(完整word版)高等数学二重积分讲义试题答案

1、第七章多元函数积分学 7.1 二重积分(甲)内容要点一、 在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序序问题模型 I I:设有界闭区域D 二x,y) a 一 x 一 b, (x) _ y _ 2(x)其中i(x),2(x)在a,b上连续，f (x, y)在D上连续，则b-2(x)iif(x,y)d；丁二f(x,y)dxdy二dx f(x,y)dyDDa模型 IIII:设有界闭区域D =x, y)c 兰 y 兰 d, i(y)兰 x其中i(y),2( y)在c,d上连续，在D上连续则iif(x,y)d；：=f(x,y)dxdy二dy f (x, y)dxDDc (y)关于二重积分的计算主要

2、根据模型I I 或模型 IIII，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域D D如果既不符合模型 I I 中关于 D D 的要求，又不符合模型 IIII 中关于 D D的要求，那么就需要把 D D 分解成一些小区域， 使得每 一个小区域能够符合模型I I 或模型 IIII 中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和， 而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过 来化为二重积分，求出它的积分区域D D，然后根据 D D 再把二重积分化为

3、另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定二对 进行积分，然后再对 二进行积分，由于区域D D的不同类型，也有几种常用的模型。模型 I I 设有界闭区域D J.(，巧：_ 二 _ 二 心 _-2其中(),：2(二)在，：上连续，f(x, y) = f( cosd si n71)在D上连续。则模型P吸日iif(x, y)d二二f ( cos, sin d d：-! f ( cos, si n) dDDa 9(8IIII 设有界闭区域D貝丫月)a e P, OWY兰(0)其中l 剌 fl)打V)在，订上连续,f(x, y)=f(

4、 cos = , si n二)在D上连续。X2!jf(x,y)d；-f(COST, sinv)ddv - dr f(COST, sinv) dDD0（乙）典型例题一、二重积分的计算2例 1 1 计算 jjjje edxdy，其中 D D 由 y=x,y=1y=x,y=1 和 y y 轴所围区域D1 12 2解： 如果11 e dxdy = dx e* dyD0 x2那么先对ey求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。i y2 2edxdy二dy edxD002这时先对 x x 积分，e*e*当作常数处理就可以了。原式i= =yedy0例 2 2 计算11y - x |dxdy|x|0勺空1

5、x2_ _解：原式= =Jdx jjx2- ydy + jjy x2dyAx221223=-3(X2-y2)232121| x |3dx(2 -32123dx 3 (y -x )23J325二x2)2dx= _ 32心dxy=0例 3 3 求I二(x2y2y)d二DX2+ y2乞4D:/2(x 1)2y-1解一：.I: I 11DD大圆D小圆D大圆y2+ y = ff Jx2十 yQ+0(对称性)D大圆2二2=d 丁 r2dr = 一 二30 0ffD小圆37：2-2COS011. x2y2d匚0. r2drD小圆0=32_ 9ill x2y2yd =162)D9X2222解二：由积分区域对称

6、性和被积函数的奇偶性可知I I .X2y2d；- 2I I.X2y2dcDD上原式=2 I JJ Jx2+ y2de + ”Jx2+y2db,D上1D上222n 2=2 JdJr2dY+Jd日J r2dr00_2cos A-2_4416、116 “c=2|- n+(-)= = (3 兀-2)3399二、交换积分的顺序2a2ax例 1 1 交换.dx . f (x, y)dy 的积分顺序02 ax _x2解原式二.f (x, y)dxdyD其中 D D 由y =f2ax - x2和y二2ax以及D FUD2UD32y -2ax 解出x = -由2a_y =、2ax - x2解出 x = a 二

7、a2_ y2因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得例 2 2 设f (y)连续，证明avavsin,贝 Vdxc o Sd,t】dxxf(y)00(a-x)(x-y)dyf(a)-f(O)证明：交换积分次序a ady f (y)0dx拧)+2o-JaaTa2y2原式二dyf (x, y)dx dy0a2a2a 2af(x,y)df (x, y)dx02aaa2-y2令x _aa2 - COStf(y)dy.是dt0-ycost22-f (y)dyf(a) f(0)0三、二重积分在几何上的应用1 1 求空间物体的体积例 1 1 求两个底半径为 R R 的正交圆柱面所围立体的体积2 2 2 2 2 2解 设两正交圆柱面的方程为x y二R和x z=R，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积Vi二.R2_x2dxdyD其中D为O_X_R, o_y_ R2-X2RR2Tx2R2因此Vi二dxR2x2dy二(R2-x2)dx = ? R30003而整个立体体积由对称性可知V =8 V16R3例 2 2 求球面x2y2z2=4R2和圆柱面 x2 y2=2RX（R 0）所围（包含原点那一部分）的体积解V,