椭圆问题中最值得关注的基本题型

1、椭圆问题中最值得关注的基本题型 题型分析 ·高考展望 椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在填空题、 解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握 .对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一利用椭圆的几何性质解题x 轴上的椭圆 x221，F，A 分例 1如图，焦点在 y 1 的离心率 e4b22 别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求 PF ·PA的最大值和最小值 .点评 熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、 c 之间

2、的关系和椭圆的对称性可构造方程.x2y23变式训练 1 (2014 ·课标全国 )已知点 A(0， 2)，椭圆 E： 22 1(a>b>0) 的离心率为，ab2F 是椭圆 E 的右焦点，直线AF 的斜率为 2 3， O 为坐标原点 .3(1) 求 E 的方程；(2) 设过点 A 的动直线l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求l 的方程 .题型二直线与椭圆相交问题例 2(2015 ·山东 )在平面直角坐标系x2y23xOy 中，已知椭圆 C：22 1(a b 0)的离心率为，ab2左，右焦点分别是F1，F2.以 F1 为圆心、以3 为半径

3、的圆与以F2 为圆心、以1 为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上 .(1) 求椭圆 C 的方程；x2y2(2) 设椭圆 E：4a2 4b2 1，P 为椭圆 C 上任意一点， 过点 P 的直线 y kx m 交椭圆 E 于 A， B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.OQ( )求 OP 的值；( )求 ABQ 面积的最大值 .点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点 ” ，由“交点 ” 在椭圆内 (外 )，得出不等式，解不等式.变式训练 2 (2014 ·四川 )已知椭圆

4、 C： x2 y2 1 (a>b>0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与22ab长轴的一个端点构成正三角形 .(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 x 3 上任意一点，过F 作 TF 的垂线交椭圆C 于点TFP， Q.证明 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点 )；当 PQ最小时，求点 T 的坐标 .题型三利用 “ 点差法，设而不求思想”解题x2例 3已知椭圆2 y2 1，求斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程 .点评 当涉及平行弦的中点轨迹， 过定点的弦的中点轨迹， 过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用 “ 点差法 ” 来求解 .变式

5、训练 3(2015 ·扬州模拟 ) 已知椭圆 x2 y2 1(a>b>0) 的一个顶点为B(0,4)，离心率 e5，a2 b25直线 l 交椭圆于M， N 两点 .(1) 若直线 l 的方程为 y x 4，求弦 MN 的长 .(2) 如果 BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线 l 方程的一般式.高考题型精练1.(20151，E 的右焦点与抛物线 C：课·标全国 改编 )已知椭圆 E 的中心在坐标原点， 离心率为 2y2 8x 的焦点重合， A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则AB _.222.(2014大·纲全国改编 )已知椭圆 C：

6、x2 y2 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、 F2，离心率ab为 3，过 F2143，则 C 的方程为 _.3的直线 l 交 C 于 A、B 两点 .若 AF B 的周长为3.(2014福·建改编 )设 P，Q 分别为圆 x2( y6) 2 2 和椭圆 x2 y2 1 上的点，则 P，Q 两点10间的最大距离是_.4.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，P 是两曲线的一个公共点，且满足 PF1 PF2 ，则1212的值为 _.e1e222 5.椭圆 C： x2 y2 1 (a>b>0) 的两个焦点为 F1， F2，M 为椭

7、圆上一点，且MF 1 ·MF 2的最大值ab的取值范围是 c2,2c2，其中 c 是椭圆的半焦距， 则椭圆的离心率取值范围是_.x2y26.(2014 辽·宁 )已知椭圆C：94 1，点 M 与 C 的焦点不重合 .若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A， B，线段 MN 的中点在 C 上，则 AN BN _.7.(2014 江·西 )过点 M(1,1) 作斜率为 1的直线与椭圆22C：x2 y2 1(a>b>0)相交于 A，B 两点，2ab若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 _.28.(2014 安·徽 )设 F 1，

8、 F2 分别是椭圆 E：x2 y2 1(0<b<1)的左，右焦点，过点F1 的直线交椭b圆 E 于 A， B 两点 .若 AF1 3F1B， AF 2 x 轴，则椭圆 E 的方程为 _.9.(2014 江·苏 )如图，在平面直角坐标系xOy 中， F ，Fx2分别是椭圆 a212y2B 的坐标为 (0， b)，连接 BF 2 并b2 1(a>b>0) 的左，右焦点，顶点延长交椭圆于点A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点C，连结1F C.4 1(1) 若点 C 的坐标为 3，3 ，且 BF2 2，求椭圆的方程；(2) 若 F1C AB，求椭圆离心率e 的

