2017-2018学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数教学案新人教A版必修4

1、 1.2 任意角的三角函数 第 1 课时三角函数的定义 核心必知 1.预习教材，问题导入 yv 根据以下提纲，预习教材 P11P15的内容，回答下列问题. 如图，设锐角a的顶点与原点0重合，始边与X轴的非负半轴重合，那么它的终边在 第一象限在a的终边上任取一点 P(a, b)，它与原点的距离r = _a2+ b20.过P作x轴的 垂线，垂足为 M则线段0M勺长度为a,线段MP的长度为b. 提示：sin a = b, cos a = a, tan a =. a_ (4)以上 3 个问题中的角a为锐角，若a是一个任意角，上述结论还成立吗? 提示：上述结论仍然成立. (5) 一般地，设角a终边上任意

2、一点的坐标为(x, y),它与原点的距离为r，则 sin a , cos a , tan a 为何值？1 - -1 自读教财找关轉 核心必知 1 问题思考 辨析问题解籲惑 : 课前反思 1 畅定目标穗启程 (1)根据初中学耳 1 a , COS a , tan a的值吗? 提示：sin MP b a r Opr 7，cos OM a MP b a = OF r，tan_a = OMr a. (2)根据相似三角形的知识，对于确定的角 位置的改变而改变吗？ 提示：不会随 P点在终边上的位置的改变而改变. a，请问(1)的结果会随点P在a终边上的 (3)若将点P取在使线段0P的长r = 1 的特殊位

3、置上，如图所示，则 sin a , cos a , J - 、J 预习导引区 sin 2 提示： sin a= y, cos a= X, tan a= y. r r x- 2归纳总结，核心必记 (1) 任意角的三角函数的定义 规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦. (4)公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 公式：sin( a + kn ) = sin_ a , 前提 如图，设a是一个任意角，它的终边 与单位圆交于点P(x，y) 1 卑 丿豹血 定义 正弦 y叫做a的正弦，记作 sin a，即 sin a = y; 余弦 X叫做a的余弦，记作 cos a，即 COs a = X ； r.

4、 正切 y叫做a的正切，记作 tan a，即 tan a =(x丰0). X x 、 - ZJV/ 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标 或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数 (2)三角函数的定义域 IT y y (+) (4) (-) (-) 0 i o Jt a (-) (-) (+ 1 / sin a cos a 讪 a (3)三角函数值的符号 7 三角函数 定义域 sin a R COs a rS - tan a r 1、 a | aM2 + k n ， k Z 3 COS( a + k 2n ) = COS a , tan( a + k

5、2n ) = tan a ,其中 k Z. 问题思考 (1) 三角函数值的大小与点 P在终边的位置是否有关？ 提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点 Rx, y)在终边上的位置无关，只与角a的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 4 (2) 右角a与B的终边相同，根据三角函数的定义， 你认为 Sin a与 sin 3 , cos a 与 cos 3 , tan a与 tan 3之间有什么关系？ 提示：sin_ a = sin_ 3 , cos_ a = cos_ 3 , tan_ a = tan_ 3 . (3) 三角函数在各象限的符号与角的终边上点 P的坐标有怎样的关

6、系？ 提示：由三角函数的定义知 sin a = , cos a = =, tan a = Y,三角函数在各象限的 - - 匚 - - 匚 - - x - 符号由角a终边上的任一点 P的横坐标、纵坐标的正负确定. 对于角a，若 Sin a 。，贝U a为第几象限角？ 提示：第四象限角. 课前反思 (1) 任意角的三角函数的定义： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (2) 三角函数的定义域： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (3) 三角函数值的符号： . . . .

