垂直于弦的直径知识点总结

1、24.1.2 垂直于弦的直径【知能点分类训练】知能点 1 圆的对称性1圆是轴对称图形，它的对称轴是_，圆还是中心对称图形，它的对称中心是_2两个同心圆的对称轴（） a仅有 1 条 b仅有 2 条 c有无数条 d 仅有有限条3如图所示，ab是 o的一条弦，作直径cd ，使 cd ab ，垂足为e（1）图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？（3）在图中，连接oa ，ob ，则 oab是等腰三角形，那么直径 cd既是 o? 的_，又是 oab的_把圆沿着直径cd折叠时， cd两侧的两个半圆重合，点 a与点 b重合，ae与_?重合，ac与_重合，

2、ad与_重合同理可得到ae_be ，ac=_，ad=_知能点 2 垂直于弦的直径4 如图所示， ab是 o的直径，cd为弦，cd ab于 e， 则下列结论中不一定成立的是（） a coe= doe bce=de coe=be dbcbd (第 4 题) (第 5 题) (第 8 题) 5如图所示，在o中， od ab于 p ，ap=4cm ，pd=2cm ，则 op的长等于（） a9cm b6cm c3cm d 1cm 6在 o中， cd为直径， ab为弦，且cd平分 ab于 e，oe=3cm ，ab=8cm ，则 o? 的半径为 _7在 o中，直径ab垂直于弦cd于 e ， cod=100

3、，则 coe=_ eodcba8如图所示，已知ab是 o的直径，弦cd与 ab相交于点e，当_时，cd? ab （填写一个你认为适当的条件）9如图所示，在abc中， c=90，ac=3 ，bc=4 ，以点 c为圆心， ca? 为半径的圆与ab ，bc分别交于点d ， e，求 ab ，ad的长10如图所示，在o中， ab ，cd为两条弦，且ab cd ，直径 mn经过 ab中点 e，交 cd于 f，试问：（ 1）点 f 是 cd的中点吗？（2）acbd吗？【综合应用提高】11如图所示，圆弧形桥拱的跨度ab=12m ，拱高 cd=4m ，则拱桥的直径为（） a6.5m b9m c13m d15m

4、( 第 11 题) (第 12 题) 12如图，在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽ab=8m ，?那么油的最大深度是 _13如图所示， 一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中cd， 点 o是cd?的圆心， cd=600m ，e为cd上一点，且oe cd于 f，ef=90m ，则这段弯路的半径是多少？14一座桥， 桥拱是圆弧形 （水面以上部分） ， 测量时只测到桥下水面宽ab为 16m （?如图） ，桥拱最高处离水面4m （1）求桥拱半径；（2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m ，问水面涨高了多少15如图所示， 某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水平宽度为7.2m，?拱顶高出水面2.4m

5、，现有一艘宽为3m ，船舱顶部为长方形，并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？用你所学的数学知识说明理由【开放探索创新】16不过圆心的直线l 交 o于 c，d两点， ab是 o的直径， ae l，垂足为e，bfl，? 垂足为 f（1）在图所示的三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形（2）请你观察（ 1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其他字母） ，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程（3）请你选择（ 1）中的一个图形，证明（2）所得的结论【中考真题实战】17 （黑龙江）如图所示，在o中， ab ，ac为互相垂

6、直且相等的弦od ab ，?oe ac ，垂足分别为d， e ，若 ac=2cm ，则 o的半径为 _ (第 17 题) (第 19 题) 18 （武汉）过o内一点 m的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么 om 的长为（） a3cm b6cm c41cm d9cm 19 （南昌）如图所示，在平面直角坐标系中，o? 与两坐标轴分别交于a，b，c，d四点，且 ac=bd 已知 a（6，0） ，b（0，-3 ） ，c（-2 ，0） ，则点 d的坐标是（） a （0，2） b （0，3） c （0，4） d （0，5）20 （河北）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如

7、图（ 1）所示的工件槽， 其中工件槽的两个底角均为90，?尺寸如图 （?单位：cm ） ，将 形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的a， e，b 三个接触点，?该球的大小就符合要求图（ 2）是过球心o及 a，b， e三点的截面示意图，已知o的直径就是铁球的直径，ab是 o的弦， cd切 o于点 e，accd ，bd cd ，请你结合图（ 1）中的数据，计算这种铁球的直径答案 : 1经过圆心的任意一条直线圆心 2c 3 （1）是直径cd所在的直线（2）相等的线段有ae=be ；相等的弧有abbc，adbd根据此图形是轴对称图形，图形两侧部分重合（3）对称轴对称轴be bcbd= bc

8、bd 4c 5c 提示：连结oa ，则 oa2+（od-pd ）2=ap2，即 oa2+（oa-2）2=42，oa=5 ，op=od-pd=oa-pd=3cm 65cm 750 8bcbd（或 ce=de ，或acad）9解：如右图所示，作cp ab于 p在 rt abc中，由勾股定理，得 ab=222234acbc=5由 sabc=12ab cp=12ac bc ，得52cp=12 34，所以 cp=125在 rt acp中，由勾股定理，得 ap=2222123()5accp=95因为 cp ad ，所以 ap=pd=12ad，所以 ad=2ap=2 95=18510解：如右图所示， （1）

9、点 f 是 cd的中点直径 mn平分不是直径的弦ab ，mn ab ，ab cd ，mn cd ，cf=fd （2）由 mn ab ，mn cd得anbn，cndn，ancnbndn，即acbd 11c 12 2cm 13解：如右图所示，连接od oe cd ， df=12600m=300m 在 rt dof中， od2=of2+df2，r2=（r-90）2+3002，r=545（m ） 这段弯路的半径是545m 14解： （1）如右图所示，设点o为 ab的圆心，点c为 ab的中点，连接 oa ， oc ，oc交 ab于 d，由题意得ab=16m ，cd=4m ，由垂径定理得ocab， ad=

10、12ab=12 16=8（m） 设 o 半径为 xm，则在 rtaod 中，oa2=ad2+od2，即 x2=82+（x-4）2解得 x=10，所以桥拱的半径为10m（2）设河水上涨到ef位置（如上图所示） ，这时 ef=12m ，efab ，有 oc ef（?垂足为 m ） em=12ef=6m 连接 oe ，则有 oe=10m ， om=2222106oeem=8（m ） od=oc-cd=10-4=6 （m ） ， om-od=8-6=2 （m ） 15解：如右图所示，作出ab所在的圆心o，连接 oa ， on 设 oa=r，则 od=oc-dc=r-2.4，ad=2ab=3.6 在 r

11、toad 中，有 oa2=ad2+od2，即 r2=3.62+（r-2 .4）2，解得 r=3.9又在 rtonh 中，有 oh=22223.91.5onnh=3.6 ， fn=dh=oh-cd=3.6- （3.9-2.4）=2.1 （m ） ，这里 2m2.1m ，有 0.1m 的等量，因此货船可以通过这座拱桥16解： （1）（2）结论： ec=fd或 ed=fc （3）选择（ 1） ，证明：过 o作 og cd于 g ，则 cg=gd ae cd ， bfcd ，ae og bf，则四边形aefb为梯形，ab为 o的直径， oa=ob ，eg=gf ， eg-cg=gf-gd，即 ec=df 172cm 18a 19 d 20解：连接oe ，