2019-2020学年江苏省无锡市南长实验、侨谊教育集团九年级(上)期中数学试卷(解析版)

1、2019-2020 学年江苏省无锡市南长实验、侨谊教育集团九年级（上）期中数学试卷、选择题（共 10 小题） .13 分）下列方程为元二次方程的是 （ ）234A x 2 0已知关于 x 的方程1Ak3B2x 3C xy 1 02D x 4x 1x2 2 xB3k0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （3 分）某款手机连续两次降价，售价由原来的百分率为 x ，则下面列出的方程中正确的是 （x，2A 1185 x2 580C 1185(1 x2) 5803 分）在平面直角坐标系中，以C k 3且 k1185 元降到580 元设平均每次降价的BD1185(1580(1O 为圆心的圆过点 A

2、（0,x)2x)24)，5801185则点 B( 2,3)O 的位置关系是 （ ）A 在圆内B在圆外C在圆上D无法确定53 分）下列语句中，正确的是A 长度相等的两条弧是等弧B相等的圆周角所对的弧相等6789C相等的弧所对的圆心角相等3 分）关于 x 的方程 2x 2 mx3 分）A23 分）A 203 分）B8已知正方形的周长为 8，D平分弦的直径垂直于弦0的两个根是 2和 1，则 nm的值为C16D那么该正方形的外接圆的半径长为 （C4D1622已知圆锥的底面半径为 4cm ，母线长为 5cm ，则这个圆锥的侧面积是 （ ）cm22B 20cm22C 40 cm22D 40cm2如图， A

3、BC是等腰直角三角形， AC BC 2，以斜边 AB 上的点 O为圆心的圆分别与 AC ， BC相切于点 D，E，与 AB分别交于点 G，H ，且 DG的延长线 和 CB 的延长线交于点 F ，分析下列四个结论： HG 2 ； BG BF ； AH BG 2 1； CF2 1 其中正确的结论有 （)B2个C3 个10（3分）如图，已知 P是 O 外一点， Q是O 的半径为 2， OP 4 ，则线段 OMD 4 个O 上的动点， 线段 PQ 的中点为 M的最小值是 （ ）连接 OP ，OM 共1二、填空题CD3112 分）方程122 分）已知132 分）若|8 小题，每小题 2 分，满分 16

4、分）2x2 2 x 的解是x 1是关于 x 的方程 ax2 2x 30 的一个根，则 ax2 4x 4|与 2x y 3 互为相反数，则x y 的值为在 O 中，弦 AB 16cm ， OC AB ，垂足为 C ， OC 6cm2 分）如图，1415（2分）如图，已知四边形 ACDB 是圆内接四边形，1 130 ，则 CDE度17（2 分）如图，16（2分）如图，若以平行四边形一边 AB为直径的圆恰好与对边 CD 相切于点 D ，则 C， O 在矩形 ABCD 内，且与 AB 、BC 边都相切， E 是 BC 上一点， 将 DCE沿 DE 对折，点 C 的对称点 F 恰好落在O 上，已知 AB

5、 20 ， BC 25 ，CE 10 ，则OABC 的边长为 2，以 O为圆心， EF 为直径的半圆经过点 A ，连 接 AE ， CF 相交于点 P ，将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位置开始，绕着点 O 逆时19（ 16 分）解方程：1）2x7x602）(5x1)23(5x1)3）2 x4x3 0 (用配方法）4）2 x4x2 0 (用公式法）20（ 6 分）如图，已知在 ABC 中， A 901）请用圆规和直尺作出P，使圆心 P在 AC边上，且与 AB， BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明） P 的面积9x 25 m 0 1）若此方程有实数根，求 m 的取值范围；

6、2）在（ 1）的条件下 m 取满足条件的最大整数时，求此时方程的解22（8分）如图， C 、 D是半圆 O上的三等分点， 直径 AB 4，连接 AD、AC，DE AB， 垂足为 E，DE交AC于点 F （1）求 AFE 的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留和根号）23（8 分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可 增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利

