求数列通项公式的十一种方法

1、名师推荐精心整理学习必备求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）特征根法、二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

2、五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：an 1anf ( n) - 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2若 an 1anf (n) (n2) ，则a2a3a1a2f (1)f (2)an 1anf (n)n两边分别相加得an 1a1f (n)k 1名师推荐精心整理学习必备例 1已知数列an 满足an 1an2n 1 a1 1，求数列 an的通项公式。，解：由 an 1an 2n 1 得 an 1an2n1则an (anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) ( a2a1) a12( n 1)12( n2)1(2 21)(211)12

3、(n1)(n2)21(n1)12 (n1)n(n1)12(n1)(n1)1n2所以数列 an 的通项公式为 ann2 。例 2已知数列 an 满足 aa2 3n 1，a3 ，求数列 an 的通项公式。n 1n1解法一：由 an 1an2 3n1得 an 1an2 3n1则an ( anan 1 ) (an 1an 2 )(a3a2 ) (a2a1) a1(23n 11)(23n 21)(2321)(2311)32(3n 13n 23231 )(n 1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1所以 an3nn1.解法二： a3a23n1 两边除以3n 1 ，得 an1an211，

4、n 1n3n1n33n3则an 1an213n 1n33n 1 ，故3ananan 1)(an 1an 2an 2an 3a2a1a1n(nan 1an 13n 2 )(n 2n 3 )(21 )3333333212121213(3n )(3n 1 )(n 2 )(32 )3333332(n1)(1111113nnn 13n22 )3333名师推荐精心整理学习必备1n1因此an2(n 1)3n(13)2n11，3n31312233n则 an2n 3n13n1 .322练习1. 已知数列an的首项为1 ，且an 1an2n(n N* )写出数列an的通项公式 .答案： n 2n1anan 11

5、an a13(n 2)练习2.已知数 列满足，n(n 1)，求此数列的通项公式 .an12答案：裂项求和n评注：已知a1aan 1an f (n)，其中 f(n) 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函,数、分式函数，求通项an .若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列 an 中 ,Sn1 (ann ),求数列 an 的通项公式 .an0 且2anSn1 ( ann )

6、Sn1 (SnSn 1n)解 :由已知2an得2SnSn 1,化简有 Sn2Sn21n ,由类型 (1)有 Sn2S1223n ,2n(n1)sn2n(n1)又 S1a1 得 a11 ,所以 Sn2,又 an0 ,2,2n(n1)2n(n1)an则2此题也可以用数学归纳法来求解.名师推荐精心整理学习必备二、累乘法1.适用于：an 1f (n)an - 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。an 1a2a3f (2)，an1f (n)2若f (n) ，则f (1)，ana1a2anan1n两边分别相乘得，a1f (k )a1k1例 4已知数列 an 满足 a2(n 1)5n a ， a

7、3，求数列 an 的通项公式。n 1n1解：因为 an 12(n 1)5n an，a13 ，所以 an0 ，则 an 12(n 1)5n ，故anaanan 1a3 a2 ananana2 a11122( n11)5n 1 2( n21)5n 2 2(21)52 2(1 1)51 32n1 n(n1)3 25(n 1)( n 2)2132n 1n (n 1)35 2n!所以数列 a n1n (n1)2的通项公式为an325n!.n例 5.设 an 是首项为1 的正项数列，且n1 an21nan2an 1 an0 （ n =1 ， 2， 3， ），则它的通项公式是an =_.解：已知等式可化为：

8、( an 1 an ) (n 1) an 1 nan 0an1nan0 ( nN * )(n+1) a n 1na n0 ,即 ann 1ann 1n2 时， an 1nananan 1a2a1n 1 n 2111an 1an 2a1=nn 12= n .名师推荐精心整理学习必备评注： 本题是关于an 和 an 1 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与a n 1的更为明显的关系式，从而求出an.练习 .已知 an 1nann1, a11,求数列 an 的通项公式 .答案：an (n 1)! (a1 1) -1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an 1na n

