一元二次方程根的分布

1、0，2b2 4ac【定理2】X10 ,X2x1x2一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及， 但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定 理)的运用。函数与方程思想：若 y = f (x)与x轴有交点x0f( x0 )=0若 y=f(x)与 y=g (x)有交点(x°， y°)f (x) = g(x)有解 x。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布 的充要条件及其运用。推论：x10 , x20x1x2b2 4ac a 0 f(0) c b

2、0一.一元二次方程根的基本分布 零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根, 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在 零的两侧。由二次函数图象易知它的正确性。 【例2】若一元kx2 3kx取值范围。次30的两根都是负数,12亠 或 k>3)5【定理3】0x2设一元二次方程ax2 bx c 0 ( a0)的两个实根为xi, X2，且xix2。c 0 a一元二次方程af(0) c 0b 4ac 00【定理1】x10 ,x0 (两个正根)X1X2b，0axmc0ab2 4ac0b24ac 0推论：x-i0

3、, x20a 0或a0b2 4ac 0f(0) c 0f (0) c 0b 0b 0【例3】k在何范围内取值，k 30有一个正根和一个负根?k 3,<0=>0< k <3kkx2 3kx分析：依题意有【定理4】1 x10 ,x20上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】 若一元24(m 1) 4m(m 1) 0m的取值范围。A J/, If s0r >0A ,亠 1八/ a/丨°Ao0 且0。a Xj 0,x20 c_2【例4】若一元二次方程kx (2k1)x k 30有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k 3=0,. k =3，代入原方程

4、得3x2+5x=0,另一根为负。分析：依题意有2(m 1) 00<m <1。m 1二.一儿二次方程的非零分布一一k分布设一元二次方程 ax2 bx c 0 ( a 0)的两实根为x1, x2，且x1 x2。k为常数。 则一元二次方程根的k分布(即x1, x2相对于k的位置)有以下若干定理。0m 1【定理1】k【定理2】Xi4ac 00baf(k)X1X2f(kj0f(kj0x1k2p1x2p2f(k2)0或f(k2)0f (P1)0f(Pj0f (P2)0f(P2)04推出，请读者自证。b24ac 0b2 4ac0a 0a0x1x2 k2f (k1)0或f(kj 0f(k2)0f(

5、k2) 0bbk1-k2k1 k22a2a【定理5】k1此定理可直接由定理【定理6】k1a 0a 0【定理3】Xi推论1 X1推论2i * z* .h上ZoI1空akb2aM')A 、Jc711 cOX0。b c) 0。X2af (k) 0。X2aca(aXiX2h 1 /、0住:/炳£V ,X 2a''卜i巒ax211x m 2三、例题与练习【例5】已知方程(129)(12 m 4(2) 若一元二次方程(m 2或 m 5(3) 若一元二次方程(m -或 m2【例6】已知方程(<2(1 -2(2 )已知方程(-2(3)已知方程x2式：改为较小实根的两实根

6、都大于1,求m的取值范围。mx2 (m 1)x2、. 6)mx2 (m 1)xx22、6)0的两个实根都大于-1 ,求m的取值范围。0的两实根都小于2，求m的取值范围。2mx 2m2二)22)x 2m0有一根大于2，另一根比2小，求m的取值范围。2XZ)3(m 2)x 2m 1(不可能；-2(m0有一实根在 0和1之间，求 m的取值范围。0的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。 变m 2)(4)若方程x2 (k 2)x k 0的两实根均 在区间(1、1 )内，求k的取值范围。令 f (x) =x2+12 x+6a +3(42 3k1 -) 2(5)若方程x2(k2)x2k10的两根中，一

7、根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围。(1k2)23(6 )已知关于x的方程(m1)x2 2mx m2m 60的两根为、且满足(1)若抛物线 y=f(x)与x轴相切，有 =144 - 4(6 a +3)=0即a = U。201 ，求m的取值范围。(3 m .7或2 m .7)【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义技巧与方法：设

8、出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制 解：(1)条件说明抛物线出示意图，得f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1, 0)和(1, 2)内，画mf(0) 2m 10,f( 1) 2 0,mf(1) 4m 20,mf(2) 6m 50m12R,.5丄，6(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 11111将a = 一代入式有x = - 6不满足式，.a丰一。22(2)若抛物线y=f(x)与x轴相交，注意到其对称轴 为x = - 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式 的充要条件f ( 20)&#

9、39;f(0) 0.当進6另法：原方程等价于问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y =826a - 3与抛物线y = x+20x(x< 20或x>0)有且只有 一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为x2+12X+3=-6a( x<-20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛 物线y = x2+12x+3和直线y =-6a，如图，显然当 3< -6a < 163 即 1636有且只有一个公共点。3.已知 f(x)=(x a)(x b) 2(a<b),并且解得2'12'2或 m 1

10、2,m 0.(这里0<- nr1是因为对称轴x=- m应在区间(0, 1)内通过)163a61时原方程有唯一解。22x +20 x =8 x - 6a - 3( x< - 20 或 x>0)x -，y/ . - 61 O/ x-20 J/a 1时直线y=- 6a与抛物线2m1练习：1. 若方程 4x (m 3)?2x m提示：令2x = t转化为关于t的一2. 若关于x的方程围。lg(x20有两个不相同的实根，求 m的取值范围。次方程有两个不同的正实根。答案：0<m<10有唯一的实根，求实数 a的取值范则实?数 a , b ,、的大小关系是()A、<a<b<B、a <<< bC方程f (x) = ax2 bxc =0( a >0)的两个根都大于A、 > 0 且 f (1)>0B、上af (1)>0 且一>2bacC、 > 0 且->2 ,>1ba > 0 且 f (1)>