高考数学求递推数列通项公式的十种策略例析

1、求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的 策略将问题化归为等并数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特 殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证切，因而求递推数列的通项公式问题成为 了高考命题屮颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们 是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、 不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出 通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例1已知数列他满足an+1=2an+3-

2、2n, a1=2,求数列知的通项公式。解知+2两边除以2叫得黑咱弓则貓号弓故数列虫4是以牛=2=1为首，以°为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 2/21 2 2 = l + (n-l)-,所以数列an的通项公式为an=(-n- -)2n。2 2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3-2n转化为呂- =-,说明数 n 1 n 2"+ 2° 2列空是等差数列，再肓接利用等弟数列的通项公式求出 = l + (n-l)-,进而求出数 2n 2n 2列a“ 的通项公式。二、利用累加法求通项公式例2已知数列a“满足an+1 =an +2n + l,

3、 a】=l,求数列a“的通项公式。 解：由 an+1 =an +211 + 1得an+i -an =2n + l则x =(an an_j + (an_i -_2)+ 3-a2) + (a2-a1) + a1=2(n 一 1) +1 + 2(n 一 2) +1 + + (2 2 +1) + (2 1 + 1) +1=2(n 一 1) + (n - 2) + + 2 + 1 + (n -1) +1+ 1) + 12所以数列a.的通项公式为an =n2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n4-l转化为an+1-an =2n + l,进而 求出(an an-l)+(an-l an-2)

4、(a3 a2)+(a2 - 纠)+ a】,即得数列an 的通项公式。例3已知数列a“满足an+1 =an +2-3n +1, a, =3,求数列%的通项公式。解：由 a 时=an + 2 3n +1得 an+l _an = 2-3n +1则知=(an 一知_1)+ (“_1 -an_2) + - + (a3 -a2) + (a2 一aj + 切= (2-3n_1 +l) + (2-3n_2 +l) + -«+ (2-32 +1) + (2-31 +1) + 3= 2(3n-1 +3n_2 + + 32 +3】)+ (n_l) + 33_3n所以 a. =2一一+ n + 2 = 3&

5、quot; +n-ln 1-3评注：本题解题的关键是把递推关系式a”】=% +23" +1转化为an+1-an=2-3n+l, 进而求出(an an_j) + (%_ %_2) + (玄3 - a?) + (a? - a】)+ a】,即得数列a*的通项 公式。例4已知数列a.满足an+1 =3an +2-3n +1, a】=3,求数列a“的通项公式。解：an+i=3an+2-3n +1 两边除以3n+i, wan+l =an 1 2 11o n+1 o n o an+1a“+311+13n故齐常n-1 + n-1n-1n-1需）+（崇_器）+（寻_¥）+彳鼻+丄）+已占）+

6、（23 3n 3 3n_i 3+亠+.+(2+斗3n_2332322)+(丄+丄+斗丄3n 3n 3n_13n_2+ +4) + 13因炜沁2+3"' 1 =31-32n 11+322-3n评注：木题解题的关键是把递推关系式an+1 =3an +2-3n +1 转化为an+lan=2|13n+13n _ 33n+,进 而求出（空=） + （叫气）+ （士一 呂）+3【】 3“-13“-1 3“-23口-2 3“-3+（¥-牛）+牡，即得数列*的通项公式，最后再求数列心訂的通项公式。 3333三、利用累乘法求通项公式例5已知数列a*满足an+1 =2(n + l)5n

7、 -an, a, =3 ,求数列a*的通项公式。解：因为 an+1 =2(n + l)5n -an, a1 =3,所以 an 0,则 = 2(n + l)5n, anmilan an-la3 a2则 a 口 a |an-l an-2a2 ai= 2(n-14-l)5n-,-2(n-2 + l)5n_2-2-(2 + l)-52-2-(l + l)-5,-3=2n_1 -n-(n-l) 3-2- 5(n_1)+(n_2)+，+2+l - 3所以数列a“的通项公式为an =3-2n_, -5 2-n!评注：本题解题的关键是把递推关系an+1=2(n + l)5n.an转化为也 = 2(n + l)