9、值 .10.(2015 重·庆 )如图，椭圆x2y2F1，a221(a b 0)的左，右焦点分别为bF2，过 F 2 的直线交椭圆于P、 Q 两点，且PQ PF1 .(1) 若 PF1 2 2， PF 2 2 2，求椭圆的标准方程；(2) 若 PF1 PQ，求椭圆的离心率 e.x2y211.(2015 陕·西 )已知椭圆E： a2 b2 1(ab 0)的半焦距为c，原点 O 到经过两点 (c,0)， (0，1b)的直线的距离为2c.(1) 求椭圆 E 的离心率；(2) 如图， AB 是圆 M：(x 2)2 (y 1)2 5的一条直径， 若椭圆 E 经过2A， B 两点，求椭

10、圆E 的方程 .x2y262，0).斜率为12.(2015 泰·州模拟 )已知椭圆 G：2 2 1(a>b>0) 的离心率为，右焦点为 (2ab31 的直线 l 与椭圆 G 交于 A， B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2).(1) 求椭圆 G 的方程；(2) 求 PAB 的面积 .答案精析第 29 练椭圆问题中最值得关注的基本题型常考题型典例剖析例 1解设 P 点坐标为 (x0， y0).由题意知a 2， e c 1， c 1， b2a2 c2 3. a 222xy所求椭圆方程为1.43 2 x0 2，3 y03.又 F( 1,0)， A(2,0)，

11、PF ( 1 x0， y0)，PA (2 x0， y0 )， 221212.PF ·PA x0 x0 2 y0x0 x01 (x0 2)44 当 x0 2 时， PF·PA取得最小值0， 当 x0 2 时， PF ·PA取得最大值 4.变式训练 1 解(1) 设 F(c,0)，由条件知，2 23，得 c 3.c3又 ca 23，所以 a 2， b2 a2c2 1.故 E 的方程为x2 y2 1.4(2) 当 l x 轴时不合题意，故设 l： y kx 2，P(x1 ，y1)， Q(x2， y2)，将 y kx 2 代入 x2 y2 1 得 4(1 4k2 )x2

12、16kx 12 0.当 16(4k2 3)>0 ，即 k2>3时，48k±2 4k2 3x1,2.4k2 1从而 PQk21|x1 24k2 1· 4k2 3 x|4k2 1.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2，k2 11 4 4k2 3 所以 OPQ 的面积 S OPQ 2·d·PQ 4k2 1 .4k2 3 t，则 t>0， SOPQ 4t4设t2 44.t t4因为 t 4，当且仅当t2，即 k ± 7时等号成立，2且满足>0，所以，当 OPQ 的面积最大时l 的方程为 y 772 x 2 或 y 2 x 2.例

13、 2 解 (1)由题意知 2a 4，则 a 2，又 ca 23， a2 c2 b2，可得 b 1，所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1.4x2y2(2) 由 (1)知椭圆 E 的方程为 1641.OQ ，由题意知 Q( x( )设 P( x0，y0 )， OP0， y0).2因为 x0 y02 1，42222000y02 1，又 x y 1，即 x16444所以 2，即 OQ 2.OP( )设 A( x1，y1 )， B(x2， y2).将 y kx m 代入椭圆E 的方程，可得 (1 4k2)x2 8kmx4m2 16 0，由 0，可得 m2 416k2， 则有 x128km ， x1 2

14、4m2 16 x 14k2x 1 4k2 .所以 |x1 x2|4 16k2 4 m2.14k2因为直线ykx m 与 y 轴交点的坐标为(0， m)，1所以 OAB 的面积 S 2|m|x1 x2|216k2 4 m2|m|2 16k2 4m2m21 4k21 4k2m2m2241 4k2 1 4k2.m2设2 t，1 4k将 y kx m 代入椭圆C 的方程，可得 (1 4k2)x2 8kmx4m2 40，由 0，可得 m2 14k2.由 可知 0 t 1，因此 S 24 t t 2 t2 4t ，故 S2 3，当且仅当t 1，即 m21 4k2 时取得最大值23.由( )知， ABQ 面

15、积为 3S，所以 ABQ 面积的最大值为63.a2 b2 2b，变式训练2(1) 解由已知可得2c2a2 b2 4，解得 a2 6， b2 2，所以椭圆C 的标准方程是x2y2 1.62(2) 证明由 (1) 可得 F 的坐标是 ( 2,0)，设 T 点的坐标为 ( 3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm0 m.3 2当 m 0 时，直线 PQ 的斜率 k1，PQ m直线 PQ 的方程是 x my 2.当 m 0 时，直线 PQ 的方程是 x 2，也符合 x my 2 的形式 .x my 2，设 P(x1， y1)，Q(x2， y2) ，将直线 PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得 x2y2