7、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; (4) 公式一的内容： . . . . . 思考 1 任意角a的正弦值 sin a、余弦值 COS a，正切值 tan a都有意义吗？ 名师指津：当 a 的终边在 y 轴上时，tan a不存在. 思考 2 若a的终边与单位圆交于点(Xo, yo),且XoM 0,则如何求 sin a , COS a , tan a的值？ 名师指津： sin a = yo, cos a = xo, tan a =y. Xo_ 思考 3 若已知 a终边上一点 P(xo, yo),且XoM o,如何求 sin a , cos a , t

8、an a 的值？ 名师指津：先求 r = x/xo + yo，然后求 sin a = y, cos a = X, tan a = y. r r xo_课堂互动区 知识突破 -* 能力提升 1 重点知识 步步探究稳根基 1 拔高知谋 深化提能夺高分 却讲点 1 三角函数的定义及应用 师生共妤 究玻重难 川诂总”尸V 吒重点知识讲进珠金 X 知溟突破 5 思考 4 若已知a终边所在的直线方程为 y = kx,则如何求 sin a , cos a , tan a 的值？ yo 名师指津：可在直线 y = kx上任取一点(xo, yo), XOM0，然后利用 sin_ a = 2, *；.：xo+ y

9、o xo yo N COS a = 1 亍 2, tan a =求解. x2+y xp_ 讲一讲 1 . (1)若角 a 的终边经过点 P(5 , - 12)，贝 y sin a = _ , COS a = _ , tan a (2)已知角a 尝试解答 的终边落在直线二3x + y= 0 上，求 sin a , cos a , tan a的值. (1) x = 5, y=- 12,.r = 52+(- 12) 2= 13,贝U sin a y 12 a = r 13 6 x 5 cos a = r = 13, tan a (2) 直线 3x + y= 0,即y =-3x,经过第二、四象限，在第

10、二象限取直线上的点 3 1 3)，贝 U r = ( 1) 2+( 3)= 2，所以 sin a =亠 2 , cos a =- ?, tan a =y 12 x= 5 . (-1, 在第四象限取直线上的点 (1 , 3)，则 r = 1 +( ., 3) 2= 2,所以 sin a 弓，COS 1 a 2, tan 12 5 答案：(1)-石 13 V 12 5 求任意角的三角函数值的两种方法 :根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 正弦、余弦、正切值. 方法 P的坐标，然后利用定义得出该角的 方法二：第一步，取点：在角 第二步，计算 r: r = | OP = ,x2+ y2； a的终边上

11、任取一点 P(x, y), (P与原点不重合); 、 y x 第三步，求值：由 sin a= r，cos a= 7，tan =十工 O)求值. 在运用1. (1)已知角a的终边经过点 P(1 , - 1)，贝 U sin A.1 Bf C 冷 D .-子 a的值为( 7 1 y (y0)，贝V sin a tan a 2 已知角a的终边上一点坐标为(一 3, a)，且a为第二象限角，cos a =-则 5 sin a 解析：(1) T a的终边经过点 P(1 , - 1), (2) a的终边与单位圆的交点为 1 + y2= 1，即 y2= 3.又y0，即 a = 4. / sin 4 a =.

12、 5 23 n -F . 8 综上可知，a为第三象限角. 120是第二象限角， tan 120 v 0. / 269是第三象限角， sin 269 v 0. tan 120 sin 269 0. 3 n n V 4 0. cos 4 tan 23 n v 答案: (1)C 判断给定角的三角函数值正负的步骤 (1)确定a的终边所在的象限; 利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、 三正切、四余弦”来判断. 2. (1)若 sin 2 a 0, 且 cos a v 0，则a终边在第 象限. 判断下列各式的符号: sin 105 -cos 230 cos 3 tan 解析： 因为 sin 2

13、a 0，所以 2k n v 2a v 2kn + n (k Z), Q V1 所以k n v a vkn + ；(k Z).当k为偶数时, a是第一象限角；当 k为奇数时，a 为第三象限角.所以 a是第一或第三象限角.又因为 ,230分别为第二，第三象限角， cos a V 0，所以a为第三象限角. sin 105 0, cos 230 v 0. 是 sin 105 cos 230 v 0. v 3v n , 3 是第二象限角， cos 3v 0, 又一 是第三象限角， tan 2n 3 0, cos 3 tan 2n T v . 9 讲一讲 3. 求下列各式的值:10 2 2 2 a sin

14、( 1 350 ) + b tan 405 - (a b) tan 765 - 2abcos( 1 080 ); f 11 冗、 25 n (2)sin i + cos 3 tan 2 2 尝试解答(1)原式=a sin( 4X 360 + 90 ) + b tan(360 + 45 ) (a b)2tan(2 x360 + 45 ) 2ab cos( 3x360 ) = a2sin90 + b2tan45 (a b)2tan 2 2 2 45 2abcos 0 = a + b (a b) 2ab= 0. 1 1 =2+2 x 仁 1. 奚题通垃 公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等

