极限及几种求极限重要方法的探究

1、极限及几种求极限重要方法的探究王龙科西北师范大学数学与信息科学学院 甘肃兰州730070摘要：极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。高等数学中的 微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非 常有必要的。本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限 的常见方法，并配有相关例题加以说明。关键词：极限；高等数学；求极限的方法引言极限是高等数学屮最重要得概念乞一，是研究积分和微分的重要工具。极限思 想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。极限 是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它

2、是人们从有限认识到 无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。极限理论的出现 是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。本文接 下來将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。二、极限理论定义1若函数f的定义域为全体正整数集合则称f:n*tr 或 f(n),nen+为数列因为止整数集n+的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作 av a2,an.,或简单地记作an,其中an称为该数列的通项。定义2设务为数列，a为定数。若对任给的正数£,总存在正整数n,使得当 n>n时有i an-a i < £ ,贝i称数列仏收敛于

3、定数a,定数a称为数列a*的极限，并记an=a, 或an a(a->°°)o若数列弦“不收敛，或称弦訂为发散数列。定理1若数列%收敛，则它只有一个极限。定理2若数列收敛，则aj为有界数列，即存在正数m,使得对一切正整数n 有丨g丨wm。定理3若iimnt8听二a>0,则对任何a' e(oa),存在正数n,使得当n>n时有a*ao定理4设anbn均为收敛数列,若存在正数i%,使得当n>n时有an<bn,则 1叽-8 an s lim bn.n->oo定理5设收敛数列an, bn都以a为数列极限,数列“满足:存在正数no, 当n>

4、;n时有an < cn < bn则数列"收敛，且limoo cn=ao定理6实数系中，有界的单调数列必有极限。定理6 (cauchy收敛准则)数列aj收敛的充分必要条件是：对任意的£0, 存在正整数n,使得当n, m>n时有i an-am i < £2、函数极限定义1设f为定义在a, + -上的函数，a为定数。若对于任意£>0,存在正 数m (沃)，使得当x>m时有丨f(x)-a i <e ,则称函数f当x趋于+ ->时以a为 极限，记作linixt+8 f(x)二a。定义2设函数f在点x。的摸个空心领域u

5、°(x0； &)内有定义，a为定数。若对任给的£ >0,存在正数5 ( 6 <8*),使得当0< | x-x0 | < 5时有丨f(x)-a | < e，则称函数f当x趋于x。时以a为极限，记作"叫*0 f(x)二a定理1若极限limxtxo f(x)存在，则此极限必唯一。定理2若linixtxof(x)存在，则f在x。的某空心领域u。(x0)内有界。定理3若limxtx°f(x)二a>0,则对任何正数r<a,存在u。(x0),使得对一切x eu° (x0)有 f(x)>r>0定理4

6、设limxtx。f(x)与limxtx。g(x)都存在，且在某领域u。(x0； 8 )内有f(x)wg(x),贝ulimxfo f(x) < limxtx。g(x).定理5设f在u。(x0； &)内有定义。limxfo f(x)存在的充要条件是：对于任何含于u。(x0； &)且以x。为极限的数列xj,极限li%t8 f(x°)都存在且相等.定理6设函数f在u。(x0； &)内有定义。linixtxof(x)存在的充要条件是：任给£>0,存在正数& ( 5<6，),使得对任何x：x 丘u° (x0； &)有i

7、 f(x')f(x)三、求解极限的若干方法1>利用极限定义求极限例1求limn* 帖(其中a>l)w：现用数列极限加以证明令拮壬x,则入>o 有伯努利不等式推得a= (1 + 入) 二1+门入=l+n(an 一 1)或亦-1 < (*)1 1对ve > 0,由(*)式可见，取n=，当n>n吋，就有an-l<e,即| an-1 | < £极£限定义知1曲28體二1，其屮a>l。例 2 求limx_>3(3x 一 1)解：limxt3(3x - 1)二8,现用函数极限加以证明v | (3x-l)-8 | =3

8、| x-3 |，要使 | (3x-l)-8 i < e ,即 3 | x-3 | < e，只需要使 | x-3i <|，则对v£>0,36=；/使得当 0< | x-3 | < 5 时，有 | (3x-l)-8 i < e由柯西收敛准则得minx_3(3x 一 1)=8。利用极限定义求极限，先要观察岀极值再加以证明，但此方法很少用，因为能 够直接观察出极值的题目并不多见。2、等价无穷小代换求极限无穷小量是指在变化过程中极限为o的变量，而等价无穷小量是指在变化过程 中比值为1的两个无穷小量，常用的无穷小量有：当 xt 0时，sinx tanxt

