2017-2018学年天津市南开区高二下学期期末考试数学(理)试题-解析版

1、1绝密启用前天津市南开区 2017-2018 学年高二(下)期末考试数学(理)试题评卷人得分5i1.复数I 是虚数单位的虚部是A.B.1C.D.i【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得答案.【详解】5i 5i(l + 2i)-10 + Siv- =- =-2 + i1- 2i (1- 2i)(l + 2i)5Si复数I的虚部是1.故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的 理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算,问题出错，造成不必要的失分2.定积分

2、的值为【答案】C【解析】通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单A.B.3C.In2D.In2 -12【分析】3直接利用微积分基本定理求解即可.【详解】由微积分基本定理可得，2J dx = lnx| In2 - Ini = In21，故选C.【点睛】 本题主要考查微积分基本定理的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.丄2y = -X3.曲线在点：*处的切线方程是【分析】求出导函数，把.代入导函数，可求出切线的斜率，根据的坐标和直线的点斜式方 程可得切线方程.【详解】1 2 2 y = -X y = -x由-可得 k = y切线斜率故切线方程是，即.

3、故选B.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出 在处的导数，即 在点出的切线斜率（当曲线，1在P处的切线与V轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为KX）;（2）由点斜式求得 切线方程*.4.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列，可得到不同的三位数（6不能作9用）的个数为（）A.8B.6C. 14D.48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张 卡片有2种可能，一共有6X 4X 2=48（种）.5在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一A

4、 V = ex -2B =【答案】B【解析】C： ：= -.：D:;=:?-4次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为1112A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式, 得到概率.【详解】 因为5道题中有3道理科题和2道文科题,所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题,2 1P =-=-第2次抽到理科题的概率为I故选C.【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解.6已知离散型随机变量，若随机变量，

5、则的数学期望的值为A.100 B. 90C. 18 D.【答案】B【解析】【分析】先利用二项分布的期望公式求得L：，由离散型随机变量的数学期望的性质，可求出随机变量的数学期望.【详解】由题设离散型随机变量宀一，若随机变量，* Ef| - E（5 = 5E = S x 18 = 90.故选B.【点睛】“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望.对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X-则此随在第一次抽到理科题的条件下,5机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式1;）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.7.若复数所表示

6、的点在第一象限，则实数m的取值范围是A.（-花-2） u （2#十） B.（-乙2） c.（-吧-2）D.（-2Q）【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数，再由实部与虚部均大于0联立不等式组求解即可【详解】2 2-表示的点在第一象限，” J m2- 4 0，解得m-2.实数的取值范围是宀.故选C.【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、乘方运算，属于中档题.解题时一定要注意I和a + bi （a + bi）（c-di）:川八心以及；i运算的准确性，否则很容易出 现错误.8.设随机变量丁 ，且：；八，则实数a的值为A.10B.8 C.6D.4【答案】D【解析】 【分析】6根据随

7、机变量符合正态分布，从表达式上看出正态曲线关于数据对应的概率是相等的，根据两个区间的概率相等，得到这两个区间关于 I对称，从而得到结果.【详解】.随机变量正态曲线关于I对称，V p(x a - 2),1-(0 + a-2) = 1与关于I对称，,解得一，故选D.【点睛】本题主要考查正态曲线的对称性， 考查对称区间的概率的相等的性质， 是一个基础题.正 态曲线的常见性质有：(1)正态曲线关于* 对称，且 越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；(2)边广越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”；(3)正态分布区间上的概率，关于对称9.函数在区间上存在极值点，则实数a的取值范围为BCDI I【答案

8、】A【解析】 【分析】求得 小卡，函数；在区间“上Ji)上存在极值点在区间 上有解，从而可得结果.【详解】11 ： . ： - - - - 2. x.函数 在区间 上存在极值点在区间 上有解.令：，解得 或“白瓷0 u m + 1或 白成一2. 3卡1-1对称，得到对称区间的7解得:-1;,或 ,-实数a的取值范围为 .故选A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了推理能力与计算能力,归思想的应用以及综合所学知识解答问题的能力，属于中档题.10.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有 入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.28【答案】C【解析】1 2 2

9、 1 . -试题分析：根据题意故选C.考点：排列组合.意在考查转化与划1人入选，而丙没有8第 II 卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分11若复数满足（l + iH +产，则z的模等于 _.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由此能求出Izl .【详解】复数满足；1，1 + i3i （l-i）2l-2i + i2A2 =- =-=- =- l+i 1 + i i_j22|z| =1.故答案为1.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，