15、. 利用它可将大角转化为0,2 n ) 范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的. 3. 求下列各式的值: 25 n (1)cos + tan 3 (2)sin 810 + tan 1 125 + cos 420 . 解：(1)原式=cos 8 n +-3 + tan 4 n + 才=cos 才 + tan 寸=1 + 1= |. 原式=sin (2 x 360 + 90 ) + tan (3 x 360 + 45 ) + cos( 360+ 60 ) = sin 90+ tan 45 + cos 60 - 课堂归纳感悟提 升 - 1本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号

16、以及公式一的应用，难点是三 角函数的定义及应用. 2. 本节课要重点掌握的规律方法 (1) 三角函数的定义及应用，见讲 1 ; (2) 三角函数值符号的判断，见讲 2; (3) 公式一的应用，见讲 3. 原式=sin n n n 百+cosEta n 匸 15n 7 ； 1+1+2= 2 2 n + n + cos 、 6/ 11 3. 本节课的易错点是已知 a的终边所在的直线求 a的三角函数值时，易忽视对a所 在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误，如讲 1 的第(2)题.12 达标练 * I 学业水乎小测“辻学 生趙热打铁涓 ft;所学. 既嫦速度又媒准度 能力练 I 谦下能力提丹.提速 提

17、SL毎课一捡测，步 课下能力提升(三) 学业水平达标练 题组 1 三角函数的定义及应用 A- a的终边过点(2sin 30 ， 2cos 30 )，则 sin a的值等于( ) A.； B . *XKzv 答案：8 4. 已知点F( 4a, 3a)( a* 0)是角a终边上的一点，试求 解：由题意得 r = . ( 4a) 2+( 3a) 2= 5| a|.当 a0 时, 3 4 =：,cos a =二，tan a 5 5 题组 2 三角函数值的符号 5. 已知 cos 0 tan 0 0，那么角 B是( ) A.第一、二象限角 B .第二、三象限角解析：选 C 角 a的终边过点 角a终边上一

18、点的坐标为 (1, (2sin 30 ， 2cos 30 I I 羚 3)，故 sin 十、 3.已知角a的终边经过点F(m 6)，且 cos ；12+( ;3) 2 4 a = 5，贝 U m= 解析：由题意 r = | Op = m + ( 6)乞-.：吊+ 36,故 cos I I =8. a =( m+ 36 4 ，解得m 5 sin y 3a r = 5a 3 5，cos a x 4a r 5a 4 y 3a 3 t , 5,tan a = x=a=4 当 a 0 可知 cos 0 , tan 0同号，从而 0为第一、二象 限角，选 A. 2 是第三象限角. n an V a V +

19、 2k n , k Z,所以 k n V V + k n , k乙所以2 是第一或第三象限角，则 tan a 0, cos 专的正负不确定；4k nV 2aVn + 4k n , k Z, 2a的终边在X轴上方，则 sin 2 a 0.故一定为正值的个数为 2. 答案：2 题组 3 公式一的应用 9. tan 405 sin 450 + cos 750 45 sin 90 + cos 30 答案：于6. 已知角a是第二象限角，且 a cosy a 宀 a =-cosy，则角是（ A. 第一象限角 第二象限角 C. 第三象限角 第四象限角 解析：选 C 由 是第二象限角知, 2 是第一或第三象限

20、角，又 8. sin 19n A.1 B . -2 C-l3 D -i3 解析：选 f 19n sin W =sin 24 n 5 n 6 =sin =sin A2.故选 A. 解析：原式= ta n(360 + 45 ) sin(360 + 90 ) + cos (2 X 360 + 30 ) = tan 解析：选 A 由 cos 0 tan 0 7若 a是第一象限角，贝 U sin 2 cos a, tan专中一定为正值的个数为 解析: 由a是第一象14 10.化简下列各式： acos180 + bsin 90 + ctan 0 ； 2 2 p cos 360 + q sin 450 -