9、an_1x sin-1 x x,ln(l + x)+ x 1 -,1-cosx鼻以下分情况说明等价无穷小量代换在求极限过程中的应用：n2(1) 极限中只有积商因子的等价无穷小量之间的代换定理1设a, av p, %是同一变化过程中的等价无穷小量，且aa. 0滋,若lim护存在，则有lim严=lim£plplp例 1 求 limxtotan 2xsin 5x解：当 x0 吋tan 2x 2x，sin 5x 5x则limxtotan 2xsin 5x二 limxto2x 25x_5推论1： a, o(i是同一变化过程中的无穷小量，且act,若limf(x)存在，则 有 limaf(x)

10、= limo(if(x)例 2 求limx_0( 1 cosx)x-2解：当 x0 时，因为 1-cosx ,贝ljlimx_,o( 1 cosx)x_2=lim x_2=-.2xto 22推论2： a, av p, bi是同一变化过程中的无穷小量，且aa b队，若 |向警存在，则有|叶警二|向晋.ppp1例 3 求 limxto 圖txcosxa v cosxtan"1 xcosx xcosx v.角牛：iihixto:=linixto=lim cos x=l.a u sinxau x xto(2) 当极限式子中不只含有商积因子还含有加减因子时不可以直接代换定理2 a, o(i，0

11、,仇是同一变化过程屮的无穷小量，且a旳，0仇，则lima+p«i + pia+1 lim 齐+1 lim-jr+1-i i m_e一 "一 卩 一 1tim宝且-怙警+i雋+厂丄'p p pp曲人 +sin-1 x+sin5x例 4 求 limxto解:故sinpi x x,sin 5x 5x, sin-1 x + sin 5x 6x贝ijlimxtosin"1 x+sin 5x .6x 厂=hmxt0 匚=6定理3 a，av 0, 0i是同一变化过程中的无穷小量，且aa. 0仇，则&一1lim 石一1 lim 齐一 1i i m = i i m

12、0 =i= 1 ax-pi 宝_£1 lim 字-1 lim-1 p p pp求 li mxto3x-sinxtan 2x-3x解：当 x0 时，3x-sinx 3x x,tan 2x 一 3x 2x - 3x则,limxto3x-sinxtan2x-3x=lim3x-xx->02x-3x(3) 对于复合函数的极限，若外函数连续，内函数为无穷小量，则其内函数 也可作等价代换。例 6 求limx0(l + ecosxsinx)i-cosx解：当 x*0 时，esxsinx e*,贝ijlimxo(l + ecosxsinx)i-cosx =1-cosx xlim (1 + ex)

13、 x=e2eox->03、利用洛必达法则求极限(1) 洛必达法则介绍当x-a(x-g)时，两个函数f(x)与f(x嘟趋于零或无穷大，那么limxf 器可xt* ')能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并简单记傅或m对于 这种极限即使存在也不能用商的极限这一法则，此时可采用洛必达法。对器这种形式的极限首先要看当x-a(x-g)时，函数f(x)与f(x)是否都趋 xt8 ')于零或无穷。若叱:器满足洛必达法则，则叱:診叱錯此时要看 当x->a(x->-)时，两个函数f&)与f(x)都趋于零或无穷大。若此时还满足洛必达 法则，那么述可以继续使用，

14、否则就不能在使用洛必达法则。(2) 实例例 1 linixtoo 解：当x8吋，丄to,而sinx是个有界量，从=0.xx例2 1叽占ft+2xt1 乂3_乂2_乂+1ex3-3x+23x2-3】6x 3解：1叫t1尹莎苗"叫*黍k訪叫七 i注意，当计算到limxti化时分子和分母都不趋于零当x-1,故不能再使用洛 6x_2必达法则。4、利用两个重要极限求一般极限(1)关于h叫t0沁"x这一个重要极限实际上是两个无穷小量之比的极限，若分子分母分别求极限便 得到0/0这一不定形式，故这一类型的极限为0/0的未定式。这里需要指出的是 极限式中的x仅是一个符号没有具体的含义，故可