10、复数的运算主要考查除法运算， 通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分X =12.函数V =在 弓处的导数值是 _ .1凤【答案】【解析】【分析】X =-利用导数的运算法则及导数的公式求出导函数，再令导函数中的,即可求出导数值.【详解】9因为函数：所以二I :0证明，故得证.试题解析：要证a2+ - + 2a + - + j5只需证因为 ，所以不等式两边均大于零21 121a + -(a + + 2) 12 2 aza45故有理项分别为T =C ( -)Sx2= x22256本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题二项展开

11、式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题:Tn-r.r(1)考查二项展开式的通项公式:; (可以考查某一项，也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用白日，进而展开化简，可得只要+ 2)2 (a + - + J5)2a即证1+ 一+4 + 4314只需证（3 - ）2鼻0（白-0只需证 ，而点睛：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件，定理，定义，公理等）为止，这种证明方法叫做分析法综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定

12、理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法.2Z4Z（2n）22n2+ 2n ”-+-+ +- =- （n E N ）18.用数学归纳法证明：I11【答案】详见解析【解析】【分析】用数学归纳法进行证明，先证明当1时，等式成立再假设当|时等式成立，进而证 明当U时，等式也成立.【详解】4=当 时，左边 -右边，等式成立.2242(2k)22k2+ 2k，假设当i时等式成立，即U：4-；：冷当-时，左边2242(2k)2(2k+ 22=-+-+ +-十-1x3 3x5” (2k- l)(2k+1) (2k+ l)(2k+ 3)2k2十2k (2k + 2)22 k2+ 2k) x

13、 (2k + 3) + (2k + 2)2-+2k+ 1(2k + l|(2k+3)_(2k+i)(2k+3)2k + l)(2k+l)(k + 2)2(k+ l)(k +2) 2(k + l)2+ 2(k+ 1)(2k + l)(2k + 3)2k + 32(k+ 1)+ 1当.时，等式也成立.综合1,等式对所有正整数都成立.【点睛】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数 的命题，（1）奠基I在 时成立；（2）归纳在为任意自然数成立的假设下 可以推出、成立，则，对一切自然数 都成立.只需证a2+ 22，即证：15佃甲、乙两人进行某项对抗性游戏，采用七局四胜”

14、制，即先赢四局者为胜，若甲、乙两人水平相当，且已知甲先赢了前两局.I求乙取胜的概率；n记比赛局数为X,求X的分布列及数学期望3【答案】(I; (II)详见解析【解析】【分析】I乙取胜有两种情况一是乙连胜四局，二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜,由互斥事件的概率公式与根据独立事件概率公式能求出乙胜概率；n由题意得.-,5,6,7,结合组合知识，利用独立事件概率公式及互斥事件的概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得“的数学期望、-.【详解】I乙取胜有两种情况二是第三局到第六局中乙胜三局，第七局乙胜,其概率,n由题意得.,5,6,7,是乙连胜四局，其概率-乙胜概

15、率为16所以的分布列为174567P111111,41 11EX = (4 + 5 + 6 + 7)x- = 42 .【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要 准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列， 正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：(1)阅读理解关；(2)概率计算关；(3)公式应用关.20.已知函数n：加1八1 lri其中 .I当时，求曲线 在点处的切线方程；n当 时，若一在区间I上的最小值为求a的取值范围；川若，且，恒成

16、立，求a的取值范围.【答案】(I)； (II)； (III) 一.【解析】【分析】I求出-,由，的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线，在点：处的切线方程；n确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数在区间|上的最小值为 ,即可求的取值范围；川设、,则盼出仆小、对任意，：, ,且1恒成立，等价于在 上单调递增，由此可求的取值范围.【详解】1f(x) = 2x-3 + -.当日=1时f(x) = x - 3x + Inx18因为， ，所以切线方程为n函数m 1；：卜的定义域为.1 2ax2 3- (a + 2)x +1f*(x) - 2ax - (a + 2) + -(x 0)当 时，-,2ax2* (a + 2x十1 (211)心1)11rf*(x) =- =-= 0 x = - x =-.令Fi：,即-，所以 或0瓷一玄1当 ，即-时，二 在匚即上单调递增,所以在I上的最小值是；1 1l-ef(-) 0当时，此时在单调递增；当时，只需 在恒成立，因为八、，只要-【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合