21、2pqcos 0 ; 2 n 2 3 n (3) a sin b cos n + absin 2 n abcos 解析：选 B 点P在第三象限， tan a V0, cos a V 0,. a为第二象限角. 3设 ABO的三个内角为 A, B, C则下列各组数中有意义且均为正值的是 （ ） / 0V AV n , 0 VAV 2 , tanA 0; 又 0V CV n , sin C 0. 解：(1)因为 cos 180 = 1, sin 90 1, tan 0 = 0，所以原式=a+ b; (2)因为 cos 360 = cos 0 = 1, sin 450 =sin(360 + 90 )

22、= sin 90 = 1, cos 0= 1, 所以原式=p2 + q2 2pq= ( p q)2； n (3)因为 sin = 1, cos n = 1 , sin 2 n =sin 0 = 0, 3n cos = 0，原式= 能力提升综合练 1.给出下列函数值: ;tan 2，其中符号为负的个 cos / 2 rad = 2X 57 18= 114 36是第二象限角， tan 2 V 0. 一 已知点P（tan a , cos a ）在第三象限，则 a的终边在（ ） 第一象限 B.第二象限 / 第三象限 D .第四象限 2. A. C. A. tan A与 cos B B . cos B

23、与 sin C C. sin C与 tan A D . tan A与 sin C 解析：选 D sin( 1 000 ): cos O A. 0 B . 解析：选 数为（ 15 4. 若 tan x V 0,且 sin x cos x V 0，则角x的终边在（ ） A.第一象限 B .第二象限16 C.第三象限 D 第四象限 解析：选 D T tan xv 0, 角x的终边在第二、四象限，又 sin x cos x v 0, 角x的终边在第四象限. 解析：原式= 7t sin i 2 n +-6 + cos 4n+_n tan 6n n n n =sin + cos tan 6 3 4 1 1

24、 =2+ 2 仁 0. 答案：0 6.若角a的终边落在直线 r “sin a |sin a | x+y=0 上，则 icor+wra 解析：当a在第二象限时, sin a |sin a | sin a sin a , 亠“ + = + = 0；当a在第 |cos a | cos a COS a COS a 亠 sin a |sin a 四象限时，阪一丁+土 s sin a sin a a cos a cos a sin a |sin a | .综上，|cos a | + cos a = 0. 13n 13n 5. sin 丁 + COS 丁 tan 17 答案：0 7.求下列各三角函数值: c

25、os ； (2)tan 9 n ;(3)sin 1 140 4 解：(1)cos 11 n =cos 2 n+-6 = cos nn t , 6丿 6 9 n (2)ta n - (3)sin 1 140 = sin(3 x 360 + 60) = sin 60 詔 1 1 8已知品石一爲二，且lg(cos a )有意义. (1)试判断角a所在的象限; (2)若角a的终边上一点是 l|, m，且|OM= 1(O为坐标原点)，求m的值及 sin 的1 1 解: (1)由乔 F 一 齐，可知sin aV 0，由lg(cos a )有意义可知cos a 0,所以角a是第四象限角. 18 v| oiy

26、i = i, 4 又a是第四象限角，故 0,从而 m=. 5 由正弦函数的定义可知 sin a =- r 4 m 5 4 =POM = V= 5. 核心必知 1 预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P15P17的内容，回答下列问题. (1)观察教材 Pw 的图 1.2-7，有向线段 MP OM AT的方向是如何规定的？ 提示：当方向与x轴或y轴的方向一致时，则有向线段 MP OM AT的方向为正；当方 向与x轴或y轴的方向相反时，则有向线段 MP OM AT的方向为负. (2)观察教材 P16的图 1.2-7，你认为 sin a , cos a , tan a与有向线段 MP OM A

27、T 有什么关系？ 提示：|sin_ a I = I MP , |cos_ a | = | OM, |tan_ a I = I AT 2. 归纳总结，核心必记 (1) 有向线段 带有方向的线段，叫做有向线段. (2) 三角函数线 3 + va= 1，解得 m= 5. 第 2 课时三角函数及其应用 ； 核心必知 i 问题思考 I 课前反思 I i&ji at 2 1 (2)C0S a b, cos xa（或 sin xw b, cos xWa），只需作直线 y = b, x= a与单 位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置， c），连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，