9、n1, 转化为an 1 1n(an1), 若令 bn an1,则问题进一步转化为bn 1nbn 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式 .三、待定系数法适用于 an 1 qanf (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如an 1 can d, (c 0,其中a1a)型（ 1）若 c=1 时，数列 an 为等差数列 ;（ 2）若 d=0 时，数列 an 为等比数列 ;（ 3）若 c1且d0 时，数列 an 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求 .待定系数法：设an 1c(an) ,得 an 1can (c 1) ,与

10、题设 an 1 can d, 比较系数得d, (c 0)andc(an 1d )(c 1)d ,所以 c1所以有：c 1c1dda na1因此数列c 1 构成以c 1 为首项，以 c 为公比的等比数列，名师推荐精心整理学习必备and( a1d ) cn 1an(a1d ) c n 1d所以c 1c 1即：c 1c 1 .规律：将递推关系 a n 1cand 化为an 1dc( and )c1c1,构造成公比为c 的等比数列 and an 1dc n 1 (a1cd )c1从而求得通项公式1c1逐项相减法（阶差法） ：有时我们从递推关系 an 1cand 中把 n 换成 n-1 有 an ca

11、n 1 d ,两式相减有 an 1anc(anan 1 ) 从而化为公比为 c的等比数列 an 1 an ,进而求得通项公式 .an 1 an c n (a2a1 ) ,再利用类型 (1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂 .例 6 已知数列 a 中， a1 1, an2an 1 1(n 2) ，求数列a 的通项公式。nn解法一：an2an 11(n2),an12(an 11)又a112,an1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列an12n ，即 an2n1解法二：an2an 11(n2),an 12an1两式相减得 an 1an2(anan 1 )(n2) ，故数列an 1an 是首

12、项为 2，公比为 2 的等比数列，再用累加法的 a1 2, an 111, an an2练习已知数列中，2求通项 an 。an( 1 ) n 11答案：2名师推荐精心整理学习必备an 1paq n2形如：n(其中 q 是常数，且 n 0,1)若 p=1 时，即： a n 1anq n ，累加即可 .若p1时，即：an 1panq n，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以pn 1 .目的是把所求数列构造成等差数列an 1an1 pnbnanbn 1bn1 pnp n 1q n( )p n( )即：p q,令p q,然后类型1，累加求通项 .，则n 1ii. 两边同除以 q. 目的是把所求数

13、列构造成等差数列。an 1pan1即：q n 1qq nq,bnanbn 1p bn1令q n,则可化为qq .然后转化为类型5 来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 a n 1q n 1p(anpn ) .通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列 ana2a 4 3n 1，a 1，求数列an的通项公式。满足n 1n1解法一（待定系数法） ：设 an 113n2 (an3n 1 ) ，比较系数得14,22，则数列an 4 3n1是首项为 a14 3115 ，公比为2 的等比数列，所以 an4 3n

14、 15 2n 1 ，即 an4 3n 15 2n 1q n1an12an4解法二（两边同除以）： 两边同时除以3n 1得： 3n133n32，下面解法略p n1an1an4(3)n解法三（两边同除以）： 两边同时除以2 n 1 得： 2n12n32，下面解法略名师推荐精心整理学习必备练习 .（ 2003 天津理）设a0为 常 数 ， 且an 3n 12an 1 (nN ) 证 明 对 任 意n 1 ，an1 3n( 1) n 1 2n ( 1) n 2 n a05；3形如an 1 pankn bk 0)(其中 k,b 是常数，且方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为

15、(anxny)p(an 1x(n1)y) ;解题基本步骤：1、确定f (n) =kn+b2、设等比数列bn(anxny) ，公比为 p3、列出关系式( an xn y) p(an 1 x(n 1) y) ,即 bn pbn 14、比较系数求x,y5、解得数列(anxny) 的通项公式6、解得数列an 的通项公式例 8在数列 an 中， a1 1, an 1 3an2n, 求通项 an .（逐项相减法）解：， an 13a n2n,n 2 时， an3an 1 2(n1) ，两式相减得an1an3(anan 1 )2 .令 bnan 1an ,则 bn3bn 12利用类型 5 的方法知 bn5

