时运 用

14、不准确，教师可引领学生逐字逐句阅读教材，让学生对文字细细体会、斟酌、辨析后再 做习题。在收获了成功的喜悦后，学生会逐步养成阅读课本的好习惯，使学习收到事半功 倍的效果。4.5关注数学的文化价值，提高学生的文化素养数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物。在数学概念的教学中，适 当介绍与数学概念产生和关的丿力史事件和人物，不仅可以激发学生的学习兴趣、开阔视野, 了解概念产生的社会及历史背景，还可以逐渐提高学生的文化素养，养成求实、说理、批 判、质疑等理性思维习惯和锲而不舍的追求真理的精神。例如在对数概念一课的学习中， 可让学生课前收集与对数发展和关的资料并在课堂进行交流。通过这种方式，

15、学生不仅能 够了解对数概念产生的历史背景不仅仅是为了解决生活屮航海、天文学屮数的繁杂计 算，更重要的是将对数与指数概念联系起来，这对数学的发展是非常重要的。再如学到解 析儿何学科和微积分部分时，可以向学生介绍解析儿何的创始人是笛卡尔，微积分的创始 人是牛顿、莱布尼茨，以及他们在文艺复兴后对科学、社会人类思想进步的推动作用；当 进行到复数这一章的教学时，可以向学生介绍数系的发展和扩充过程等。通过上述学习， 学生会对科学家充满崇敬，对新知识的学习充满期待。有了这样的心态，学生就一定能够 学好高中数学。5概念教学的基本环节5.1理解概念教师做好概念教学，首先基于对概念的理解。这里对概念的理解指的是：

16、概念的背景、 发展；内涵和外延；与其它概念的联系；概念的课标要求，分儿个阶段认识、理解、掌握 概念。例如函数这个概念，它是数学学科的重要概念，也是高中数学的一个核心概念。从常量数学到变量数学的传变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具冇重要意义。从对函数的不同认识阶段看：初屮以“变量说”定义函数，重点是借助一次函数、二 次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接 体验，体会函数的意义,形成用函数解决问题的直接经验.高中数学以“对应说”定义函数, 引进数字以外的符号(y二f (x)中，f不代表数，与x ,y的含义非常不同)表达函数

17、，进 一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体,给出研究函数性质的 方法和过程的示范,进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用， 使学生形成用函数概念研究具体问题的“基木规范”。从研究函数的方法上：对于“基木初等函数”的研究，是通过对指数函数、对数函数、 幕函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在“基本初等函数”的 应用屮，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基木数学模型，体验指数函数、对数函 数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解所以, 本单元的核心任务就是:建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号

18、的意义，了解函数 中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的“基木规范”。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数 列、排列组合、极限和微积分等都与两数知识有直接的联系。例如：另外，函数还是数学的后续发展的基础，同吋在物理、化学等自然科学屮有着广泛的 应用，在解决生产生活中的实际问题吋，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函 数的学习非常重要，应当给予充分的重视。5.2教学设计数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉, 我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大 量实例分析分析概念的木质属

19、性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。 才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入一一概念的形成一一 概扌舌概念-明确概念应用概念形成认知。1、概念引入学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义、作用。因此，教师应设置合理的 教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概 念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分 丄数指数幕时，教材上只是给出定义:«，=>0)o为什么引入分数指数幕呢？教师可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、

20、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数 的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因 数相乘吋，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也耍让学生了解其 规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统 一为乘法；那么分数指数幕的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。另外，许多新概念的研究是与与之相似的概念类比进行的。例如，类比指数的运算法 则引出对数的运算法则；类比指数两数引出对数两数等等。从实际问题出发的引入。屮学数学概念与实际生活有着密切的联系，让学生了解概念 的实际背景，有利于学生认识学习数学的作

21、用，同吋也能激发学生学习数学的兴趣。函数 是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数概念的引入就口j以用学生熟悉的实际问 题，如时间、速度、路程的关系；生产屮的函数关系，气温变化，买卖上晶屮的函数关系 等，引入函数概念。再如指数函数的引入，教师可以让学生做一个折纸游戏：将一张厚度 为0.1毫米的报纸进行对折1, 2, 3,，30次，你知道会冇多高吗？若对折x次，得到 高度为y,y与x有怎样的关系？学生很感兴趣，动手去折，折到7-8次，就折不动了。用 计算器算一算，对折30次，得到约为1087千米。并且得到丁 = 2'(兀0)这个函数。这样 引入，即让学生体会到生活屮的指数函数，而且述感