16、6 21.消去 x，得 (m2 3)y24my 2 0，其判别式 16m2 8(m2 3)>0 ，4m， y1y22，所以 y1 y2 223m 3m 12x1 x2 m(y1 y2 )4 m2 3. 62m所以 PQ 的中点 M 的坐标为 (m2 3，m2 3).m所以直线 OM 的斜率 kOM 3 .m又直线 OT 的斜率 kOT 3 ，所以点 M 在直线 OT 上，因此OT 平分线段PQ.解由 可得 TFm2 1，PQx1 x2 2 y1 y2 2 m2 1 y1 y2 24y1 y2 m2 1 4m 24· 2 m2 3m2 324 m21 m2 3.TF1 m2 3

17、2所以 PQ24·m2 114 4144 3.24·m2 1 224×3m 14TF当且仅当 m2 1m2 1，即 m±1 时，等号成立，此时PQ取得最小值 .TF所以当 PQ最小时， T 点的坐标是 (3,1)或 ( 3， 1).例 3解设弦的两端点分别为M( x1， y1)， N(x2， y2)，MN 的中点为R(x， y)，2222则 x1 2y122 2， 2， x 2y两式相减并整理可得，y1 y2 x1 x2 x ，x1 x22 y1 y22y将y1y2 2 代入式 ，x1 x2得所求的轨迹方程为x 4y 0(2<x<2).变式训

18、练 3解(1) 由已知得 b 4，且c5c21，a，即5a25 a2 b2 1，解得 a2 20，a2522xy椭圆的方程为1.2016则 4x2 5y2 80 与 y x 4 联立，消去 y 得 9x2 40x 0， x10， x2 409，所求弦长 MN 1 12|x2 x1|4029 .(2) 如图，椭圆右焦点 F 的坐标为 (2,0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0， y0)，由三角形重心的性质知BF2FQ，又 B(0,4) ， (2， 4) 2(x0 2， y0)，故得 x0 3， y0 2，即得 Q 的坐标为 (3， 2).设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1

19、x2 6， y1 y2 4，2222且 x1 y1 1， x2 y2 1，20162016 y以上两式相减得x xx x2y2y y0，1211122016kMN y1 y2x1 x24·x1 x25 y1 y2 4×6 6，5 45故直线 MN 的方程为 y 26(x 3)，5即 6x 5y 28 0.常考题型精练1.6解析因为 e c1， y2 8x的焦点为 (2,0)，所以 c 2，a 4，故椭圆方程为x2 y2 1，a21612将 x 2 代入椭圆方程，解得y ±3，所以 AB 6.x2y22.132解析由 e3得 c 33 a 3 .又 AF1B 的周长

20、为4 3，由椭圆定义，得4a 43，得 a3，代入 得 c1， b2 a2c2 2，x2y2故 C 的方程为 3 21.3.62解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x2x2 (y 6)2 r2(r>0) ，与椭圆方程 y2 1 联立得方程组，消掉 x2 得 9y2 12y r2 46 0.令 122 4× 9(r2 46) 0，解得 r2 50，即 r 52.由题意易知P， Q 两点间的最大距离为r2 62.4.2解析由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令 P 在双曲线的右支上 .由双曲线的定义知|PF 1| |PF2 |2

21、m， 由椭圆的定义知|PF1| |PF 2| 2a， 又 PF1PF2， F1PF2 90°， |PF1|2 |PF 2|2 4c2， 式的平方加上 式的平方得|PF 1|2 |PF 2|2 2a2 2m2， 22由 得 a2m2 2c2，即 ac2mc2 2， 12 122. e1 e23 25. 3 ， 2解析 设 M(x0， y0)，则 MF 1 ( c x0， y0)， MF 2 (c x0， y0)， MF 1·MF 2 x02 c22222x20b2222c2222.x0 a，a， 当 x0 ±a 时，y0 x0 c b1 2 12x0 c b 2 x

