高考物理解题方法指导之极值问题

1、高考物理解题方法指导之极值问题i综述求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法.物理方法包括:(1 )利用临界条件求极值；(2 )利 用问题的边界条件求极值；(3 )利用矢量图求极值;(4 )用图像法求极值.数学方法包括:(1 )用三角函 数求极值;(2 )用二次方程的判别式求极值;(3 )用不等式的性质求极值;(4 )利用二次函数极值公式求 极值.一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思 路严谨，对数学能力要求较高.多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在 对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题

2、，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件极值挖掘 出来，把极值问题变成解题的中间环节互动探究例1、如图所示，重为g的物体放在水平而上，物体与水平而间的动摩擦 因数为“二馆/3,物体做匀速直线运动.求牵引力f的最小值和方向角.例2、从车站开岀的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动 做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20s,前进了 50m,求这过程中汽车达到的最人速度.例3、已知直角三介形底边长恒为4当斜边与底边所成夹角为多大时，物体沿此光滑斜边由i挣止 从顶端滑到底端所用时间最短？例4、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度n)=10m/s沿光滑 地面滑行

3、，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出当 高台的高度力为多人时，小物块飞行的水平距离$最人？这个距离是多 少？ (g 取 lom/s?)例5、一轻绳一端固定在。点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放, 从小球开始运动玄到轻绳到达竖肓位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最人值？r例6例6、如图所示，己知定值电阻电源内阻厂，滑动变阻器的最 人阻值为r （r>r+c,当滑动变阻器连入电路的电阻/?x多人时，在 变阻器上消耗的功率授大？例7、如图所示，均匀导线制成金属圆环，垂肓磁场方向放在磁感为厶其电阻为 为心q，它以x x x x例7l例8应强

4、度为b的匀强磁场中，圆环总电阻为r.另冇一直导线0p长 rop，一端处于圆坏圆心，一端与圆环相连接，金属转柄0q的电阻 的转速沿圆环匀速转动，问0p中电流强度的最小值是多少？例8、如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场 两极间的电势差为“，匀强磁场区域的宽度为l,要使电子束从磁 场飞出时，在图小所示不超过120。范围内发生偏转（即上下各偏转不 超过60。），求磁感应强度b的变化范围（设磁场方向垂直丁纸面向里 时，磁感应强度为正值）？p例9、如图所示，宽为厶的金属导轨置于磁感应强度为b的匀强 磁场中，磁场方向竖直向卞.电源电动势为e,内阻为八不计其他电阻和 一切摩擦，求开关k闭合后，金

5、属棒pq速度多人时，安培力的功率最人？ 最大值是多少？例10 一个质量为m的电子与一个静止的质量为m的原子发生正碰，例9碰后原了获得一定速度，并冇一定的能量e被贮存在这个原子内部.求电了必须具有的最小初动能是多少？ 课堂反馈反馈1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s?的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车.汽车从路口开动后，在追上自行 车z前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？反馈2、如图所示的电路中,电源的电动势e=12v,邮且r=0.5q,夕ri=2q,r2=3q,滑动变阻器r3=5q.求滑动变阻器的滑动头p滑到什么位置，电路中的

6、伏 特计的示数侑最大值?最人值是多少？反馈2 达标测试1、某物体从静止开始沿宜线运动，当停止运动时，位移为厶 若运动屮加速度人小只能是。或是零,那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？a2、某屮学举办了一次别开生面的“物理体育比赛”，比赛中有个项目：运动员从如图所示的a点起跑，到mn槽线上抱起一个实心球，然后跑到b点.比赛时，谁用的时间最少准胜试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑 最好？m eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee n达标23、一条宽为l的河流通，水流速度为”，船在静水划行速度为v,若v<u,则它的航行方向如何，才能使它到达对岸时向下游行驶的距离最小?4、如图

7、所示，一辆四分z闘弧小车停在粗糙水平地面上，质量为皿的小 球从静止开始由车顶无摩擦滑卜若小车始终保持静止状态，试分析： 运动到什么位置吋，地而对小车的摩擦力最大？最大值是多少？当小球tt17达标45、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为在水平 轨道上停着一个质量为a/=0.99kg的木块，-颗质量为说=0.01 kg的 子弹，以vo=4oom/s的水平速度射入木块屮，然后-起运动到轨道 最高点水平抛出，试分析：当圆半径人多人时，平抛的水平位移是 授大？ r授大值为多少？八、inonvo达标9达标56、一架升飞机，从地面上匀加速垂宜飞行到高度h的天空，如果加速度。和每秒消耗的汕量y之间 的