16、3n 12即an 1an5 3n 11an53n 1n1a n53n 1n1再由累加法可得22 .亦可联立解出22 .名师推荐精心整理学习必备例 9. 在数列 an a13 ,2anan 1 6n 3中，2,求通项 an .（待定系数法）解：原递推式可化为2(an xn y) an 1 x( n 1)y比较系数可得：x=-6,y=9, 上式即为 2bnbn 1所以 bnb1 a16n 991bn9 (1 ) n 1是一个等比数列，首项2,公比为 2.2 2即：an 6n99(1) n2an9(1) n6n9故2.4形如 an 1pana n2b n c(其中 a,b,c 是常数，且 a0 )基

17、本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 10已知数列 an 满足 an 12an3n24n5，a11，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)比较系数得 x3, y 10, z 18 ，所以 an 13(n1)210(n1)182(an3n210n18)由 a13 12101 18131320 ，得 an3n210n180则 an 13(n 1)210(n1)182 ，故数列 a3n210n 18 为以an3n210n18na131210 11813132为首项，以2 为公比的等比数列，因此an3n210

18、n18322n 1 ，则 an 2n 43n210n18。名师推荐精心整理学习必备5.形如 an 2pan 1qan时将 an作为 f(n) 求解分析：原递推式可化为an 2an 1( p)(an 1an ) 的形式，比较系数可求得，数列an1an 为等比数列。例 11已知数列 an满足an 25an 16an , a11, a22，求数列 an 的通项公式。解：设 an 2an 1(5)(an 1an )比较系数得3或2 ，不妨取2 ，（取 -3 结果形式可能不同，但本质相同）则an 22an 13(an 12an )，则an 12an是首项为4，公比为 3 的等比数列an 12an4 3n

19、 1，所以 an4 3n 15 2n 1练习 .数列 an 中，若 a18, a22 ,且满足 an 2 4an 13an 0 ,求 an .答案：an113n .四、迭代法an 1panr (其中 p,r 为常数 )型例 12已知数列 an 满足 an 1an3(n 1)2n， a15 ，求数列 an 的通项公式。解：因为aa3( n1)2 nn 1n，所以anan3n12n 1 an3( n2 1) 2n 2 3n 2n 1an32 (2n 1) n 2( n 2) ( n 1)an3( n3 2) 2n 3 32 ( n 1) n 2(n 2) (n 1)an33 (3n 2)( n1)

20、 n 2(n 3)(n 2) ( n 1)a13n 1 2 3(n 2) ( n 1) n 21 2( n 3) ( n 2) ( n 1)n( n 1)a13n 1n! 22n 1n( n 1)又 a15 ，所以数列 an 的通项公式为 an 53n! 22。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。名师推荐精心整理学习必备例 13.（2005 江西卷）已知数列 an 的各项都是正数 , 且满足 : a0 1, an 11an (4 an ), n N2，（ 1）证明an an 1 2, n N ;（2）求数列 an 的通项公式 an.解：（ 1）略（ 2） an 11an (

21、4 an )1 ( an 2)24, 所以 2(an 1 2) ( an 2) 222令 bna n 2,则 bn1 bn211 (1 bn22 ) 21( 1 ) 2 bn2 2 1(1)1 22 n 1bn2 n222222又 bn= 1，bn( 1) 2n 1 ,即 an2 bn2 ( 1 )2 n 1所以22.12方法 2：本题用归纳 -猜想 -证明，也很简捷，请试一试.解法 3：设 cnbn ，则 c n2cn 1,转化为上面类型（ 1）来解五、对数变换法适用于 an1panr(其中 p,r 为常数 )型p>0， an0例 14.设正项数列an满足 a11 ， an2an21

22、（ n2） .求数列 an的通项公式 .解：两边取对数得：log2an12 log2an 1， log2an12(log2an 11) ，设 bnlog2an 1 ，则bn2bn1bn是以 2 为公比的等比数列，b1log121 1bn1 2n 12n 1，log2a n12 n1， log2an2n 11 ， an 22 n 11练习 数列 an中， a11 ， a n2 an1 （ n2），求数列 an的通项公式 .答案： an2 22 2 n名师推荐精心整理学习必备例 15已知数列 an 满足 an 12 3nan5 ， a17 ，求数列 an 的通项公式。解：因为 a2 3na5，a7