7、于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？24（8分）设 a、b、c是等腰 ABC的三条边，关于 x的方程 x2 2 bx 2c a 0有两个 相等的实数根，且 a 、 b 为方程 x2 mx 3m 0 的两根，求 m 的值25（10分）如图，在半径为 3的 O中， AB是直径， AC是弦，且 AC 4 2过点 O作 直径 DE AC ，垂足为点 P，过点 B的直线交 AC的延长线和 DE的延长线于点 F 、G （1）求线段 AP 、 CB 的长；是 O 的切线数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：1）如图 1

8、，已知 A、 B是慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹） ；O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C ，使ABC 为“智2）如图 2，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF1CD ，试判4断 AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：3）如图 3，在平面直角坐标系在 O 上存在一点 P ，使得xOy 中， O 的半径为 1，点 Q 是直线 y 3 上的一点，若OPQ 为“智慧三角形” ，当其面积取得最小值时，直接写出27（ 12 分）如图1，直线 lAB于点 B，点C在 AB上，且 AC:CB 2:1 ，点M是直线 l上的动点， 作点 B

9、 关于直线CM 的对称点 B ，直线 AB 与直线 CM 相交于点 P ，连接 PB ，线段 PA 与 PB 的比值为1）如图 2，若点 P 与点 M 重合，则 PAB（2）如图 3，若点 P与点 M 不重合，设过 P ， B ， C三点的圆与直线 AP相交于 D，连接 CD ，求证： CD CB ； PA 2PB ；（3）如图 4，若 AC 2 ， BC 1，则满足条件 PA 2PB 的点都在一个确定的圆上，在以下 小题中选做一题：如果你能发现这个确定的圆的圆心和半径， 那么不必写出发现过程， 只要证明这个圆上的 任意一点 Q ，都满足 QA 2QB ；如果你不能发现这个确定的圆的圆心和半径

10、， 那么请取出几个特殊位置的 P 点，如点 P 在参考答案一、选择题： (本大题共有 10小题，每题 3 分，共 30分)1(3 分)下列方程为一元二次方程的是( )2D x 2 4x 1 02A x 2 0B xC 1185(1 x2) 580解： 依题意得：第一次降价的手机售价为：21185(1 x)(1 x) 1185(1 x)2 580 ；故选： B 4( 3分)在平面直角坐标系中，以 O 为圆心的圆过点 A(0, 4)，则点 B( 2,3) 与 O 的位置关系是 ( ) 2x 3C xy 1 0解： A 、 x 2 0 是一元一次方程，故 A 错误；2B、 x2 2x 3是二次三项式

11、，故 B 错误；C 、 xy 1 0 是二元二次方程，故 C 错误；D、x2 4x 1 0是一元二次方程，故 D 正确； 故选： D 2(3 分)已知关于 x 的方程 x22x 3k 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 (AkBkC k 13且 k 01185 元降到 580 元设平均每次降价的 ()2B 1185(1 x)2 5802D 580(1 x)2 11851185(1 x) 元，则第二次降价的手机售价为：解： 方程 x2 2x 3k 0 有两个不相等的实数根，4 12k 0 ，解得：k 1 3故选： A 3(3 分)某款手机连续两次降价，售价由原来的 百分率为 x ，则下

12、面列出的方程中正确的是2A 1185 x2 580C在圆上D无法确定A 在圆内B 在圆外解： 以 O为圆心的圆过点 A(0, 4)，圆的半径 r 4 ，点 B( 2,3) ，OB 22 32 13 4 ，点 B( 2,3) 与 O 的位置关系是在圆内， 故选： A 5(3 分)下列语句中，正确的是 ( )A 长度相等的两条弧是等弧B相等的圆周角所对的弧相等C相等的弧所对的圆心角相等D平分弦的直径垂直于弦解： A 、长度相等的两条弧不一定为等弧，所以 A 选项错误；B 、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以 B 选项错误；C 、相等的弧所对的圆心角相等，所以 C 选项正确；D 、平分弦