8、关系是y = ka + n (jl>0, n>0),应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度h时耗汕量最低.7、如图所示，己知电流表内阻忽略不计，电源电动势e=10v,内阻r= 1q,£ rro=r=4q,其屮/?为滑动变阻器的最人值.当滑动片p从最左端滑到最右端r。的过程屮，电流表的最小值是多少?最人值是多少?电流表的示数将怎样变化？ 8、如图所示，ab、cd是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导 轨间的距离为乙 导轨平面与水平面的夹角是0,在整个导轨平面内部冇 垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为3.在导轨的ac端 连接一个阻值为r的电阻，一根垂直于导轨

9、放置的金属棒”，质量为加, 从静止开始沿导轨下滑.已知gb与导轨间的滑动摩擦系数为“，导轨和 金属棒的电阻不计，求”棒的最大速度.9、如图所示，顶角为2的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为仪方向竖直向下的匀强磁场中，现有 一个质量为?，带电量为+g的小球，沿圆锥而在水平而作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径.10、如图所示，一束宽为d的平行光，由红、蓝两种色光组成，入射到一 块上、下表面平行的玻璃砖，其入射角为i,玻璃对红、蓝光的折射率分别为山 和血，则要想从下底而得到两束单色光，玻璃砖的厚度l至少为多大？11、如图所示，水平传送带水平段长/=6m,两皮带轮直径d均为0.2m,距地面高与传送

10、带 等高的光滑水平台上有一小物块以v0=5m/s的初速度滑上传送带，物块与传送带z间的动摩擦因数 “=0.2.求：（1）若传送带静止，物块滑到右端后做平抛运动的水平距离s（）等于多少？（2）当皮带轮匀速转动，且角速度为®吋，物体做平抛运动的水平位 移为$,以不同角速度做上述实验，得到一组对 应的血和s值.设皮带轮顺时针转动时0,逆时 针转动时x 0,试画出平抛距离s随co变化的曲线.专题十一，课吋2解析例1解析：物体的受力图如图.建立坐标系，有：fcos0 - “n=0 fsin&+n-g = 0得 f=/ig / （c（）s+“sin）令 tang二“,则 cos"

11、; + “sin宀 j1 +cos(-卩)f= j】+ / cos (& _ 0 )当归。时，cos（弘°）取极人值1, f有最小值.伫gfmin=、卜十八=g/2,心忡=怎,（p=30°,归30°解法二、将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解.将n与f合成为一全反力r. tan(p=f/n=. nj见n变化会一个起f变、尺变 但r的方向是不变的物 体处于平衡状态，r、f、g的合力必为0,三力构成-封闭三角形.由图可知，当f乖总于r时，f最小.此时，=arctan(l/a/3)=30°, fmin=gsin0=g/2例2解析：设最人速度为仏，即加

12、速阶段的末速度为f，画出其速度时 间图彖如右图所示，图线与/轴围成的而积等于位移.即：5 = x r x vm , 50 =丄 x 20 x vm , vin=5m/s.例3解析：设斜面倾角为0吋，斜面长为s,物体受力如图所示,由图知bs =cos&由匀变速运动规律得：2*亦.山牛顿第二定律得:联立式解得:可见，在90°>0>0°内,当2 0=90。，& = 45。时,sin2&有最大值,有最小值.例4解析：设小物块从曲面顶部的高台飞岀的瞬间的速度为v,1 ° 1 mv7. = mv2 ° 2ill机械能守恒定律,2+

13、 mgh(1)例5解析：当小球运动到绳与竖直方向成&角的c时,p=mg vcosa=mgvsin3小球从水平位置到图中c位置时，机械能守恒冇：mglcos 0 mv2重力的功率为:解可得：p = mgq2glcososn0令 y=cos&sin 0 y = cossin2 0 = (2cos2 sin4 0)(2cos2 6 sin2 0 sin2 0)又 t 2cos2 + sin2 0 + sin? 0 = 2(sin2 + cos2 0) = 2根据基木不等式a + b + c> 3$ abc，定和求积知:3当且仅当2cos20 = sin2, y有最大值 ill