15、以将极限式变换为 limxtxo号竽4 此处必须保证当xx。时有f(x) -*0o推广后limx_xo琴浩1叽卞。瞬吟卜們叽w吳二h叫吳，此时必须保证x-x。x x° g(x)x x° f(x) g(x)x x° g(x) x x° g(x)u时有f（x） -0,且limxtx。誥可求解。应该注意的是，使用这一重要极限是必须 保证x的符号一致，包括系数正负号等。但在实际解题过程中一般分子和分母的 x并非一致，但可通过简单变形、拼凑将其变成一致。例1解：c z , ax. axz , ax. axsin（x+ax）-sinx2cos（x+）sincos（x

16、+）sinsm x 二 lim&to二 1101心*代二 hm&to在二 cos x（2）关于limxt8 （1 +-）x=ex同上极限式中的x无具体含义，可将x替换为（1）（x）从而极限式变成lim<b（x）t8（1+爲）*（x）=e°此公式还有一种变形：】叫（归（1 +1e（x）帀之。注意的是e（x）在形式上一定要保持统一，包括正负号。例2求loga x=limax0 10阳（x+：）-logax二曲20 loga（l + y）=；limax->0 loga（l +5、一般函数求极限的方法（1）将函数进行变形消去零因子 例求“巧二肩絳7解:心:;:警阴

17、詁芦亦忍 x+y+ + 1=2（2）取对数法求极限对于形如f（x,y）g（x，y）的函数求极限，可以令z二f（x,y）卩（x，y）,取对数in z=lnf（x, y）g（x,y）,在利用极限性质求解。例 2 求limxto(x? + 丫2尸臥y->0解：令 z=(x2 + y2)x2x2则2 2lnz = x2y2 ln(x2 + y2), limx->o y 2=limxo tt=0, limxo(x2 + y2) ln(x2 + y->0 x +yy->0 壬+只y->0y2)=o2 2所以,limxto in z二limxto y 2 (x2 + y2) l

18、n(x2 + y2)=0 y->0y->0 x +y故limxo(x2 4- y2)x2x2=e°=ly->0(2)换元法求极限xy例 3 求limxto y-0 jx2+y2解：令x = tcos0, y = tsin0, t 为变量，0 丘0, 2 兀贝!j,乂因为丨 t2sin(：c°s ° i wt, lim-omo,故当对于函数f(x,y),设y ztsine+xo 变量°曰°，2兀为参量，把f(x,y) 的极限转换成t,()的函数极限。1.xy y.t2 sin()cos 0limx->0 / ?二limx-

19、>oy-0 "2+y2y-ottto吋，sin : cos m 关于 o 一致收敛于 o,从而limx0-= = 0otyto jx2+y2对上述的处理方法，若能推得丨f(x,y)-a | we(t),而e(t)仅与t有关，与o无关 且在考虑极限4>(t)-*0,贝ij f(x,y)的极限是a。但若丨f(x,y)-a i wd)(t)且对每个固 定的()都有(l> (t,() 0,仍不能说明f(x,y)的极限是ao2例 4 求limxto 了y-o x2+r解：令x = tcos0, y = tsin0, t 为变量，0 丘0, 2 兀贝！j,2x2+y22e, t

20、cos/sin。 0,但不能下结论limx_>0xl=o.事实上i叫to笫不存在，cos 0 +t2 sin 0y-0 x2+y4y-o x2+y2只能上(xy)沿 ky二x 趋于(0,0),此时limx-，o7=77770 y->0 x +y k +1述可将某些二元函数的极限问题转换为一元函数极限，或部分地转化为一元函 数极限问题。例 5 求y->0i字70| w i tcos2°sin()2| ,当(x,y) -0时，t对于任意固定的x2+y2cos 0 +t2 sin 0tan(x2+y2)解：令 u=jx2 + y2,贝ijlim x->o u=lir

21、rix-»o jx? + y2二0, y->0y->0i.1-cosjx+y i.1兽5(5厂ie1-cos u sin u sin u z1-0 t=lim-o 巫赢字 * (cos u2)2=-o6、加逼定理定理 设函数f(p),g(p),h(p),在d上有定义,满足条件:(1)在 peu° (po； 5 ) qd 时,(po为 d 的一个聚点)，有 f(p)wg(p)wh(p)(2 )若limp*。f(p)二a, limp-po h(p)二a,贝ljlimp_>po g(p)=aopgdpgdpgd对分子分母进行适当的放大或缩小，再利用加逼定理求极限