8、5",进而 an求出hazl.玉巴.切，即得数列an的通项公式。an =+ 2a2 + 3a3 + + (n - 1)an-l an-2a2 ai(2004年全国15题)已知数列他满足a, =1,1, n = 1+ (n-l)an_j(n>2),则a“的通项an =n! o n > 22解：因为 a * = a】+ 2a2 + 3a3 + + (n l)an_j (n > 2)所以 3*+ = a+ 2a 2 +3% + + (n l)an_j + na n所以式一式得an+1 -an =nan则 a.+i =(n + l)an(n>2)贝 ijih. = n

9、 + l(n>2)an所以 .-a2an-l an-2a2=n(n -1)4-3-a2 = - a2 由 an =a)+ 2a2 + 3a3 + + (n - l)an_j(n > 2),取 n=2 得a2 = aj + 2a2,则a2 =a), 乂知a = 1,则a2 = 1»代入得n!an =1 -3-4-5n =一。n 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1 =(n + l)an (n > 2)转化为沁 =n + 1 (n22), an进而求出上上g.巴宀，从而可得当心2时的表达式,最后再求出数列a“的 an-l an-2a2通项公式。四、利用待定系数法

10、求通项公式例7已知数列a.满足an+1 =2an +3-5% a, =6,求数列a. 的通项公式。解：设an+1 +x-5n+1 =2(an +x-5n)将 an+1=2an +3-5n 代入式，得 2an + 3 5n + x 5n+1 = 2an + 2x-5n ,等式两边消去 2an,得 3-5n+x-5n+i=2x-5n,两边除以 511,得 3 + x5 = 2x,则 x=-l,代入式，得 an+1-5n+1=2(an-5n)由 a】一5i=6 5 = 1ho 及式，an -5n 0,贝 ij = 2,贝 ijij an-5nan-5n以纠51为首项，以2为公比的等比数列，则心5jl

11、2n，故an =2n-* +5no评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3.5n转化为 an+1-5n+1 =2(an -5n),从而可知数列an -5n是等比数列,进而求岀数列% -5n)的 通项公式，最后再求出数列%的通项公式。例8已知数列a.满足an+1 =3an +5-2n +4, a】=l,求数列a“的通项公式。解：设an+1 +x-2n+1 +y = 3(an +x-2n + y)将an+1=3an+5-2n+4代入式，得3a n + 52" + 4 + x2"i +y = 3(an +x-2n +y)整理得(5 + 2x)-2n +4 + y =

12、 3x2" +3y。人5 + 2x = 3x “x =5 小、/口令q，贝i”，代入式，得4 + y = 3y y = 2an+1 + 5-2nb, +2 = 3(an +5-2n +2)由 a】 +5-21 +2 = 1 + 12 = 13h0 及式,qi < , 9n+, i 9得g+52“+2h0,则=3,an +5-2n +2故数列 + 52“ +2是以a】+ 5 2】+2 = 1 + 12 = 13为首项,以3为公比的等比数列,因此 +5-2n +2 = 13-3n_,则 =13-3n_, 52" 2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1 =3an +

13、5-2n +4转化为an+1 +5-2n+,+2 = 3(an +5-2n +2),从而可知数列a. +5-2n +2是等比数列,进而求出数列a. + 52" +2的通项公式,最后再求数列a.的通项公式。例9已知数列他满足an+1 =2an +3-n2 +4n + 5, a】=l,求数列a“的通项公式。 解：设 an+1 + x(n + i)2 + y(n +1) 4- z= 2(an 4-xn2 +yn + z) wan+1 =2an +3-n2 +4n + 5 代入式，得2an + 3-n2 +4n + 5 + x(n + l)2 + y(n +1) + z=2(an 4- xn