14、2cos2 0 = 1 - cos2 3 得:cos0 = 结论：当cos0 = 时°，y及功率p冇授大值.3例6解析：设变阻器连入电路的为心（0<rxg 由闭合电路欧姆定律冇:=£ 一 i（r + r j =iu（厂+尺）2+ rx + 2（厂 + /?）/ 2 / 2欲使厶有最大值，只有（r + /?l）+rx要有最小值，当" + '）=r<时rxrx2即 r = r 4- &时f &为最小,rx故pre4（厂+ &）例7解析：感应电动势£ =丄oqcob =丄l32mb = n7il3b , /?

15、6;q相当于电源的内阻，当q转至环的中点，即q点与p点关于0的对称点时，（则q点平分r, rqa=rqbr）,电路的总电阻最大，此吋op中电流强度最小.根据 闭合电路欧姆定律，0p中电流强度最小值为：entiljb7 min =j =j roq +roproq +roprop例8解析：根据题意，电子向上偏转时最人偏转角为60%则电子在磁场中做圆周运动的最小半径7為诜,电了在电场中加速冇亠如=竺，电子在洛仑兹m力作用下，作匀速圆周运动，2片当"卸，磁感应强度的最犬值numz警所以磁感应强度的变化范围思丄业亦丄启巴l 2e l 2e60°lf - r v例9解析：开关闭合后，电

16、路中的电流1=,金属棒受到的安r培力为f - rl vf = bil = bl(),可见，f与v是线性关系，作出fvr图线如图，根据直角三角形内接矩形的性质，当金屈棒pq的速度u二e/2bl rif f f时，安培力的功率最大，最大值为匕飞了矿石例1()解析：设电了碰前的速度为3,碰后的速度为5,静止的原子被碰后的速度为5由动量守il宀f 土= m ui + m小、怛定律有112(1)1 ? 1-21-mui =-mui +-mu2 + e由能屋守恒有222(2)论讪-u)由(1)式解出2 一 m 代入(2)丄m vi =丄mui2 +丄阿严s 一+£ 可得：222m整理 nj得：(

17、m+m)mu 1 2n?u i °1 +(m-m)mu /+2me=0i因电子碰后的速度必为实数，所以此方程的判别式b2-4ac>0即4加4。】4(m+n?)加加°】 +2me>0丄mu> m+me根据上式整理可得：2m所以电了必须具有的最小的初动能是m反馈1解析：经过吋间/后，自行车做匀速运动，其位移为g =w,1 。汽车做匀加速运动，其位移为：=-at ,-2两车相距为：a12,3 2a5 = st = vt at = 6/ t，1 - 2 2rb当一 2厂_6小亠-4ac-b20-62:c / “、=2s时山冇最大值，几=6m.2x(3/2)w,4a

18、4x(-3/2)反馈2解析：设dp间电阻为兀，外电路总电阻为乩 则(2 +兀)(8 兀)下面用四种方法先求解rmax-(/?)+ x)(/?2 + r3 兀) r、+ rj + r3方法一：用顶点坐标法求解.抛物线方程nj表示为y=ax2+bx+c,(2 + x)(8 x)io+ 6x +1610,设 y = -x2+6x+16,当x=_b2a=3 时，/?max=-(3)2+6x3 + 1610=25q.方法二：用配方法求解.(2 + x)(8 x)io%2 + 6% + 16 -(x-3)+2510 = 10,即 x=3q 时，/?max= 2.5 q.也可以用上面公式（a+叽=（2 +

19、x）（8 - %）2=25,r _(。+叽乂_2 5qnmax0一厶»乙方法三：用判别式法求解2 /r=,则有-x2+6x+16-10/? = 0, a= b2-4ac = 36-4(-1)(16-10/?)>0,即：100-40/?>0, /?<2.5q,即 /?max=2.5q.方法四：用均值定理法求解10r =心 + "）（8,设 a = 2+x； b = 8-x,当 a = b 日寸，即 2+x = 8-x,10即 x = 3q 时，心ax= (2 + 3)©-3) =25q.以上用四种方法求出尺nax = 2.5q,下边求伏特计的最大读