28、结合图象可得. 2利用三角函数线，求满足下列条件的 a的范围. (1)sin av !； (2) cos a# 庁3, 0 作x轴的垂线与单位圆交于 P, P两点，贝 y cos / xOP= cosn 2 n * a |2 k n + W a W 2k n + （2）如图所示，作直线 1、 x=交单位圆于 C, D两点，连接 OC与 OD 贝y OC与 OD围成 此时再根据方向即可确定相应的 x的范围；对于 tan x c(或 tan x w c），则取点（1 , 解：（1）如图，过点 o， 2 作x轴的平行线交单位圆于 P, P 两点，贝 U sin / xOP =sin / xOP =

29、2/ xOP= 6,/ xOP = 2 6 7 n 的范围是 5 + 2knvav 号+ 2kn , k Z . 如图，过点 23 3 n n n n / XOP =专，/ xOP=-6，/ xOP =-，故 a 的范围是 OM以 cos亍 V sin 亍Vta n2f，所以 bV aV c. 答案：(1)C i (2) bV aV c z ZrO :类题通址 (1)禾 u用三角函数线比较大小的步骤 角的位置要“对号入座”； 比较三角函数线的长度; 确定有向线段的正负. 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： 关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线. 知识点 3 利用三角函数线比较

30、大小 I【抜高好识，拓宽捉離JI 尝试解答(1)由三角函数线知, sin 20。，所以选 C. (2)由如图的三角函数线知： sin 160 = sin 20 sin 10 ，而 cos 10 2 n 2 n 因为 7 8 = 4， MR= MFk AT, 24 注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向. 练一练25 3设 n Va MP OM当$V a V 才时，角a的正弦线为 M P,余弦线为 OM, 正切线为 AT，显然在长度上， AT M P OM . - 课堂归纳感悟提 升- 1 本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大 小问题，难点是

31、对三角函数线概念的理解. 2 本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1) 三角函数线的画法，见讲 1; (2) 利用三角函数线解简单不等式，见讲 2; (3) 利用三角函数线比较大小，见讲 3. 3理解三角函数线应注意以下四点 (1) 位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外； (2) 方向：正弦线由垂足指向 a的终边与单位圆的交点； 余弦线由原点指向垂足； 正切 线由切点指向切线与 a的终边(或其延长线)的交点； (3) 正负：三条有向线段中与 x轴或y轴同向的为正值，与 x轴或y轴反向的为负值; (4) 书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后. 课下能力提升(四) 达

32、标练 * I 学业水乎小测辻学 生趙热打铁星优所学. 既嫦速度叉练准度 能力练 谦下粧力提丹.提速 提SL每课一捡测,步 训练提能区 26 学业水平达标练 题组 1 作已知角的三角函数线2 27 1.角n和角6有相同的( ) 5 5 A.正弦线 B .余弦线 C.正切线 D .不能确定 解析：选C在同一坐标系内作出角 5 和角-壬的三角函数线可知，正弦线及余弦线都 相反，而正切线相等. 2已知角a的正弦线和余弦线是符号相反、 长度相等的有向线段，则a的终边在( ) 3 为使 sin xw cos x成立，则由图可得 严三xn. 4 4 5.利用单位圆，可得满足 sin aV，且a (0 , n

33、 )的a的集合为 解析：如图所示，终边落在阴影内的角 a满足 sin A. 第一象限的角平分线上 B. 第四象限的角平分线上 C. 第二 四象限的角平分线上 D 第一、 三象限的角平分线上 解析：选 C 由条件知 sin a = cos a , a的终边应在第二、四象限的角平分线上. 3.若角 的余弦线长度为 o,贝 y 它的正弦线的长度为 1. 解析：若角 a的余弦线长度为 0，则a的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为 答案：1 cos x= OM 由于 sin 3n 4 题组 2 利用三角函数线解简单不等式 4.使 sin x0, 应满足不等式组 2 sin x 专0, cos 即 s

34、in 1 xw 2， x 则不等式组的解的集合如图阴影部分所示, n 所以凶 2 k n+訐x V 2kn+ 4 题组 3 利用三角函数线比较大小 7.若a是第一象限角，则 sin a + COS a的值与 1 的大小关系是 A. sin a + COS a 1 a + COS C. sin a + COS a V D .不能确定 解析：选 A 如图，角 a的终边与单位圆交于 P点，过P作PML x轴于 M点, 由三角 形两边之和大于第三边可知 sin a 若一 3 n n 4V a V ，贝U sin a , tan a的大小关系是（ A. sin c. cos 解析：选 V tan a V

