空间解析几何和向量代数

1、空间解析几何和向量代数：空间 点的距离：d M 1M 2( x2x1)2( y2 y1 )2( z2z1 )22向量在轴上的投影：Pr juABAB cos ,是与 轴的夹角。ABuPr j u (a1a2 ) Pr j a1Pr j a2a b ab cosaxbxaybyazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角：cosaxbxaybyazbzax 2a y2az2bx 2by2bz2ijkc a baxayaz , ca例：线速度：vwr .b sin .bxbybzaxa yaz向量的混合积：(ab ) cbxbybzabc cos ,为锐角时， abccxcycz代表平行六面体的体积

2、。平面的方程：1、点法式： A( x x0 )B( yy0 )C (zz0 )0，其中 n A, B,C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0Cz0DA2B2C 2空间直线的方程： xx0yy0z z0xx0mtt ,其中 s m, n, p; 参数方程： yy0ntmnpzz0pt二次曲面：221、椭球面： x2y2ab2、抛物面： x2y 22 p2q3、双曲面：单叶双曲面： x2y2a2b 2双叶双曲面： x2y2a2b 2z2c21z（, p,q同号）z21c 2z2（马

3、鞍面）c21多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算： z dz f x (x, y) x f y ( x, y) y 多元复合函数的求导法 ：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzxuxv当 uu( x, y)， vv(x, y)时，duu dxu dydvv dxv dyxyxy隐函数的求导公式：隐函数 F ( x, y)0，dyFx ，d 2 ydxFydx 2隐函数 F ( x, y, z)0， zFx ，zxFzyvx( Fx )(Fx)dyx F yyFy

4、dxFyFzF ( x, y,u,v)0(F,G)FFFuFvuv隐函数方程组：0JGGGuGvG( x, y,u,v)(u, v)uvu1(F ,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F ,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：x(t ), z0 )处的切线方程： xx0yy0z z0空间曲线y(t)在点 M (x0 , y0z(t)(t0 )(t0 )(t 0 )在点 M 处的法平面方程：(t 0 )( x x0 )(t 0 )( yy0 )(t0 )( zz0 )F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFx若空间曲线方程为：

5、,则切向量 T G y,G x,G ( x, y, z) 0G z G zG x曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M (x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量： n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )F y (x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、过此点的法线方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz ( x0 , y0 , z0 )0F

6、yG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向导数与梯度：函数z f (x, y)在一点沿任一方向的方向导数为： fffp( x, y)llcossinxy其中 为x轴到方向 l的转角。函数z f (x, y)在一点的梯度：gradf ( x, y)ffjp( x, y)xiy它与方向导数的关系是 ：f，其中ecosi sin j，为方向上的grad f ( x, y) ell单位向量。f 是gradf ( x, y)在l 上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x(x0 , y0 )，令：f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0, y0 ) B, f yy ( x0