22、受到了指数函数的增加的速度，体会 指数爆炸。2、概念的形成概念的形成阶段，教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综 合等活动，揭示概念的本质。例如，在引入偶函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉 的函数/w = x2,g(x)=|x|的图像，学生很容易看出图像关于y对称。教师提出问题：你能 从数的角度说明它问什么关于y对称吗？学生根据初中对对称的认识，发现自变量x的值 对称着取，观察他们的函数值。于是，学生计算了，f(l),f(-l),f(2),f(-2),f(3),f(-3), 学生猜想，x取互为相反数的两个值，他们的函数值相等。教师追问：是对所有的x都成 立吗？于是，学生

23、计算f(-x)与f(x),发现相等。然后教师给出这类函数的名字为偶函数。3、概念的概括概括是概念教学的核心。概括就是在思想上把从某类个别事物屮抽取出来的属性，推 广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识。概念教学中把握好概念 扌舌概念这一环节，有利于学生概括能力的培养。概括概念就是让学生通过前面的分析，比 较，把这类事物的共同特征描述出来，并推广到一般，即给概念下了个定义。前面偶函数 的例子屮，教师就可以让学生概念括偶函数的定义了。学生概括为：设函数若满 足/(-x)= /(%),则这个函数叫偶函数。虽然不完善，但偶函数的木质已经出来了。教师接着给出问题：函数）u/，xw（-l

24、,2是偶函数吗？设计意图让学生关注偶函数的意义域的 特征，进一步完善定义。这样进行概念教学，不仅能扳住学生理解概念，而冃能够培养学 生的思维能力。4、明确概念明确概念即明确概念的内涵和外延。明确概念，就是要明确包含在定义屮的关键词语。 例如：偶函数的定义是：设两数 = /（“）的定义域为d,如果对d内的任意一个x,都冇 * £且f（-x） = f（x）,则这个函数叫偶函数。教师在教学中，叮以通过举例说明，也叮以让学生举例，从而 可以加深学生对概念的理解。从概念的形成（貝体）到明确概 （具体）形成一个完整的概念认知过程。定义中的“任意”的含义，定义域的特征：关于原点对称；解析式的特点，

25、都需要学 生明口无误地理解。因此， 发现问题。特别是举反例， 念（一般），再到举出实例5、应用概念为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念在掌握概念的过程中， 去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用于理解同步的过程。例如函数 的奇偶性明确奇函数和偶函数的概念后，可以让学生判断下列函数的奇偶性：/= f+1；/（x） = x + x3. f（x） = x3-x + l ./(兀)=|x|,xg-1?3；/(x) = o,xw r的目的是让学生理解判断函数奇偶性的两种方法：定义和图像，并规范解题格式。是一个奇函数。满足/二/（一 1）,但是非奇非偶函数。具有奇偶性的函数的

26、定义域关于原点对称既奇又偶函数。这是学生能用概念判断面临的某一事物是否屈于反映的具 体对象，是在知觉水平上进行的应用。概念的应用也可以与其他原冇概念结合，进行思维水平上的应用。6、形成良好的数学认知结构学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念z间的关系，从 而把新概念纳入概念体系屮，即在概念体系屮进行概念教学。例如，函数的奇偶性是函数 的一种性质，它与定义域、值域，单调性一样是我们今后研究函数的性质的一种。5.3后继课程认识论原理指出，人们对事物本质的认识不一可能一次性完成，需要经历一个由感性 认识到理性认识的循环往复过程；同时，出于事物不可能孤立地存在，因此必须用联系的

27、观点才能认清事物的木质。因此，对于概念教学的规律，我们也应该从过程和联系两个角 度进行考察。也就是把概念放到相应的概念体系中去，考察它的来龙去脉，不仅要知道学 习这一概念需要怎样的基础，还要知道掌握它以后能干什么。从而帮助学生形成结构功能 强大的概念体系。概念教学不等同于概念课的教学。一个概念的学习，不仅仅是一节概念可就能完成的。 对概念的理解与掌握是一个循序渐进的过程，需要在概念课的后继课程中不断的反复应 用，不断的加深理解。例如在学习指数函数后，利用指数函数的性质比较大小:1.72-51.7学生能够做对， 但是说不清楚为什么。学生知道利用的是指数函数的单调性，但却把!-7251.73这两个数当 成函数，说明学生对于函数概念，函数值，用函数观点看问题，都需要再次理解。因此， 教师在这里就要对函数等概念再次指导学生理解，指导学生从函数观点看这两个数，他们 是函数y=hr的两个函数值，比较函数值的大小，通过研究函数的单调性来解决。每一个 概念的学习，都不是一蹴而就的，概念课的后继课对原冇概念的理解依然很重要。6概念教学实践应注意的问题6.1注意直观教学让学生了解研究对象，多采用语言直观、教具直观、情境直观、视觉育观等教学手段, 引导学生从具体到抽象，经概括和整理后形成新的知识，或从旧知识的发展中形成新知识。6.2准确给出含义对一些基本（原始）概念，不宜定义的也