35、 COS a B .tan a V sin V sin a V ta n a D .sin a V COS D 如图, 在单位圆中， 作出一 3 n V a , COS 线、正切线. V COS a V tan a n a V-三内的一个角及其正弦线、 余弦 29 n 10.试利用单位圆中的三角函数线证明当 Ov a 三时，sin a v a v tan a . 证明：如图，单位圆与a的终边OP相交于P点，过P作PMLx轴，垂足为M连接AP, 过单位圆与x轴正半轴的交点 A作ATL x轴交OP于T, A 1 1 则 sin a = MP a = AP, tan a = AT, 由 S 扇形 O

36、APV S OAT 即 qOA AP v-OA- AT,所以 AP v AT.又 Mv PAv AP，因此 MP 0 MP C . OMt MR: 0 D . MP 0 OM由图知, 9. sin 1 ,sin 1.2 , sin 1.5 A. sin 1 sin 1.2 sin 1.5 B. sin 1 sin 1.5 sin 1.2 C. sin 1.5 sin 1.2 sin 1 D. sin 1.2 sin 1 sin 1.5 |0Mv|MPv|AT, ( ) vcos a vtan a . 的大小关系是 解析：选 同向， sin 1 9 ( J V MJ A X a的终墩 T 30

37、解析：选 D 如图所示，正弦线为 MP余弦线为OM结合图象，可知：M圧 0, OMk 0, 在直线y = x上，故选 D. A. av bv c B . bv av c C . cv av b D . av cv b 解析：选 C 如图作出角a = 1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然 =OM 0, c= tan( 1) v a = sin( 解析：利用三角函数线得 a的终边落在如图所示/ AOB勺区域内，所以3.设 a= sin( 1) , b= cos( 2. A. B. C. D. 已知角a的正切线是单位长度的有向线段，那么角 在x轴上 在y轴上 在直线y = x上 在直线y =

38、x,或y = x上 解析：选 D 由题意可知，如图, | AT| = 1，二 AT 1.则 的终边（ tan a = 1 ,角a的终边 b= cos( 1) 4. 女口果 cos a = cos 3 , 则角a与3的终边除可能重合外，还有可能 A. 关于x轴对称 B 关于y轴对称 C. 关于直线 y= x对称 D .关于原点对称 解析：选 A 利用单位圆中的余弦线解题易知 A 正确. 5.若 v a 口 鱼 v 2 n,且 sin av , cos a 1 2-利用二角函数线，得到 的取值范围 的取值范围 31 是0，专 y X=T A / / 丿” 答案: 2 n 6若0 瞥, 3 n 2

39、， 0的取值范围是 -1, 解析：由图可知 sin 3n 4 3n 2 = 1, 1 V sin 2,且 cos x 2； (2)ta n x 1. 解：(1) 当 sin V XV 专 + 2k n , k Z x| 违 +2k n 且 cos x 时，角 x的集 由图知，当 tan n n x|2kn -4w xV 2k n + , k Z *|2 kn + xV 3n 2kn + 2 ,k zr,即 3x|k n n n 4 x V kn + , k Z 32 冗 i n 0, 2，求证：1 sin a + COS a | OP , sin a + COS a 1. 1 11. / Sx

40、OAP= 2 | OA I Mp = 2 = qsi n a , 1 1 1 SOB= B T Np = x= geos a , 1 S 扇形 OAB= n 4 又 T Sx OAP+ SAOB S 扇形 OAB 4 a+Gs aV, 2 2 4 第 3 课时同角三角函数的基本关系 核心必知自读毅材找关镀 问题思考辨析闻题解疑務 I 课前反思锁定目标稳启程 核心必知 1.预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P18P20的内容，回答下列问题. （1）观察教材 P19图 1.2 8,图中a的正弦线、余弦线各是什么? 提示：正弦线是MP余弦线为OM 若P点坐标为（x, y），则 sin a