13、(非直径)的直径垂直于弦，所以 D 选项错误故选： C 6( 3分)关于 x的方程 2x2 mx n 0的两个根是 2和 1，则 nm的值为 ( )A 8B8C 16D 16解： 关于 x的方程 2x2 mx n 0的两个根是 2 和 1，7(3 分)已知正方形的周长为8，那么该正方形的外接圆的半径长为A2C4D22m1，n222m2，n4，m n(4)216故选：C解： 正方形的周长为 8， 边长 AB 2 ， 四边形是正方形，AOB 90 ，OAAB sin 452 ，故选：B8（ 3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm ，母线长为 5cm ，则这个圆锥的侧面积是 （ ）2A 20 cm2B

14、 20cm2C 40 cm2D 40cm解： 圆锥的侧面积4 5 2 20故选： A 9（ 3 分）如图，ABC是等腰直角三角形，AC BC 2，以斜边 AB 上的点 O为圆心的圆分别与 AC， BC相切于点 D， E，与 AB 分别交于点 G ， H ，且 DG 的延长线和 CB 的延长线交于点 F ，分析下列四个结论： HG 2 ； BG BF ； AH BG 2 1； CF2 1 其中正确的结论有 （)A1个解： 如右图所示，O与 AC、B2个 连接 OD 、 OE ， BC切于点 D、 E，C 3 个D 4 个ODC OEC 90 ， OE OD ， 又 ABC 是等腰直角三角形，C

15、90 ， A 45 ，四边形 DCEO 是正方形，OD /BC， OE OD， OD AC，ADO 是等腰直角三角形，OD1AD AC 1 ，2HG2OD 2 ；故正确；ACBC ， A ABC 45 ，EOB 45 ，ODG 135 ，ODOG，OGD ODG 22.5 ，BGF 22.5 ，BGF F ABC 45 ，F22.5 ，BGBF ，故正确；OEOD，O在ACB 的角平分线上，O 是 AB 中点，ADCD，又 AC 2 ，ADCD OD OE 1 ，OG1，又 AB 2AC 2 2 ，OB2，BGOB OG 2 1，同理 AH BG 2 1，故正确；CF2 BF 2 1 故正确故

16、选： D 10（3 分）如图，已知 P 是 O 外一点， Q是 O 上的动点， 线段 PQ 的中点为 M ，连接 OP ，O 的半径为 2， OP4 ，则线段 OM 的最小值是 （OMC 2D 3解：设 OPO 交于点 N ，连结 MN ，OQ ，如图，OP 4， ON 2，N 是 OP 的中点，M 为 PQ 的中点，MN 为 POQ 的中位线，11MN OQ 2 1 ，22点 M 在以 N 为圆心， 1 为半径的圆上，当点 M 在 ON 上时， OM 最小，最小值为 1，线段 OM 的最小值为 1 故选： B 二、填空题（共8 小题，每小题 2 分，满分16 分）11（2 分）方程2x2 2

17、 x 的解是 x10，x2 2解： x22x0，x( x 2) 0 ，x 0 或 x 2 0 ， x1 0 ， x2 2故答案为 x1 0， x2 212（2 分）已知 x 1是关于 x的方程 ax2 2x 3 0的一个根，则 a 1 解： 把 x 1代入方程，得 a 2 3 0 ， 解得 a 1 故答案为 1 13（2 分）若 |x2 4x 4| 与 2x y 3 互为相反数，则 x y的值为 3 解： 由题意得： x2 4x 4 0， 2x y 3 0 ， 解得： x 2 ， y 1， 则 x y 3 ，故答案为： 3O 中，弦 AB16cm ， OCAB ，垂足为 C ， OC14（2