22、；也可以用x2+y2 22xy公式来进行放缩，再利用加逼定理求极限。例 1 求limxto |-yto i x i + i y i解：ow则吧囂i x i + i y ix2+y2 v(丨 x i + i y i ) ixl + lyl、ix| + |y|xw =0.2-=i x i + i y i ,且limxto i x i + i y i =0,y->0x2例 2求 limxto (-73 ) yo x +y22解:ow (齐x w爲)(泸，且吧诫)j,则吧聲雋)=0.例 3 求limn-8 ja； + 电琨,aj>0, i=l,2,3.,k.解：记 a=maxa1/ a2

23、. akrija=va< yaj +h1-< vkan=a vk ,而limn* 阪二 1, 1曲心84阪=3贝jlimn+o vai + a2 ak=a°7. 幕指函数求极限的方法设函数 y=f(x)g(x) ,(f(x)20),若 limf(x)二ajimg(x)=b/若a、b是全不为零的常数，贝ij limf(x)g«=ab;若 a二0°, bho,(i )若 a=°°, b>0,贝!j limf(x)g(x)=8；(ii )若 a=°°, b<0,则 limf(x)g(x)二0；l-x二8,

24、limxt+cox石二0。(3) 若若ahi, bf则(i) b=+°°, 0wav1,则 limf(x)g(x)=o；(ii) b=+°°, 1<a ,则 limf(x)e(x)二8；(iii) b=-°°, 0wav1,则 limf(x)g(x)=8；(iv) b=-°°, 1<a ,则 limf(x)g(x)二0；2 例 2 limx+oo (tan-1 x)x=°°, limxn cosxtanx2=0, limx0+ (x + -)=2 21°°imxt

25、i+ 2xtzx=0o(4) 若 a=b=o； a=l,b=oo; a=oo,b=0,贝ij limf(x)gw为0°, 1°°, °°°型未定式,有两种解法：（i）指数解法：根据f（x）g（x）二eg（x）inf（x）,贝!|00=e01n0=e0oo/loo=eoolnl = e", , oo0=e01noo=e0o°；然后转换成0/0或型利用洛必达法则解决。(ii)对数解法：y二f(x)g(x),两边取对数,得到lny=g(x)lnf(x),通过求iny的极 限得到y的极限。例 3 求limx0+ xx解：y

26、二x*两边去对数得到lny = xlnx ,则limxto+ lny=limx0+ = xlnx=limx_>0+ =0 所以limx_>0+ xx=l.x例4求limxti x五解：limxti x三二limxti eilnx=elimx_>1i：lnx=e_1o、 1. 例 5 求limoo nn111inn解：limn_>+8 nn=limn_>+00 enlnn=e imn_>+oo-=l例 6 求limx_0号：一°入 u sin ix1丄i.鋅 p(l+x)x-e eln(i+x)x_e館 1 叫ort叫。si" tg7；因为

27、，当 x-0 吋，eln(1+x)_1 - 1 iln(l + x)-l,故(l+x)leeln(i+x)-i_1iln(l+x)-lln(l+x)-x eh叫to ttt=elimx_>0” 二小叫丸x=小叫丸二三。例7求叽丸吉q尹)x-1解：li叫“丸廿尹)x - 1二1叽削吉严(呼)一 1二iimxt0$ln()=linixto3cosx-1cosx-1 18、几种特殊求极限的方法（1）通过定积分求极限例 1 求 limnt8 半sin 寸 +sin 半 h sin解：对与某些和式的极限可以考虑通过定积分来求。sin - + sin + . + sin n1：)tt=nnnv1 r

28、 . tt ,. 2tt ,（11一1）眄limnt8；1 letl °tl i .-limnoo - tsin + sm¥ + + sin 5：)"二半 q sin xdx=o例2求limng （点+总+石）解：把此极限式化为某个积分的和的极限式，并转化为计算定积分。为此做如 下变形：limnoo（丄+丄+ + ）二1叽t8器1丄if不难看出，其中和式是函 n+1n+22n1+- n数f（x）二丄在区间oj上的一个积分和，这里所取的是等分分割，3弓& =*丘 1+x半，扣冋2n.所以原式壮詈1门2。（2）通过导数定义求极限f(x+h)rfw=f,可以求自若函数y二f（x）在xo处有定义，则利用导数定义limhto h例 3 设f(a)