浅谈_微元法_在物理上的应用

1、浅谈“微元法”在物理上的应用福州第一中学吕声康（350001）在高中物理中，由于数学学习上的局限，对于高等数学中可以使用积分來进行计算的一 些问题，在高中很难的加以解决。例如对于求变力所做的功或者对于物休做曲线运动时某恒 力所做的功的计算；又如求做曲线运动的某质点运动的路程，这些问题对于中学牛来讲， 成为一大难题。但是如果应用积分的思想，化整为零，化1川为直，采用“微元法”，可以很 好的解决这类问题。“微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出 有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起來加以考虑的科学思维方 法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。高中物理中的

2、瞬时速度、瞬时加速度、感应电 动势等等，都是用这种方法定义的。下而我们通过儿个求变力做功的例题来加以说明。一、利用在“微元”中变力做功的特点推导出力所做的总功。（例题1试证明：对于做匀速圆周运动的物体，英向心力所做的功为零。分析与解：在匀速圆周运动中，向心力始终指向圆心，是一个变力，因此不能使用 w = fscos &來求解。可以考虑在极短的时间4内物体所走过的一极小的圆弧as ,图（1） 所示。由于所収的圆弧足够小，因而可以将圆弧作为直线來处理。时间足够小，对于向心力 也可认为其方向未发牛变化，视为恒力來处理，且向心力和as相互垂直。则在ar时间内， 向心力所做的功为：w = fsc

3、os90° =0考虑整个过程，对于圆周上的每段圆弧a5皆有上述结 杲，则在整个过程中向心力所做的功为：w = zaiv = 0（注由上可知,无论物体做什么运动,如果在物体的运动过 程中，某个力的方向与其运动方向始终是垂直关系，则在物体 的运动过程屮，由“微元法”可知，这个力对物体不做功，带 电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力不做功正是这个道理。（例题2）如图（2） a所示，质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为r的竖直圆环做 岡周运动，小车与岡环间的动摩擦因数为“，试求小车从轨道最低点运动-至最話点的过程分析与解：本题中小车的运动为岡周运动，小车对轨道的压力大小方向在不断的变化, 导致轨道

4、与小车间的摩擦力大小方向也在不断的变化也是个求变力做功的问题。把握住小车 的运动相对圆点有明显的对称，利用“微元法”，我们取两个对称的微元进行研究。如图（2） -b,在圆环上去两个対称点a和b, oa和ob与竖直的直径的夹角均为， 小车在做匀速圆周运动，在a、b两点的向心力为：v2fa = n、- mg cos 0 = m y2fr = n2 七 mg cos 0 = m 在a、b两点取两段无穷小的员|弧，摩擦力在a、b两点所做的微元功为:2v w = 一pn、= -#(mf mg cos 0) rv2aw2 = a52 = 一mg cos 0) a2rv则+ aw2 = -m“($ + av

5、2)r则小车由最低点运动至最高点的过程屮，摩擦力所做的总功为:w总=" + aw2 + aw3 + aw4 + =-m“x ($ + a.y2 + a.y3 +)rv2=_ mu- 7tk = u7t mvr（注）“对称”是本题的特点，“微元法”是具体的解法。若本题不采用対称的方法求解，乂 不能用w = fscoso求功，则必须研究小车的牵引力，利用动能立理來求解。而这对于本 题是不可能有结果的。“对称法”也是物理解题中一种常用的方法。二、“化曲为直”求变力所做的功。（例题3如图（3） -a所示，某个力f=10n作用于半径 r=lm的转盘的边缘上，力f的大小保持不变，但方向保持任 何

6、时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力f做的总 功为多少？分析与解：由于力f的方向与作用点的速度方向一致，因 此力f做功不为零，fl此力不为恒力。可以考虑把関周划分为 很多“微元”來研究。如图（3） b所示。当各小段的弧长山足够小（as t0）时，在这山内f的方向几乎与该小段的位移重介，则f做的总功为：w = fasj + fas2 + f 企=f-27? = 20（ j）图(3) -a这等效于将本是曲线的冏周拉直。在这里，力f所做的功相当 于力和物体运动路程的乘积。三、结合数学归纳法，巧求变力所做的功。(例题4)如图(4) a所示，半径为的半球形水池，装满密度为p的水，要将池内的 水抽

7、十，至少耍做多少功？分析与解：按题目的要求，只要将水抽至水面的高度就可以了。可以设想将水分成n 层，则每层水的厚度为r/n,将一层一层的水，即“微元”抽至水面即可。如图(4) b所示，取水而下第i层水考虑，则第i层水的厚度为r/n,其距水而的高度为ir/n,则第i层水的半径为:d =r/n9 r° r r则这层水的质量为：mi = p兀几 = p7ir -(/)! nn n将这层水抽至水面所做的功为：叱=misi .-) = r2-(z-)2.-.§.(/-) nn n n= 7rr4 -rt n所以，将全部抽至水面所需要做的功为:4+ 2 + 3 + + a? 1 +2 +3 + +n21 + n n2(n +1)2 n a114 = r4-n4 4/r叫=唤r 】42=%g 厂7rt当 n > 00,即"y>0,贝 |j:4nw总(注)此题使用“微元法”，还要结合使用数学方法求和得出结杲，若此题不用这种方法， 会很难卜手。“微元法”虽然是在物理竟赛中使用比较多，但在我们平常的训练中也不失为一