18、分）如图，OCAB，AC1BC AB 8 ，2在 RtOAC 中， OA 62 82 10 ，即 O 的半径为10cm 故答案为 101 130 ，则 CDE 65 度15（2分）如图，已知四边形 ACDB 是圆内接四边形，11解： A 12 1 12 130 65 ，CDE A 65 故答案为 6516（2分）如图，若以平行四边形一边 AB为直径的圆恰好与对边 CD相切于点 D ，则 CCD 是 O 切线，OD CD ，四边形 ABCD 是平行四边形，AB / /CD ，AB OD ，AOD 90 ，OA OD ，A ADO 45 ，C A 45 故答案为 4517（2 分）如图， O 在矩

19、形 ABCD 内，且与 AB 、 BC 边都相切，E是BC 上一点，将 DCEBC 25，CE 10 ，则过点 F 作 AD ，BC的垂线 GH ，过 O作 MN /BC交 AB于MGH 于 N ，四边形 ABCD 是矩形，将 DCE 沿 DE 对折，点 C 的对称点DFE 90 ，GFDHFE90GFDGDF90GDFHFE ，DGFFHE ，DG GFDFFH HEEFAB 20 ，BC25，CE10，DG HC16，GF12， FH 8 ，设圆 O 的半径为 r在直角三角形FON中，2 r(9 r )2F 恰好落在 O 上，C 90 ，(8 r)2 ，解得： r 5 ，故答案为： 5沿

20、DE 对折，点 C 的对称点 F 恰好落在 O 上，已知 AB 20A ，连O 逆时18（2分）如图，正方形 OABC的边长为 2，以O为圆心， EF 为直径的半圆经过点 接 AE ， CF 相交于点 P ，将正方形 OABC 从 OA 与 OF 重合的位置开始，绕着点针旋转 90 ，交点 P 运动的路径长是 2FH解：如图点 P运动的路径是以 G为圆心的弧 EF，在 G上取一点 H，连接 EH 、 四边形 AOCB 是正方形，AOC 90 ，1AFP AOC 45 ，2EF 是 O 直径，EAF 90 ，APF AFP 45 ，EPF 135 ，EF 是定值，点 P 在以点 G 为圆心， G

21、E 为半径的圆上，H APF 45 ，EGF 2 H 90 ，EF 4，GE GF ，EG GF 2 2 ，EF 的长 90 2 22180故答案为 2三、解答题（共 9 小题，满分 84分）19（ 16 分）解方程：（1）2x7x60（2）(5x1)23(5x1)（3）2 x4x3 0 (用配方法）（4）2 x4x2 0 (用公式法）解：（1）(x1)(x6) 0 ，x1 0 或 x60则x1或x6；(2) (5x 1) 3(5x 1) 0 ，(5x 1)(5x 4) 0 ，则 5x 1 0或 5x 4 0 ，解得 x1 0.2 ， x2 0.8 ；(3) x2 4 x 3 ，22x2 4x

22、 4 3 4，即 (x 2)2 7 ，则 x 2 7 ，ABC 中， A 90即 x1 2 7 ， x2 2 7 ；4) 16 4 2 8 0 ，x4 B 60 ， BP 平分 ABC ，ABP 30 ，APtan ABP ，ABAP AB tan ABPS P 3 2 ，2，x12 2 ， x22220（6 分）如图，已知在1）请用圆规和直尺作出P ，使圆心 P 在 AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）2)若 B 60 ， AB 3 ，P 的面积333，221（6 分）已知关于 x的方程 x29x 25 m 0 （ 1）若此方程有实数根，求 m 的取值范围