14、2 + yn + z),贝u2a n + (3 + x)n2 + (2x + y + 4)n + (x + y + z + 5) =2a n + 2xn2 + 2yn + 2z等式两边消去 2an ,得(3 + x)n2 + (2x + y + 4)n + (x + y + z + 5) = 2xn2 + 2yn + 2z ,3 + x = 2x则得方程组< 2x + y + 4 = 2yx + y + z + 5 = 2zx = 3则< y = 10,代入式，得z = 18a-i +3(n + l)2 +10(n +1) + 18 =2(an +3n2 +10n + 18)111

15、a)+3w +101 + 18 = 1 + 31 = 32ho及式，得an 4- 3n2 + lon + 18 h 0贝 9 an+】+3(n + l 10(n + l) + 18=2 , 故数列an + 3n2 + lon + 18为 以 an +3n2 +ion + 18aj +3-12 4-10-1 + 18 = 14-31 = 32为首项，以2为公比的等比数列，因此 an +3n2 +10n + 18 = 32-2n1,贝ijan =2n+4 -3n2 -10n-18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3.n2+4n + 5转化为 an+1 +3(n + l)2 +

16、10(n+ 1) +18 = 2(an +3n2 +10n + 18), 从而 可知数 列 an +3n2 +10n + 18是等比数列，进而求出数列an +3n2 +10n + 18的通项公式，最后再 求出数列%的通项公式。五、利用对数变换法求通项公式例10已知数列“满足an+1=2-3na, a, =7,求数列a.的通项公式。解：因为an+1 =2-3na, a( =7 ,所以 an >0, an+1 >0。在an+1 =2-3na 式两边取常用 对数得 lgan+i =51gan +nlg3 + lg2 设lg% +x(n + l) + y = 5(lgan + xn + y

17、) o将式代入式,得 51gan + nlg3 + lg2 + x(n +1) + y = 5(lgan +xn + y),两边消去lg34览2451ga“ 并整理，得(ig3 + x)n + x + y + lg2 = 5xn + 5y ,贝ulg3 + x =5x x + y + lg2 = 5y代入o式，得lga+竿(n + l) +罟+早4164= 5(lgan + 些 n +里 + 乌©“4164由lga】+朋j +些+些= h7+蛭1 +蛭+空工0及o式,141644164ftn1丄 丄 丄n -lg3z -lg316 _lg2忆=lg(7 -3z -316 2巧52 -

18、lg(3 -316 -24)= lg(7-34 -316 -24)5n_1 巴 丄 丄严-n 5“-15“-15n-4n-l严-1lgan +蛭n+蛭 + 蛭工0,n 4164皿呼心)煜浑 叭+竽n +器+些 n 4164所以数列lga“等比数列，+些n +些+ 416贝ij lg a + ° n + f = (lg 7n 4164是以临7 +蛭+些+些为首项，以5为公比的41641。3 la?1。31。3 la?以厶 "+电三+冒+ _)54164n-l1。3lgan=(lg7+-+朋+16n-l ig3lg3 lg2464z-n-lan=755n-4n-15心-13 1

19、6_1_ 1 _1_= (lg7 + lg3 +lg36 +ig2n5n-1评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an+1=2-3na转化为叽“ +孚5 + 1) +器+晋=5(1阿+晋"+詈+从而可知数列lgan +lg3n + lg3 + lg2是等比数列，进而求出数列1阿+些n+蛭+些的通项41644164公式，最后再求出数列乩的通项公式。六. 利用迭代法求通项公式例11已知数列a,j满足an+i=a(n+,)2 a,=5,求数列%的通项公式。解：因为 an+1 =a(n+1)2， ,所以an3n2*in-1_ |-a3(n-l)-2n-2 j3n-2h-!32(n-l