23、 ，所以 an0， an 1 0 。n 1n1两边取常用对数得lg an 15lg ann lg3lg2设 lg an1 x(n1)y5(lg anxny)（同类型四）比较系数得，xlg 3lg 3lg 24, y164由 lg a1lg 3 1lg 3lg 2lg 7lg 31lg 3lg 20 ，得 lg anlg 3 nlg 3lg 20 ，416441644164所以数列 lganlg 3lg 3lg 2 是以 lg 7lg 3lg 3lg 25 为公比的等比数列，4n164416为首项，以4则 lg anlg 3 nlg 3lg 2(lg 7lg 3lg 3 lg 2)5n 1 ，因

24、此41644164lg a(lg 7lg 3lg 3lg 2 )5n1lg 3 nlg 3lg 2n4164464111n11lg(7343162 4 )5n1lg(3 431624 )1115n 1n11lg(7341624)lg(3431624)35 n4 n15n11lg(7 5 n 1 3 1624)75n 15n4 n 15n 11则 an3 162 4。六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16已知数列 an 满足 an 12an, a1 1，求数列 an 的通项公式。an2解：求倒数得111 ,111 ,11 为等差数列，首项11 ，公差为1 ，an 12ana

25、n 1an2an 1ana12111),an2an(nn 12名师推荐精心整理学习必备七、换元法适用于含根式的递推关系例 17 已知数列an 满足1 an an 1(1 4an1 24 an ) a1 1，求数列的通项公式。16，解：令 bn124an，则 an1 (bn21)24代入 an 11(14an1 24an ) 得161 (bn2 11)1 1 4 1 (bn2 1) bn 241624即 4bn2 1 (bn 3)2因为 b124a0，nn则 2bn 1bn1bn33 ，即 bn 1，22可化为 bn 131 (bn3) ，2所以 bn3 是以 b13124a1 31 2413

26、2 为首项，以1 为公比的等比数列，因此2bn32( 1) n1( 1)n2 ，则 bn( 1 )n 23 ，即124an(1 ) n 23 ，得2222an2 (1 )n( 1 )n1 。3423八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。例 18 已知数列 an 满足 an 1an(2 n8(n 1)3) 2， a18 ，求数列 an 的通项公式。1)2 (2 n9解：由 an 18(n1)及 a18an，得(2 n 1)2 (2 n 3)29a2a18(11)88224(211)2 (213)2992525a3a28(21)24834

27、8(221)2 (223)225254949a4a38(31)488480(231)2 (233)249498181名师推荐精心整理学习必备(2n1)21由此可猜测an(2n1)2 ，下面用数学归纳法证明这个结论。（ 1）当 n1 时， a1(2 111)2 18 ，所以等式成立。(21)29（ 2）假设当 nk 时等式成立，即 ak(2 k1)2 1，则当 nk 1 时，(2k1)2ak 1ak8(k1)(2k1)2 (2k3) 2(2k1)21(2k3)28(k1)(2 k 1)2 (2k 3)2(2k1)2 (2k3)2(2k1)2(2k1)2 (2k3)2(2k3)21(2k3)22(

28、 k1)1212( k1)12由此可知，当nk1 时等式也成立。根据（ 1），（ 2）可知，等式对任何nN * 都成立。九、阶差法（逐项相减法）1、递推公式中既有Sn ，又有 an分析：把已知关系通过 anS1, n 1转化为数列an或 Sn 的递推关系，然后采用相应的SnSn 1 , n2方法求解。例 19 已知数列 an 的各项均为正数，且前n 项和 Sn 满足 Sn1 (an 1)(an 2) ，且 a2 , a4 , a9 成6等比数列，求数列 an 的通项公式。解：对任意 nN有 Sn11)(an2)(an6当 n=1 时， S1a11 (a11)(a12) ，解得 a11或 a126名师推荐精心整理学习必备当 n2 时， Sn 112)(an 1 1)(an 16 -整理得： (anan 1)(anan 13)0 an 各项均为正数，anan 13当 a11时， an3n2 ，此时 a2a a成立429当 a12 时， an3n1，此时 a42a2a9不成立，故 a12 舍去所以an3n