20、数.fmax7nun=-=4a, uinak= e- /minr = 10v,即变阻器的滑动头p滑到心的小点2.5q处，伏特计有最 + r人值，最人值为10v.达标1解析：根据题意，只有满足如图所示的-t图象所围的而积 等于位移的值，才有最大速度和最短时问.从图象可知，在l 一定时，（即 5，aoat2=5aobct3=）» va=vmax>vb， t2=tmin<t3f 所以卩吶=心£ =。（笃一刁），t2=2 t),得:乂因为 £ = |vmaxr2v maxt t2 t3vmax达标2解析：沿adb路线好.达标3解析：如图所示，以水流速度矢量u的

21、箭头端为圆心，以船的划行 速度卩的大小为半径，作一圆周，分析可知，船航行的可能方向都由0指向圆 上的点，在w的情况下，当船航行的方向恰好与圆相切(图中0p)时，到 达对岸向下游行驶的距离最小，此时船的划行速度u垂直于船航行方向(0p).当sin 0 = v/u ,即=arcsin (v/w)时船到达对岸时向卜-游行驶的距离最小.达标4解析：设閲弧半径为当小球运动到重力7g与半径夹角为&时，速度为卩，根据机械能守恒 定律和牛顿第二定律有：1 .mv -加g/?cos&v2n -mgcos0 = m 3解得小球对小车的压力为：n=3mgcos0,其水平分量为：nx=3加gsin&a

22、mp;cos归mg sin 20 ,2根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，33大小为:仁n 一加gsin20,当sin2" 1,即0 = 45。时,地面对小车的静摩擦力最大，其值为说产_/ng 达标5解析：子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为可，则-1yi所以 v|=v0= 4m/s；m + m设在轨道最高点平抛时物块的速度为”2, rti于轨道光滑，故机械能守恒：1 7 1 ?(m + m)vj2 = 2(/n + m)gr + (/n + m)石所以 v2=yl(m + mv -4(m +m)sr/(m + m) = j16-40r则平抛后的位移 s =呵=4

23、 j r? + 0.4/?,当 r= = 0.2m 时，5max=0.8m.2a达标6解析：设加速度为a,时间为tf则h=at2/2, t=2h /ci，总耗汕y=yt= (ka+n) v2h /a =(k迈不 i2h la ),当a = n/k时，最低耗油量为2 j2hkn .达标7解析：设滑动变阻器滑片p左端的电阻为r左，通过电流表的电流为儿，通过层的电流为&由并联电路可知° =r&<4 r°e,山欧姆定律得：,尺总+厂f即/二:r 并 + （r r片：）+ r=a d，l=io+l= /a（门+1）孕+ 4-乩+1他4 + /?左民把代入式整理得

24、/a=40_40-疋左+5/?左+20 _（&.上尸+26.25ze£当 r = 2.5q 时，/a 有极小值 /amin= 1.52a.26.5当求电流表的最大值时，就盂考虑r的取值范围是“冇界”的.当左=0时，即由式得lap.a= =20 2a.40当 r左=r=4q 时，由式得/ap在匕= = 1.67 （a）._42+5x4 + 20由此可得，电流表先从2a减小到1.52a,然后再增加到1.67a.所以电流表的最人值是2a,其变化 是先减小后增人.o2 t2达标8解析:在卜'滑过程中,ab受重力mg,支捋j n= tngcoso,摩擦u仁屮ngcoso,安培力f=.沿r导轨平面有：wgsinb刃geos。b2l2v-marb? lv当a=0时，ab速度到达最人，msino -“加geos。- = 0 r解得：umax =吨(sinp “ cosp)b2l3达标9解析：小球在运动时将受重力加g,圆锥面对球的弹力m及洛仑兹力/的作用.设小球作匀速 圆周运动的轨道半径为/?，速率为v，正交分解得u2 qu b- n cos6 = m rnsin6-mg= 0qb v + mgctgo = 0 解得r因为v有实数解，山从4（心0,勺m(-qb)2 -4 mgctgo