数学归纳法知识点综合

1、数学归纳法是用于证明与正整数 n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数 学竞赛中占有很重要的地位.(1)第一数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果n=n0 ( no w N 1.数学归纳法的基本形式)时， P(n)成立；假设n = k(k至no，k w N )成立，由此推得n = k+1时，P(n)也成立，那么，根据对一切正 整数n之no时，P(n)成立.(2)第二数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果当 n =n0 ( n0 w n )时，P(n)成立；假设n Mk(k之n0,k w N)成立，由此推得n = k+1时，P(n)也成立，那么，根据对一切正 整

2、数n之n0时，P(n)成立.2 .数学归纳法的其他形式(1)跳跃数学归纳法当 n =1,2,3，l 时，P,P(2), P(3)，P(l)成立，假设n=k时P(k)成立，由此推得n = k+l时，P(n)也成立，那么，根据对一切正整数n1 时，P(n)成立.(2)反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果P(n)对无限多个正整数n成立；假设n=k时，命题P(k)成立，则当n = k-1时命题P(k1)也成立，那么根据对一切正整数n至1时，P(n)成立./ 1的+的+为t例如，用数学归纳法证明： 孙 必 为非负实数，有 ' 】丸乾在证明中，由产优)真，不易证出产/+1)真；然

3、而却很容易证出尸伏-1)真，又容易证 明不等式对无穷多个火(只要用二2同型的自然数)为真；从而证明 让 M ,不等式成立.(3)螺旋式归纳法P (n) , Q (n)为两个与自然数 有关的命题，假如P(n0)成立；假设P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合(1) (2),对于一切自然数 n (>n0) , P(n),Q(n)都成立；(4)双重归纳法设凡陶用)是一个含有两上独立自然数册、加的命题.期)与P) 对任意自然数腐、制成立；若由尸佃+1/)和尸(嘱"+ D成立，能推出(也+16 + D成立；根据(1)、(2

4、)可断定，PM 对一切自然数根R均成立.3 .应用数学归纳法的技巧(1)起点前移：有些命题对一切大于等于 1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n = 0也 成立，而且验证起来比验证 n=1时容易，因此用验证n=0成立代替验证n = 1,同理，其他起 点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步，有意前移起点.(2)起点增多：有些命题在由口 =卜向口 =卜+1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时 往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点.(3)加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增 多.(4)选择合适的假设方式：归纳假

5、设为一定要拘泥于“假设n = k时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用.(5)变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明.5.归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不 严格的推理方法称为不完全归纳法. 不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否， 必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明.不完全归纳法是发现规律、解决问题极好 的方法.从0以外的数字开始如果我们想证明的命题

6、并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：第一步，证明当n=b时命题成立。第二步，证明如果 n=m(mb)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n3时，n2>2n”这一类命题。只针对偶数或只针对奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明 的步骤需要做如下修改：奇数方面：第一步，证明当n=1时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2 也成立。偶数方面：第一步，证明当n=0或2时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出 n=m+2也成立。

7、递降归纳法数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2，,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,m,原命题均成立。(一)第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤：(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊 情况；(2)假设当n=k (k>n0 k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合(1) (2),对一切自然数n (>n0,命题P

8、(n)都成立。(二)第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n),(1)验证n=n0时P(n)成立；(2)假设n0< n<=kB寸P(n)成立，并在此基础上，推出 P(k+1)成立。综合(1) (2),对一切自然数n (>n0,命题P(n)都成立。(三)倒推归纳法(反向归纳法)：(1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2Ak, k>J；(2)假设P(k+1) (k>n0成立，并在此基础上，推出 P(k)成立，综合(1) (2),对一切自然数n (>n0,命题P(n)都成立；(四)螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的