20、)n aim"n-2一 r 3(n-2)«2n_3 132(n-l) n-2(n'2)+<n-,)一如_3o 33(n-2)(n-l)n25-x5-2”5-i)= dn-3c3"723(n-2)-(n-l)-n-2,+2+<o-3)+(n-2mn-l)=ai3f !2=_dn(n-l)乂a, =5,所以数列an的通项公式为an =53"也丁评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式%+严诃5+财两边取常用对数得lgan+1=3(n + l).2nlgan,即里山 =3(n + 1) 2",再由 lg

21、an累乘法可推知lgan =止业丄lgan-! lgan_2an=5 2业.业.1阿,从而lga2 lga七、利用数学归纳法求通项公式例12已知数列心訂满足+ =an,8(n + 1)(2n + l)2(2n + 3)2a1=-，求数川%的通项公式。解:由 an+l = ani8(n +1)(2n + l)2(2n + 3)2q及如得a2 =aii8(1+1)(21+ 1)2(2-1 + 3尸8 8-224|9 9-25258(2 + 1)a 3 = a 277(2-2 + l)2(2-2 + 3)224 8-348=1=25 25 4949a4i 8(3 + 1)(23 + l)2(23 +

22、 3)248 8-480=i=49 49-81812由此可猜测叭罟佶，往下用数学归纳法证明这个结论。w时"艺罟岭所以等式成立。假设当n=k吋等式成立，即“醫詁则当得+ 1吋,8(k +1)(2k + l)2k + 3)2(2k + l)2 -18(k +1) (2k+ 1尸 (2k + l)2(2k + 3)2_ (2k + 1尸l(2k + 3尸 + 8(k + 1)-(2k+ 1尸(2k+ 3尸_ (2k + l)2(2k + 3)2 一(2k+ 3尸 +8(k + l)(2k+ 1)2 (2k+ 3尸_ (2k+ 1尸(2k+ 3f - (2k+ 1尸(2k+ 1尸(2k+ 3

23、尸(2k + 3)2 -1(2k+ 3尸2(k + l) + lj2 -12(k + l) + l2由此町知，当n=k+l吋等式也成立。根据（1） （2）可知，等式对任何nwn*评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进血猜出数列的 通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例13已知数列知满足an+1 =丄（l + 4an + 24心）,at =1,求数列a“的通项公 16式。解：令bn=jl + 24% ,则an=-（b-l）故+1 =£（b：+i - 1），代入 g+1 =（1 + 4an + j1 + 24an）得17117（吐 _1

24、） = 一1 + 4 （b： -l） + bj24n+11624nn即4昭=（叽+3尸因为九=jl + 24a“ ao,故bn+1=71 + 24an+1 >013则 2bn+i=bn+3,即bn+1 =bn + y刊化为 bn+1 -3=*（bn -3）,所以叽-3是以b|-3 = 71 + 24a, -3 = 71 + 24-1-3 = 2为首项，以丄为公比的等比数 列，因此九一3 = 2（丄）nt =（丄严2 ,贝g =（丄）"+3 ,即j1 + 24“ =（丄严+3 ,得2 2 22 z 1 n 、n 1a = （）+ （） h on 3 423评注：木题解题的关键是通

25、过将厲五7的换元为叽，使得所给递推关系式转化1 3bn+1 =-bn +2形式,从而可知数列叽-3为等比数列,进而求出数列bn -3的通项公2 2式，最后再求岀数列%的通项公式。九、利用不动点法求通项公式hj =4 ,求数列an 的通项公式。例14已知数列心訂满足an+1=21an244知+1解令"晋，得4宀20“24 =。则x=2, x2 =3是函数f(x)= 的4x +121an-24_2两个不动占。因为 知+i _2 = 他 +1= 21心 - 24-2(4a” + 1) = 13知 _26 = 13。八''an+1-3 21an-24 21an-24-3(4an+1) 9an-279f-3冷所以数列右是以芾= £1 = 2为首项，以&为公比的