23、；（2）在（ 1）的条件下 m 取满足条件的最大整数时，求此时方程的解 解：（1） 关于 x 的方程 x2 9x 25 m 0 有实数根， 92 4 1 (25 m)解得： m 149，m 的取值范围为1942）由（ 1）得 m 5 ，原方程为 x2 9x 20 0，即 (x 4)(x 5) 0 ， 解得： x1 4 ， x2 5 ，当 m 5 时，方程的解为 4 和 5 AB ，22（8分）如图， C 、D 是半圆 O上的三等分点， 直径 AB 4，连接 AD 、AC ，DE 垂足为 E ， DE 交 AC 于点 F （1）求 AFE 的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留和根号）解：（

24、1）连接 OD ， OC ，C 、 D 是半圆 O 上的三等分点，AD CDBC，AODDOCCOB60 ，CAB 30DE AB ，AEF 90AFE 903060 ；2）由（ 1）知，AOD60 ，OA OD ，AB4，AOD 是等边三角形， OA 2 ，DE AO ，DE 3 ，60 22360S扇形 AODS AOD23（8 分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240 元，请回答：1）每千克核桃应降价多少

25、元？2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？解答】（1）解：设每千克核桃应降价x 元1分4分x根据题意，得 (60 x 40)(100 20) 2240 2化简，得 x2 10 x 24 0解得 x1 4 ， x2 6 6分答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元 7分（2）解：由（ 1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元 此时，售价为： 60 6 54（元 ），设按原售价的 m 折出售，则有： 60 m 54，10解得 m 9 答：该店应按原售价的九折出售24（8分）设 a、b、c是等腰

26、ABC的三条边，关于 x的方程 x2 2 bx 2c a 0有两个 相等的实数根，且 a 、 b 为方程 x2 mx 3m 0 的两根，求 m 的值解： 方程 x2 2 bx 2c a 0 有两个相等的实数根，即：4b4 (2 c a)0，ab2c 0 ，即ab2c，a、b、 c 是等腰ABC 的三条边，abca、b为方程 x2mx 3m 0 的两根，方程x2 mx 3m0有两个相等的实数根，2m2 4 ( 3m) 0 ，解得 m 12 或 m 0 (舍去) 25（10分）如图，在半径为 3的 O中， AB是直径， AC是弦，且 AC 4 2过点 O作 直径 DE AC ，垂足为点 P，过点

27、B的直线交 AC的延长线和 DE的延长线于点 F 、G1）求线段 AP 、 CB 的长；FG 是 O 的切线解：（1）DEAP PC12ACO 的直径，且 DE AC ，AC 4 2 ， AP 2 2又 OA 3 ， OP 1又 AB 是 O 的直径，O为 AB的中点，1OP BC ， BC 2OP 2 2OG OBOA OPBOGPOA ，BOG POA ，GBO OPA 90O 上，又 点 B在FG 是 O 的切线26（ 10 分）定义： 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形” 理解：O 上两点，请在圆上找出满足条件

28、的点 C ，使 ABC 为“智1）如图 1，已知 A、 B是慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹） ；2）如图 2，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， F 是 CD 上一点，且 CF 1 CD，试判 4断 AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：3）如图 3，在平面直角坐标系在 O 上存在一点 P ，使得O 的半径为 1，点 Q 是直线 y 3 上的一点，若OPQ 为“智慧三角形” ，当其面积取得最小值时，直接写出xOy 中，理由如下：设正方形的边长为4a ，E 是 BC 的中点，BE EC 2a ，CD :FC 4:1 ，FCa， DF4aa 3a在 RtABE 中，AE AEF 是“智慧三角形”(4a)2(2a)220a2，在 RtECF 中，2EF2(2a)222 a 5a在 RtADF 中，AF2(4a)22(3a)225a2，AE222 EF2AF2，AEF 是直角三角形，斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半，AEF 为“智慧三角形” ；（3）如图 3 所示：由“智慧三角形”的定义可得 OPQ 为直角三角形， 根据题意可得一条直角边 OP 1 ，PQ 最小时， POQ 的面积最小，即 OQ 最小，由垂线段最短可得斜边最小为 3，由勾股定理可得PQ321