22、0 c baaaMF 1·MF 2有最大值 b2， c2b2 2c2， c2 a2 c2 2c2， 2c2 a2 3c2，1 c21， e3，22.3 a2326.12x2y2解析椭圆94 1 中， a3.如图，设 MN的中点为 D，则 DF 1 DF 2 2a6.D ， F1， F2 分别为 MN， AM， BM 的中点，BN 2DF 2，AN 2DF 1，AN BN 2(DF 1 DF 2 )12.27. 222x1 y1 1，解析设 A(x1， y1)， B( x2， y2)，则a2b222x2 y2 1，a2b2 x1 x2 x1 x2 y1 y2y1 y2 0，a2b21y

23、2212ybx xx x2·.ay y2121y1y21，122x xx1 x2 2， y1y2 2，2b1 a2 2b2.又 b2 a2 c2，c 2 a2 2(a2 c2 )， a2 2c2， a 2 .8.x23y2 12解析设点 B 的坐标为 (x0， y0).2x2 y2 1，b F 1( 1 b2 ，0)， F 2( 1 b2， 0).AF 2 x 轴， A(1 b2， b2).AF 1 3F1B， AF1 3F1B，( 21 b2， b2) 3(x0 1 b2，y0).2 x0 53 1b2， y0 b3 .51b2，b2点 B 的坐标为 33 .将B51 b2， b2

24、代入 x2 y2 1，33b22得 b2 .3椭圆 E 的方程为3x2 y2 1.29.解 设椭圆的焦距为2c，则 F 1( c,0)， F 2(c,0).(1) 因为 B(0， b)，所以 BF2 b2 c2 a.又 BF22，故 a 2.因为点 C 4，1在椭圆上，33161所以 9292 1，解得 b2 1.ab故所求椭圆的方程为x2y21.2(2) 因为 B(0， b)， F 2(c,0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 x y 1.c bx y 1，x1 2a22c2，x2 0，cba c解方程组x2y2得2b c2 a2a2 b2 1，y1 a2 c2，y b.所以点 A

25、 的坐标为2a2c，b c2a2.a2 c2a2 c2又 AC 垂直于 x 轴，由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为2a2c，b a2 c2.a2 c2a2 c2b a2c2因为直线 F 1C 的斜率为a2 c2 0b a2 c2，2a2c3a2c c3a2 c2 c直线 AB 的斜率为 b，且 F 1C AB，cb a2 c2b 1.所以 3a2c c3 · c又 b2 a2 c2，整理得 a2 5c2.故 e2 1，因此 e 5.5510.解(1)由椭圆的定义，得2a PF1PF 2 (22) (22) 4，故 a 2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF 1 PF2，因此 2c F1

26、F222PF1PF2 2 222 222 3，即 c 3，从而 b a2c21.x2故所求椭圆的标准方程为4 y2 1.(2) 方法一如图，设点 P(x ， y )在椭圆上，且PF PF，则001222x0y02222 21， x0 y0 c ，aba求得 x0 ±a2 2b2，cb2y0 ±c .由 PF 1PQPF 2 得 x0 0，从而2a a2 2b2 c2b4PF 1 2 .cc 2(a2b2) 2a a2 2b2 (a a2 2b2)2.由椭圆的定义，PF 1 PF 2 2a，QF 1 QF 2 2a，从而由 PF1 PQ PF2 QF 2，有 QF 1 4a

27、2PF1.又由 PF1 PQ， PF1PQ，知 QF12PF1 ，因此， (22)PF 1 4a，即(2 2)(a a2 2b2) 4a，于是 (22)(12e2 1) 4，解得e14 1263.21 2 2方法二如图，由椭圆的定义，得PF1 PF2 2a，QF 1 QF 2 2a.从而由 PF1 PQ PF2 QF2，有 QF1 4a 2PF1.又由 PF1 PQ， PF1PQ，知 QF12PF1 ，因此， 4a2PF 12PF1，得 PF 1 2(22)a，从而 PF2 2a PF 1 2a2(2 2)a2(2 1)a.2222由 PF 1PF 2，知 PF 1 PF2 F 1F2(2c)

28、，因此c22PF PF2ea12a22 221 2 962 6 3.11.解(1) 过点 (c,0)， (0， b)的直线方程为bxcy bc 0，则原点 O 到该直线的距离dbcbc，b2c2a由 d 12c，得 a 2b2 a2 c2，解得离心率 ac 23.(2) 方法一 由 (1) 知，椭圆 E 的方程为 x2 4y2 4b2. 依题意，圆心 M( 2,1)是线段 AB 的中点，且 AB 10.易知， AB 与 x 轴不垂直， 设其方程为y k(x 2) 1，代入 得 (1 4k2)x2 8k(2k 1)x 4(2k 1) 2 4b2 0，8k 2k 1设 A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 x1x21