41、, cos a各为何值？ sin a与 cos a有什么关系?（ ,2 n x r 即 sin + COs a 1 sin a + COs n a 0, COs a V 0? sin a COs a 0. sin a COs a = (Sin a COs a ) 糞題*通比 (1) sin a + COS a , Sin a COS a , Sin a COS a 三个式子中，已知其中一个，可 以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”. (2) 求 sin a + COS a或 sin a COS a的值，要注意判断它们的符号. 练一练 1 2. (1)若 sin 0 COS B = 2，贝

42、U tan 0 + - = . tan 0 - 答案：(1) 2 (2) 讲一讲 fta n a sin .tan a + sin知识点 3 三角函数式的化简与证明 得(sin a + COs 2 c sin a + 2sin 2 a COs a + COs a 1 9，sin a COs a = 已知 sin a COS a 8n n 且4 V a V2，贝 U cos a Sin a 解析：(1)由已知得(sin 2 COS 0 ) = 2, 所以 sin 0 COS 0 = 1 2. 所以 tan 0 + tan 0 cos 0 0 cos 0 sin sin - =2 sin 0 CO

43、S 0 (2)(cos a sin 2 a ) = 1 2sin 1 a C0S a= 1 2X 8= 3_ n n 因为v a V-，所以 COS a v sin a，即 COS a sin a V 0, 所以 COS a sin a T. 3化简 sin a 1 COS =1 2sin a COS a 38 尝试解答原式= sin a 1 COs a 1 cos a 1 + cos a sin a 1 COs a (1 cos a ) 2 2 1 COs a a 1 cos a sin 1 cos a 面ar=1. 粪題通比 (1)利用同角三角函数关系化简的常用方法 化切为弦，减少函数名称

44、，便于约分化简; f 对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首 先用绝对值号表示，然后考虑正负； 对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幕化简. (2)简单的三角恒等式的证明思路 从一边开始，证明它等于另一边; 证明左、右两边等于同一个式子; 逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简. 3求证：dos。 cos a tan a - - 1. 1 + cos a sin a sin a COS a tan a sin a 证明： COS a COs a 1 + cos a 1 COS a 1 + COs a sin a 1 cos a 2

45、 2 n a sin a sin a . = 2 = 2 = 1. COs a 1 COs a sin a 课堂归纳感悟提 sin 0 cos 0 与 sin 0 cos 0关系的应用. 难点是三角函数式的化简与证明. 2 要掌握 sin 0 cos 0与 sin 0 cos 0之间的转换 (1)(sin 2 0 + cos 0 ) = 1+ 2sin 0 cos 0 ; (2)(sin 2 0 cos 0 ) = 1 2sin 0 cos 0 ; (3)(s in 2 2 0 + cos 0 ) + (sin 0 cos 0 ) = 2; (4)(s in 2 2 0 cos 0 ) = (

46、sin 0 + cos 0 ) 4sin 0 cos 0 1 本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及 3要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用 39 (1) 利用同角三角函数的基本关系求值，见讲 1; (2) sin 0 cos B与 sin 0 cos 0关系的应用，见讲 2; (3) 三角函数式的化简与证明的方法，见讲 3. 4本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求 sin a、cos a的值时，易忽视 a漏解或多解的错误，如讲 1 的第(1)题. 达标练 能力练 学业水乎小测“辻学 生證热打铁涓比所学. 既媒速度又编准度 课下社力提升.提速 提SL每课一輕测,步 课下能力

47、提升(五) 学业水平达标练 题组 1 利用同角三角函数的基本关系求值 1.已知 a是第二象限角， 5 sin a 13 12 A届 13 2 D. 13 令层练习同本捉能/eflcfrr/f ian? t 对角a所处象限的讨论，造成 sin a、cos 40 因为a 是第二象限角，所以 cos a V 0, cos a =- 1 Sin a 12 13 tan n,琴，则 cos a =( 4 A士 5 4 B. 5 C 解析：选 C 由 tan 3 卄 sin a 4,即 sos- 4 所以sin a 3 =4cos a . 又 sin 2 “ + cos a = 1 代入得 3cos a

48、4 1 2 + cos 整理得 2 cos a 16解得 cos 25 3 n ，所以 cos a V 0,故 cos 4 5. .右 cos a是第三象限角，则 sin a ,tan a 解析：由 2 sin a 2 .2 2 + cos a = 1 得 sin a = 1 COS a = 1 4 5 25 解析：选 2.已知 132 = 9. 3 . 41 3 已知a是第三象限角，则sin av 0,于是sin a=-5. 从而 tan a X =-1 - 4 =专 答案: 4.已知 2cos? a + 3cos a sin . 2 a 3sin a = 1 , 2sin a 3cos a

49、 tan a ； 4sin a 9cos a . 解: (1)2cos 2 a 十 3cos a sin a 3sin 2 a 2 2 2 2cos a 十 3cos a sin a 3sin a 2 十 3tan a 3tan a .2 2 sin a + cos a - 2 1 + tan a 2 2+ 3tan a 3tan a 口戸 2 则 2 = 1，即卩 4tan a 3tan a 1 = 0. 解得 tan a =1. a 为第二象限角, tan a v 0, 二 2sin a 3cos a cos a cos、a 2tan (2)原式二 4sin a 9cos 1 2X 二一

50、3 a 3 4 7 a 4ta n a cos a cos a 9 4X 二一 9 题组 2 5.已知 e 角 s 限 8 象 三 0 第 是 n si cos 0关系的应用 4 4 0 + cos 0 =5,则 sin 0 cos 0 的值为（ ） ;2 険B 解析：选 A sin 4 4 0 + cos 0 5，得 (sin 2 0 + cos 2 2 )2sin 0 cos 20 =5* . - 2 2 sin 0 cos 0 2 / 0是第三象限角, sin 0v 0, cos 0 v 0,. sin 0 cos 0 9. 3 . 42 6 .若 cos a 十 2sin a = ,

51、5，贝U tan a =( )法 43 A； B . 2 C 2 D 2 2 2 解得 sin 0 12 COs 0 = 25. 解析：选 B 由已知可得 (cos a + 2sin a ) 2= 5, 2 即 4sin a + 4sin a COS 2 cos a = 5(sin 2 2 a + COs a ), 4ta n + 4 = 0, tan a = 2. 7.已知 Ov 7t ，且 sin 1 cos 0 =7, 5 求 sin 0 + cos 0 , tan 0 的值. 解：T sin 1 0 cos 0 =, 5 (sin 0 cos 2 1 0)= 25. sin sin /

52、 Ov 0 v n，且 sin sin 0 + cos 0 1 0 cos 0 = 5, 7 0 + cos 0 =二, 5 sin 0 tan 0 = cosi 0 cos =(sin sin cos 4 3. 12 0= 25 0， sin 0 0, cos 0 0. 0 + cos 0 ) 2= 1 + 2sin 0 cos 0 = 4 0 = 5, 3 0= 5, &化简： 1 2sin 130 cos 130 sin 130 + 1 sin 2130 题组 3 三角函数式的化简与证明 解：原式= 24=5.由 in 2130 2sin 130 cos 130 + cos213

53、0 |sin 130 cos 130 | sin 130 + 寸COS2130 =sin 130 + |cos 130 | sin 130 cos 130 - =1 sin 130 cos 130 ，、十 tan a sin a tan a + sin a 9.求证： = tan a sin a tan a sin a 证明 ： 法一：/ 右边 tan2 a 2 2 tan a cos a (ta n a a ) tan a sin a tan 2 a sin (tan a sin a ) tan a sin 2 2 tan asin a (tan a sin a ) tan a sin a

54、原等式成立. 2 2 tan a (1 COS a ) (tan a sin a ) tan a sin a tan a sin a tan a sin a tan a sin a tan a tan a cos a sin a 1 cos a 44 tan a + tan a cos a tan a sin a 1 + cos a sin a sin a 1 cos a (1 cos a ) 2 sin a sin a sin a (1 cos a ) 1 cos 左边=右边，原等式成立. 能力提升综合练 1 .已知 sin sin 4 cos a的值为（ 解析：选 2 cos a )(sin 2.若 A. 3 解析: =tan x. k n a半 -5 C. / sin D. cos . 2 =1 sin a 4 =-.sin 5 5 4 a cos 4 2 =(sin cos a ) = sin a为第三象限角，则 2 cos a cos a sin a 1 4 ；.故选 B. a ；1 cos2 a 2si n + 的值为（ 5 5 cos a 2sin a a为第三象限角，原式=+ 3. tan 1 A. tan tan x 解析: sin x cos x 硏+sn xsin (k Z)时, 1 、 cos a + t